七年级数学整式的乘法(教师讲义带答案)
第2章：整式的乘除与因式分解
一、基础知识
1.同底数幂的乘法：，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2.幂的乘方：，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.积的乘方：，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式
分别乘方，再把所得的幂相乘。
4.整式的乘法：
（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)
（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
5.乘法公式：
（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.
（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.
（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。
乘法公式的几种常见的恒等变形有：
（1）．a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.
（2）．ab＝［(a+b)2－（a2+b2）］＝［(a+b)2－(a－b)2］＝
.
（3）．(a+b)2+(a－b)2＝2a2+2b2.
（4）．(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.
6.整式的除法：，（，m，n都是正整数，并且），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。
（1），任何不等于0的数的0次幂都等于1.
（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个
多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
8．常用的因式分解方法：
（1）提公因式法：把，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是除以m所得的商，像
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：
（1）常用公式平方差：
完全平方：
（2）常见的两个二项式幂的变号规律：
①；②．（为正整数）
（3）十字相乘法
ⅰ二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成
ⅱ二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成：
。
（4）分组分解法
ⅰ定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：
=，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
ⅱ原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
ⅲ有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
二、经典例题
第一部分整式的乘除
【例1】例题下列运算正确的是（）
A.a5+a5=a10
B. a5 ·a5 = a10 C．a4·a5=a20 D．（a4）5=a9
【思路点拨】选支A是整式的加法运算，合并得2a5；选支B正确；选支C为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a4·a5=a9；选支D为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a4）5=a20．
【解析】本题应选Ｂ．
【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理．【例2】下列运算正确的是（）
A.(－x)2x3 =x6
B.
C．D．
【思路点拨】选支A错在把指数相乘，实际应相加(－x)2?x3=x2·x3=x5；选支B错在符号不对，负的偶次幂为正，负的奇次幂为负，==；选支C中积的乘方运算出现漏乘项错误，==；选支D运算正确．
【解析】本题应选Ｄ．
【规律总结】幂的乘方与积的乘方，是学习整式乘法的基础．导出幂的乘方的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质．同学们要真正理解幂的乘方法的性质，这样才不致混淆性质而运算出错．
【例3】下列运算在正确的是（）
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[错因透视]
对整式运算法则理解不深入才会出现错误，
，，
【例4】计算：（-2x2y）2·(-3xy)
【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算．
【解析】原式=4x4y2·(-3xy) (据积的乘方)
=[4×(-3)](x4·x)(y2·y) (据乘法交换律、结合律)
=-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法)
【规律总结】因为单项式是数字与字母的积，所以，幂的运算性质，乘法交换律、结合律，可作为单项式乘法的依据．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用，如：
2a2b·(- 3ab2)·5abc
=[2×(-3)×5]·(a2·a·a)·(b·b2·b)·c=-30a4b4c
【例5】（1）2xy(5xy2+3xy-1) （2）(a2-2bc)·(-2ab)2
【思路点拨】（1）小题单项式为2xy，多项式里含三项为：5xy2、3xy、-1，乘积仍为三项；(2)小题应先算(-3ab)2，再用乘法交换律后的计算方法是相同的．【解析】（1）原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)
=10x2y3+6x2y2-2xy
（2）原式=(a2-2bc)·4a2b2
=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)
=4a4b2-8a2b3c
【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时，易犯如下错误：①出现漏乘，而导致缺项；②出现符号错误；③运算顺序出错，造成计算有错．
【例6】计算：(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x-y)(x2+xy+y2) 【思路点拨】第（1）题，先用x分别与2a、3b相乘，再用-2y分别与2a、3b相乘，然后把所得的积相加；第（2）题，可先用二项式（x-y）中的x分别与三项式中的各项相乘，再用-y分别与三项式中的各项相乘，然后把所得的积相加．
【解析】(1)原式=3x·2a+3x·3b+(-2y)·2a+(-2y)·3b
=6ax+9bx-4ay-6by
(2)原式=x·x2+x·xy+x·y2+(-y)·x2+(-y)·xy+(-y)·y2
=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3
=x3-y3
