运用公式法——平方差公式教案
运用公式法——平方差公式教案
教学目标
（一）知识认知要求
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
（三）情感与价值观要求
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.
教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
教学难点
将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. 教学过程
一、创设问题情境,引入新课
在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
二、新课讲解
1.请看乘法公式
（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a 2－
b 2=（a +b ）（a －b ） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
符合因式分解的定义，因此是因式分解.
对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
请大家观察式子a 2－b 2,找出它的特点.
公式的特点
下面按公式分类，一一进行阐述．
(1)平方差公式：
))((22b a b a b a -+=-
这里a ，b 可以表示数、单项式、多项式．
公式的特点是：
①左侧为两项；
②两项都是平方项；
③两项的符号相反．
（是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.）
如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.
9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2
=（3 m +2n ）（3 m －2n ）
3.例题讲解
例1 ： 把下列各式分解因式：
（1）25－16x 2; （2）9a 2－
4
1b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2
=（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－
41b 2=（3a ）2－（2
1b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. 例2 ： 把下列各式分解因式:
（1）9（m +n ）2－（m －n ）2;
（2）2x 3－8x .
解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2
=［3（m +n ）］2－（m －n ）2
=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］
=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）
=（4 m +2n ）（2 m +4n ）
=4（2 m +n ）（m +2n ）
（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）
=2x （x +2）（x －2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题3：判断下列分解因式是否正确.
（1）（a +b ）2－c 2=a 2+2ab +b 2－c 2.
（2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）·（a 2－1）.
解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a 2－1还能继续分解成（a +1）（a －1）.
应为a 4－1=（a 2+1）（a 2－1）=（a 2+1）（a +1）（a －1）.
例4 ： 把下列各式分解因式：
（1）22b a 9-； （2）2
2m n 4+-； （3）
22b 9a 16
1-； （4）422c b 25a 16-； （5）09.0y x 4122+-。 思路分析
（这是平方差公式的特征）
通过变形，二项都是完全平方形式，且符号相反。
解：（1）)b a 3)(b a 3(b )a 3(b a 92222-+=-=-；
（2）2222)n 2(m m n 4-=+- （加法交换律）
=(m+2n)(m －2n)；
（3）22
22)b 3(4a b 9a 161-??
? ??=- ??
? ??-??? ??+=b 34a b 34a ； （比较两种分解方法）
或 )b 144a (16
1b 9a 1612222-=- ])b 12(a [16
122-= )b 12a )(b 12a (16
1-+=； （与??
? ??-??? ??+b 34a b 34a 相等吗？） （4）222422)bc 5()a 4(c b 25a 16-=-
（注意变形）
)bc 5a 4)(bc 5a 4(22-+=；
（5）2
222xy 21)3.0(09.0y x 41??
? ??-=+- （加法交换律） ??? ??-??? ?
?+=xy 213.0xy 213.0。
点评：平方差公式的特征。
①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；
②第一项都可化成某个数或某式的平方的形式；
③右边是这两个数或两个式子的和与它们的差的积，相当于分解为两个一次二项式的积；
④公式中所说的两个数或两个式子是指a 、b ，不是22b a ，，其中a 、b 可以是数字，是字母，也可以是单项式、多项式。
应用平方差公式分解多项式关键是把多项式构建成符合公式特征的形式，然后明确多项 式和公式中的字母如何对应。
例5 ： 把下列各式分解因式：
（1）1)n m (2--； （2）22)2a (9)1a (-++-；
（3）22)b a ()b a (-++-； （4）22)y x (x 4--；
（5）4x 161+-；
思路分析
通过观察，都符合平方差公式的特征。
解：（1）2221)n m (1)n m (--=-- （把m －n 看做一个整体）
=(m －n+1)(m －n －1)；
（2）2222)1a ()]2a (3[)2a (9)1a (+--=-++- （加法交换律）
=[3(a －2)+(a+1)][3(a －2)－(a+1)]
=(3a －6+a+1)(3a －6－a －1) （必须化简）
=(4a －5)(2a －7)； （不要跳步，以免出错）
（3）2222)b a ()b a ()b a ()b a (+--=-++-
=[(a －b)+(a+b)][(a －b)－(a+b)]
=2a ·(－2b) （不要跳步）
=－4ab ；
（4）2
222)y x ()x 2()y x (x 4--=--
=(2x+x －y)(2x －x+y)
=(3x －y)(x+y)。
（5）1x 16x 16144-=+- 1)x 4(22-=
)1x 4)(1x 4(22-+= （1x 42-符合平方差公式，还能再分解）
)1x 2)(1x 2)(1x 4(2-++=；
例6： 计算：
（1）??
? ??-???? ??-??? ??-??? ??
-222210011411311211； 解：（1）??? ??-???? ??-??? ??-??? ?
?
-222210011411311211 ??
? ??-??? ??+???? ??-??? ??+??? ??-??? ??+=1001110011311311211211 100
99100101434532342123???????= 20010110010121=?=； 例7 若)12(48-可以被60与70之间的两个数整除，求这两个数．
点悟：将)12(48-分解成几个整数的积的形式，然后分析对照条件即得．
解：)12)(12(12242448-+=-
)12)(12)(12(121224-++=
)12)(12)(12)(12(661224-+++=，
∵ 6312,651266=-=+，
∴ 这两个数分别为65和63．
三、课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
（1）x 2+y 2=（x +y ）（x －y ）;
（2）x 2－y 2=（x +y ）（x －y ）; （3）－x 2+y 2=（－x +y ）（－x －y ）;
（4）－x 2－y 2=－（x +y ）（x －y ）.
2.把下列各式分解因式
解：（1）a 2b 2－m 2
（2）（m －a ）2－（n +b ）2
（3）x 2－（a +b －c ）2
（4）－16x 4+81y 4
（二）补充练习：把下列各式分解因式
（1）36（x +y ）2－49（x －y ）2;
（2）（x －1）+b 2（1－x ）;
（3）（x 2+x +1）2－1.
四.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
五.课后作业习题2.4
六.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）
七、板书设计
运用公式法——平方差公式
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
3.例题讲解
补充例题