【规律总结】（1）利用多项式乘法法则时，既不要漏乘，又要注意确定各项的符号．
（2）乘积中有同类项，要合并同类项．
【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3)
【思路点拨】仔细观察题目特点，凡两因式中相同项当作公式中的a，另一项(必须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式，而有的，必须经过变形才能运用平方差公式．
【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2
=4y6-9x4
【规律总结】公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合平方差公式的结构特征，就可运用．
【例8】化简： (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2
【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算，第（1）题是两数和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中2a是公式中的a，3b是公式中的b；第(2)题(-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2所以应选用“差”的完全平方公式简捷；第(3)题(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷．
【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2．2a．3b+(3b)2
=4a2+12ab+9b2
(2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2·2y·x+x2
=4y2-4xy+x2
(3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2
【规律总结】（1）这三题其实都可以用“和”的完全平方公式（或“差”的完全平方公式）计算，只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程，其中(-x+2y) 2转化为(2y-x)2或(x-2y)2是一个常用技巧．
（2）完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，展开式可记成“首(a)平方、尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2倍加减在中央”．
【例9】计算：(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3
【思路点拨】先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算．题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后．
【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3
(2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2
【规律总结】像（2）这种题目，一定要计算到最后一步．
【例10】计算：(1)x n+2÷x n-2 (2) (x4)3·x4÷x16（3）用小数或分数表示：5.2×10-3
【思路点拨】（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号．(2)中先乘方运算再做乘除法；（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果．
【解析】(1)x n+2÷x n-2=x(n+2)-(n-2)=x4
(2) (x4)3·x4÷x16
=x12·x4÷x16=x12+4-16 =x0=1
(3)5.2×10-3=5.2×=5.2×0.001=0.0052
【规律总结】这里要特别注意“a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n均为正整数，并且m>n)”括号内的条件．
【例11】计算：(1)(a2n+2b3c)÷(2a n b2)；(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
【思路点拨】（1）中被除式的系数是1，可按照单项式相除法则计算;（2）是混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算．本题先进行乘方，再自左至右进行乘除法．
【解析】解：(1)(a2n+2b3c)÷(2a n b2)
=(1÷2)·(a2n+2÷a n)·(b3÷b2)·c
=a n+2bc
(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
=(9x2y4)·(2xy)÷(6x3y3)
=(18x3y5)÷(6x3y3)
=3y2
【规律总结】单项式相除，首先分清两工的系数、相同字母、被除式独有的字母，再进行运算，结合演算重述法则，使法则熟悉，并会用它们熟练进行计算．【例12】计算：(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)；(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy) 【思路点拨】对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
【解析】(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)
=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3)
=3x2yz-2xz+1 这一项易漏！
(2)［(x+y)2-(x-y)2］÷(xy)
=［x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)］÷(xy)
=［4xy］÷（xy）
=4
【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，在这个转化过程中，要注意符号问题．
第二部分：因式分解
【例1】将下列各式分解因式：
（1）_______；
（2）；
（3）_______；
（4）_______。
[答案]
（1）
（2）
（3）
（4）
[错因透视]
因式分解是中考中的热点内容，有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误：
①公因式没有全部提出，如；
②因式分解不彻底，如；③丢项，如
；④分组不合理，导致分解错误，如
，无法再分解下去。【例2】连一连：
a2－1 (a＋1)(a－1)
a2＋6a＋9 (3a＋1)(3a－1)
a2－4a＋4 a(a－b)
9a2－1 (a＋3)2
a2－ab (a－2)2
【思路点拨】由于因式分解是整式乘法的逆运算，我们可以先运用整式乘法法则计算出第二列中各整式相乘的结果，看跟第一列中的哪个多项式相等，然后用线连接起来.
【解析】(a＋1)(a－1)＝a2－1，(3a＋1)(3a－1)＝9a2－1，a(a－b)＝a2－ab，(a＋3)2＝a2＋6a＋9，(a－2)2＝a2－4a＋4.
【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形，根据题目的需要，有时多项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式，有时几个多项式的积要通过整式乘法化成多项式的形式.
【例3】分解因式：（1）5x－5y＋5z （2）（3）
【思路点拨】观察上面的各个多项式，我们可以发现每个多项式的各项都含有公因式，我们可以运用提公因式的方法来做这道题目. 第（3）小题分解因式的关键是寻找公因式，本题的公因式可以看作，也可以看作
【解析】（1）原式＝5（x－y＋z）
（2）原式＝
（3）方法一：原式＝＝
=
方法二：原式＝＝
＝
【规律总结】运用提公因式分解因式时，找对公因式是关键，提公因式后的各项中不能再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化为含有公因式的式子来完成因式分解．其一般原则：（1）首项一般不化成含负号的形式；（2）对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化成它的相反数的形式，这样可使各项符号不变．
【例4】把下列各式因式分解：
（1）（2）
【思路点拨】此题中两项都可以表示成平方的形式，多项式是二项式且前面的符号相反，应考虑用平方差公式来分解
【解析】（1）
=
=
（2）
=
=
=（24a + 2b）(2a + 24b)
=4(12a + b)(a + 12b)
【规律总结】第（2）小题中的（24a + 2b）(2a + 24b)，将括号内提取公因式“2”后，应把两个2相乘，而不要当成提公因式，误写成2(12a + b)(a + 12b)．【例5】把下列各式分解因式：
（1）（2）
【思路点拨】此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式，应考虑用完全平方公式．
【解析】（1）
=
=
（2）
=
=
= （8m + 3n）2
【规律总结】第（2）小题中的2m＋n应看作一个整体，而不要利用整式乘法进行计算，否则分解比较困难，多项式各项没有公因式且是三项式，应考虑用完
全平方公式．
【例6】因式分解：（1）（2）
【思路点拨】只要（1）把和，（2）把看作整体就不难套用平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步，但本题中的两小题都能继续因式分解，因此要特别注意分解要彻底．
【解析】（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
==
【规律总结】因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可继续因式分解的多项式。
中考考点解读：
整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面：考点1、幂的有关运算
例1．（2014年湘西）在下列运算中，计算正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.
解：根据同底数幂的乘法运算法则知，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知
，所以（C）错；故选（D）.
例2.（2014年齐齐哈尔）已知，，则____________．
分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.
解：.
考点2、整式的乘法运算
例3．（2014年贺州）计算：= ．
分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.
解：＝＝.
考点3、乘法公式
例4. (2014年山西省)计算：
分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.
解：=
==.
例5. (2014年宁夏)已知：，，化简的结果是．分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（）与，以便求值.
解：===.
考点4、利用整式运算求代数式的值
例6．（2014年长沙）先化简，再求值：，其中．
分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用.
解：
当，时，.
考点5、整式的除法运算
例7. (2014年厦门)计算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.
解：[(2x－y)( 2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x
＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x
＝(4x2－6xy)÷2x
＝2x－3y.
考点6、定义新运算
例8.（2014年定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式可知，在本题中“”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去“”后边的数的平方.
解：∵，∴．
∴．∴．
∴．
考点7、乘法公式
例3（1）(2014年白银市) 当时，代数式的值是．（2）(2014年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.
解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵，
∴.
说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.
考点8、因式分解
例4（1）(2014年本溪市) 分解因式：．
（2）(2014年锦州市)分解因式：a2b-2ab2+b3=____________________.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解.
（1）x (y 2-9)= ．
（2）a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2．
说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
初中数学七年级下册知识点总结
七年级数学（下）知识点 第一章相交线与平行线 一：知识框架 二：知识概念 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。 7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种 移动叫做平移平移变换，简称平移。 8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 10垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案. 重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用. 难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。 第二章平面直角坐标系 一：知识框架 二：知识概念 1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b） 2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。 5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
八年级二次根式(教师讲义带答案)资料讲解
八年级二次根式(教师讲义带答案)
第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以 要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若 ，则 ，如： ， . 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即 ；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即 ； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值， 一定有意义； 3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六： 与 的异同点 1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表 示一个实数a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 . 知识点七：二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a =????≥≥≥≥L L L L L L ，，，，
八年级数学人教版上册整式的乘法(含答案)
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1整式的乘法 专题一 幂的性质 1．下列运算中，正确的是（ ） A ．3a 2－a 2＝2 B ．(a 2)3＝a 9 C ．a 3?a 6＝a 9 D ．(2a 2)2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ） A ．· 622x x = B ．·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x = 3．下列计算正确的是（ ） A ．2a 2＋a 2＝3a 4 B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．a 6·a 2＝a 12 D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用 4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．108 5．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值． 专题三 整式的乘法 7．下列运算中正确的是（ ） A ．2325a a a += B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=-- C ．23622a a a ?= D ．222(2)4a b a b +=+ 8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．
9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30． （1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________． 专题四 整式的除法 10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：2362743 19132 ）（）（ab b a b a -÷-． 12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4． 状元笔记 【知识要点】 1．幂的性质 (1)同底数幂的乘法：n m n m a a a +=? (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (2)幂的乘方：()m n mn a a =(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n n ab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别 乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
最新初一数学下册知识点汇总
最新初一数学下册知识点汇总
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初一数学（下）应知应会的知识点 二元一次方程组 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.注意：一般说二元一次方程有无数个解. 2．二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组. 3．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）. 4．二元一次方程组的解法： （1）代入消元法；（2）加减消元法； （3）注意：判断如何解简单是关键. ※5．一次方程组的应用： （1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之 则“难列易解”； （2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值； （3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系. 一元一次不等式（组） 1．不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式. 2．不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变. 3．不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集. 4．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是ax+b ＞0或ax+b ＜0 ，(a ≠0). 5．一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不 等式性质3的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点. 6．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不 等式组；注意：ab ＞0 ? 0b a >? ???>>0b 0a 或???<<0b 0 a ； ab ＜0 ? 0b a < ? ?? ?<>0b 0a 或???><0b 0a ； ab=0 ? a=0或b=0； ???≤≥m a m a ? a=m . 7．一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次 不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集. 8．一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a ＞b a x b x a x >∴???>>是不等式组的解集 b x b x a x <∴???<<不等式的组解集是 a b > a b >
八年级二次根式(教师讲义带答案)
第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意 义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等 于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根； 在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 123123(0000)n n n a a a a a a a a a ?=????≥≥≥≥，，，， 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如+进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算， 4 3 +=+=+ (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如： 2 2 1+-= -=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化
新人教版初中数学七年级下册教案 全册
新人教版初中数学七年级下册教案全册 5.1.1相交线 一、教学目标： 知识与技能：认识邻补角和对顶角；掌握对顶角相等，并会简单应用。 过程与方法：1.通过动手实践活动，探索邻补角与对顶角的位置和大小关系。 2.通过“对顶角相等”这个结论的简单推理，培养逻辑思维能力。 情感态度与价值观：通过探究活动来发现结论，经历知识的“再发现过程”，在探究活动中培养创新思维能力，体验数学学习的乐趣。 二、教学重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用。 三、教学难点：理解对顶角相等的性质的探索。 四、教学过程设计：
如图所示，AB⊥CD于点O，直线∠AOE=65°，求∠DOF的度数。
达标测评题 一、 选择题 1.下列说法正确的是（ ） A 、有公共顶点的两个角是对顶角 B 、相等的两角是对顶角 C 、有公共顶点并且相等的角是对顶角 D 、两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角。 二．填空： 2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，已知∠AOC+∠BOD=90°，则∠BOC= 。 3.已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2+∠3= 。 三．解答题 4如图所示，直线ABCDEF 相交于点O, (1) 写出∠AOC, ∠BOE 的邻补角。 (2) 写出∠DOA, ∠BOF 的对顶角。 (3) 如果∠AOE=30°，求∠BOF ，∠AOF 的度数。
5.如果直线AB、CD相交于O点，且∠AOC=28°,作∠DOE=∠DOB,OF平分∠AOE,求∠EOF 的度数 附达标测评题答案： 1．D 2.135° 3.180° 4．(1)∠AOD、∠COB;∠AOE、∠BOF （2）∠BOC、∠AOE (3)30°、150° 5.62° 七年级数学（下册） 5.1.2垂线 一、教学目标： 知识与技能： 1使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论 2.会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。 过程与方法： 1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力. 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 情感态度与价值观：通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐。 二、教学重点: 两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
初一下册数学试题
七年级下册数学试题 姓名：班级：（答题时间：90分钟） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1.多项式3x2y+2y-1的次数是（） A、1次 B、2次 C、3次 D、4次 2.棱长为a的正方形体积为a3，将其棱长扩大为原来的2倍，则体积为（） A、2a3 B、8a3 C、16 a3 D、a3 3.2000年中国第五次人口普查资料表明，我国人口总数为1295330000人，精确到千万位为（） A、1.30×109 B、1.259×109 C、1.29×109 D、1.3×109 4.下列四组数分别是三根木棒的长度，用它们不能拼成三角形的是（） A、3cm，4cm，5cm B、12cm，12cm，1cm C、13cm，12cm，20cm D、8cm，7cm，16cm 5.已知△ABC三内角的度数分别为a，2a，3a。这个三角形是（）三角形。 A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 6.国旗是一个国家的象征，下面四个国家的国旗不是轴对称图形的是（） A、越南 B、澳大利亚
C、加拿大 D、柬埔寨 7.下面哪一幅图可大致反映短跑运动员在比赛中从起跑到终点的速度变化情况（） A、 B、 C、 D、 8.如图，已知，△ABD≌△CBE，下列结论不正确的是（） A、∠CBE＝∠ABD B、BE＝BD C、∠CEB＝∠BDE D、AE＝ED 9. 将一张矩形纸片对折，再对折，将所得矩形撕去一角，打开的图形一定有（）条对称轴。 A、一条 B、二条 C、三条 D、四条
10.房间铺有两种颜色的地板，其中黑色地板面积是白色地板面积的二分之一，地板下藏有一宝物，藏在白色地板下的概率为（） A、1 B、 C、 D、 二．我会填。（每小题3分，共15分） 11.22＋22＋22＋22＝____________。 12.三角形的两边长分别为5cm,8cm,则第三边长的范围为___________。 13.三角形的高是x，它的底边长是3，三角形面积s与高x的关系是____________。 14．如图，O是AB和CD的中点，则△OAC≌△OBD的理由是__________。 15.袋子里有2个红球，3个白球，5个黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是________。 三.解答题（每小题6分，共24分） 16．（2mn+1）(2mn-1)-(2m2n2+2) 17.有这样一道题“计算（2x3-3x2y-2xy2）-(x3-2xy2+y2)+(-x3-3x2y-y2)的值，其中 x＝，y＝－1。”甲同学把x＝错抄成x＝－，但他计算的结果也是正确的，你说这是怎么回事呢？ 18.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EFG＝500，求∠BEG的度数。
中考动点问题专题 教师讲义带答案
中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半
径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D．
一年级数学暑期讲义教师版,带答案
目录 第1讲数的点数与比较 (3) 第2讲分分类，找朋友 (15) 第3讲位置关系——上、下、前、后、左、右 (23) 第4讲 10以内数的认识与加减 (30) 第5讲重量的比较 (44) 第6讲立体图形 (53) 第7讲暑假闯关 (53)
儿童诗sh ī 小xi ǎo 鸟ni ǎo 音y īn 符f ú 小xi ǎo 鸟ni ǎo ， 小xi ǎo 鸟ni ǎo ， 你n ǐ 们m én 为w èi 什sh én 么me 不b ù 坐zu ò 在z ài 高ɡāo 高ɡāo 的de 树sh ù 梢sh āo ？ 小xi ǎo 鸟ni ǎo ， 小xi ǎo 鸟ni ǎo ， 你n ǐ 们m én 为w èi 什sh én 么me 在z ài 电di àn 线xi àn 上sh àn ɡ 来l ái 回hu í 跳ti ào 跃yu è ？ 明m ín ɡ 白b ái 了le ， 明m ín ɡ 白b ái 了le ， 你n ǐ 们m én 错cu ò 把b ǎ 电di àn 线xi àn 当d ān ɡ 成ch én ɡ 五w ǔ 线xi àn 谱p ǔ 了le 。 小xi ǎo 鸟ni ǎo 音y īn 符f ú ， 呵h ē ， 音y īn 符f ú 小xi ǎo 鸟ni ǎo 多du ō 么me 美m ěi 丽l ì 的de 曲q ǔ 调di ào …… 第一讲 数的点数与比较 1. 单个物品点数；
2.多个物品点数； 3.画图法点数； 4.比多少——一一对应法。 一. 单个物品点数 标记法 小手眼睛配合好； 千万记得按顺序； 拿起小笔做标记； 数数真是太容易。 例题： 数一数、填一填。 西瓜（）个 2 梨子（）个 3 苹果（）个 4 香蕉（）个 6 同步练习 1.先数一数,再写数。 （）个 5 （）个7 2.数一数,有几个就圈几。 3.两堆蘑菇应该装进哪个小袋子呢？
人教版八年级数学上册整式的乘法及因式分解章节测试题
整式的乘法及因式分解 章节测试题 考试时间:90分钟 满分:100分 一、选择题(每小题3分，共24分) 1. 11()4-等于( ) A. 14- B. -4 C. 4 D. 14 2. 计算232()x y xy ÷，结果是( ) A. xy B. y C. x D. 2xy 3. 下列式子计算正确的是( ) A. 660a a ÷= B. 236(2)6a a -=- C. 222()2a b a ab b --=-+ D. 22()()a b a b a b ---+=- 4. 下列从左到右的变形，属于分解因式的是( ) A. 2(3)(3)9a a a -+=- B. 25(1)5x x x x +-=+- C. 2(1)a a a a +=+ D. 32x y x x y =?? 5. 把2288x y xy y -+分解因式, 正确的是( ) A. 22(44)x y xy y -+ B. 22(44)y x x -+ C. 22(2)y x - D. 22(2)y x + 6. 下列各式能用平方差公式计算的是( ) A. (2)(2)a b b a +- B. 11(1)(1)22 x x -+-- C. ()(2)a b a b +- D. (21)(21)x x --+ 7. 若二项式2 41a ma ++是一个含a 的完全平方式，则m 等于( ) A. 4 B. 4或-4 C. 2 D. 2或-2 8. 如图，两个正方形边长分,a b ,如果6a b ab +==， 则阴影部分的面积为( ) A. 6 B. 9 C. 12 D .18 二、填空题(每小题2分，共20分)
初中七年级数学整式的乘法
●方法点拨 ［例1］计算 (1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z) (2)(-ab3)2·(-a2b) 点拨：先确定运算顺序，再利用单项式乘单项式的法则进行计算.(1)直接作乘法即可，（2）先作乘方运算，再作乘法运算. 解：(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z) （系数相乘）（相同字母相乘）（不同字母相乘）（在x2·x中，x的指数是1，不要漏掉） =-2.1x3y6z (2)(-ab3)2·(-a2b) =a2b6·(-a2b)——先算乘方 =-(a2·a2)(b6·b)——再算乘法 =-a4b7 ［例2］计算 (1)a m(a m-a3+9) (2)(4x3)2·［x3-x·(2x2-1)］ 点拨：先确定运算顺序，再运用相应的公式进行计算.(2)中用到了幂的乘方，单乘多及去括号几种运算公式及方法，要一步步进行. 解： ［例3］计算 (1)(2a+3b)(3a+2b) (2)(3m-n)2 点拨：这两题都需运用多项式相乘的法则进行计算，能合并同类项的要将结果化到最简的形式.注意第（2）题要化为多乘多的形式. 解： (2)(3m-n)2注意乘方的意义 =(3m-n)(3m-n) =3m·3m-3m·n-n·3m+n·n
=9m 2-3mn -3mn +n 2 =9m 2-6mn +n 2 ［例4］（1）(-3 1xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2) 点拨：对于混合运算，一定要注意运算顺序，尤其是乘方运算，每次运算后的结果要打上括号才能进行下一步运算. 解：(1)(- 31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ =9 1x 2y 4·［2x 2y -xy 2+xy 2］ =9 1x 2y 4·(2x 2y ) =9 2x 4y 5 (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2) =9x 2-2(x 2-2x -5x +10) =9x 2-2(x 2-7x +10) =9x 2-2x 2+14x -20 =7x 2+14x -20 说明：一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算. ［例5］解下列方程 8x 2-(2x -3)(4x +2)=14 点拨：利用多乘多法则将方程左边部分化简，再运用解方程的方法求出x . 解：8x 2-(2x -3)(4x +2)=14 8x 2-(8x 2+4x -12x -6)=14 8x 2-(8x 2-8x -6)=14 8x 2-8x 2+8x +6=14 8x =8 x =1 ［例6］长方形的一边长3m +2n ,另一边比它大m -n ,求长方形的面积. 点拨：先分别求出长和宽，再根据“长方形的面积=长×宽”求出面积.列式的时候，表示每条边的多项式都要用括号括起来. 解：长方形的宽：3m +2n 长方形的长=(3m +2n )+(m -n )=4m +n 长方形的面积：(3m +2n )·(4m +n ) =3m ·4m +3m ·n +2n ·4m +2n ·n =12m 2+3mn +8mn +2n 2 =12m 2+11mn +2n 2 答：长方形的面积是12m 2+11mn +2n 2.
八年级数学直角三角形教师讲义带答案资料
直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理与其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理与其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵是∠的平分线，F是上一点，且⊥于点C，⊥于点D，∴＝. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；图4
2.关于三角形三条角平分线的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果、、分别是△的内角∠、 ∠、∠的平分线，那么： ①、、相交于一点I； ②若、、分别垂直于、、于点D、E、F，则＝＝. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 四、勾股定理的证明与应用 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后 来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边
初中数学七年级下册知识点
初中数学七年级下册知识点 姓名 第一章 整式的运算 一. 整式 ※1. 单项式 ①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 ②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数. ③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. ※2.多项式 ①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项.一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. ②单项式和多项式都有次数,含有字母的单项式有系数,多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式,一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数.多项式中每一项都有它们各自的次数,但是它们的次数不可能都作为这个多项式的次数,一个多项式的次数只有一个,它是所含各项的次数中最高的那一项次数. ※3.整式：单项式和多项式统称为整式. ?? ??????有字母叫做分式）其他代数式（若分母含多项式 单项式 整式代数式 二. 整式的加减 ¤1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式. ¤2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘. 三. 同底数幂的乘法 ※同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正整数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字或字母，也可以是一个单项或多项式； ②指数是1时，不要误以为没有指数； ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加（即合并同类项）； ④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中m 、n 、p 均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为正整数） 四．幂的乘方与积的乘方 ※1. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正整数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆. ※2. ),()()(都为正整数n m a a a m n m n n m ==. ※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3 ※4．底数有时形式不同，但可以化成相同。 ※5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b 均不为零）。 ※6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）。 ※7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 五. 同底数幂的除法 ? ??-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n
初一数学整式的乘法
2014学年第一学期初一数学——第九章 整式的乘法【教学目标与方法】 1、理解单项式乘法运算的理论根据，掌握单项式乘法法则，熟练地进行单项式乘法的运算； 2、理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导过程，熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算； 3、理解和掌握多项式与多项式乘法法则及推导过程，熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法计算。 【温故知新】 1、(－a)2·(－a)3＝ ，(－x)·x2·(－x4)＝ ，(xy2)2＝ . 2、(－2×105)2×1021＝ ，(－3xy2)2·(－2x2y) ＝ . 3、计算：(－8)2004(－0.125)2003＝ ，22005－22004＝ . 4、计算：(m－n)3·(m－n)2·(n－m)＝ ，(3＋a)(1－ a)＝ ， 5、x n＝5，y n＝3，则(xy)2n＝ ，若2x＝m，2y＝n，则8x+y ＝ . 6、下列计算正确的是( ) A．(a+b)2=a2+b2； B．a m·a n=a mn； C．(-a2)3=(-a3)2； D．(a-b)3(b-a)2=(a-b)5． 7、设xy＜0，要使x n y m·x n y m＞0，那么（ ） A．m，n都应是偶数； B．m，n都应是奇数； C．不论m，n为奇数或偶数都可以； D．不论m，n为奇数或偶数都不行． 8、已知x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2) 2n的值. 【例题】 例1.若的积中不含有和项（p和q是常数），求q的值.
例2.多项式的积(3x4-2x3+x2-8x+7)(2x3+5x2+6x-3)中x3项的系数是 ______． 例3.m是x的六次多项式，n是x的四次多项式，则2m-n是x的______次多项式． 例4.(4+2x-3y2)·(5x+y2-4xy)·(xy-3x2+2y4)的最高次项是______．例5.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图. （1）如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义. 1 3 2 2 3 3 这个长方形的代数意义是 . （2）小明想用 类似的方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片 张 ，3号卡片 张.
七年级数学相交线与平行线(教师讲义带答案)之欧阳语创编
第4章相交线与平行线 时间：2021.03.01 创作：欧阳语 一、知识结构图 余角 余角补角 补角 角两线相交对顶角 同位角 相交线与平行线 三线八角内错角 同旁内角 平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图 二、基本知识提炼整理 （一）余角与补角 1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。 2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。 3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。 5、余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1）0000 1290(180),1390(180), ∠+∠=∠+∠=则23 ∠=∠(同角的余角或补角相等)。 （2）0000 ∠+∠=∠+∠=且14, 1290(180),3490(180), ∠=∠则23 ∠=∠(等角的余角（或补角）相等)。 6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角 1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。 2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 3、对顶角的性质：对顶角相等。 4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。 5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 （三）同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。 2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。 3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。 4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。 5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它
初中数学七年级下册易错题汇总情况大全
初中数学七年级下册易错题 相交线与平行线 1.未正确理解垂线的定义 1．下列判断错误的是（）. A.一条线段有无数条垂线； B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直； C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 错解：A或B或C. 解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直. 正解：D. 2.未正确理解垂线段、点到直线的距离 2．下列判断正确的是（）. A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离； B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离； D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 错解：A或B或C. 解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义. A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅
有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的. B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的； C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度. 正解：D. 3.未准确辨认同位角、错角、同旁角 3．如图所示，图中共有错角（）. A.2组； B.3组； C.4组； D.5组. 错解：A. 解析：图中的错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中∠HGF与∠GFC易漏掉。 正解：B. 4.对平行线的概念、平行公理理解有误 4．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的有（）. A.1个； B.2个； C.3个； D.4个. 错解：C或D.
七年级数学整式的乘法同练习含答案
10.4 整式的乘法 一、基础训练 1．下列说法不正确的是（） A．两个单项式的积仍是单项式 B．两个单项式的积的次数等于它们的次数之和 C．单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同 D．多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和2．下列多项式相乘的结果是a2-a-6的是（） A．（a-2）（a+3） B．（a+2）（a-3） C．（a-6）（a+1） D．（a+6）（a-1） 3．下列计算正确的是（） A．-a（3a2-1）=-3a3-a B．（a-b）2=a2-b2 C．（2a-3）（2a+3）=4a2-9 D．（3a+1）（2a-3）=6a2-9a+2a=6a2-7a 4．当x=1 2 ，y=-1，z=- 2 3 时，x（y-z）-y（z-x）+z（x-y）等于（） A．1 3 B．-2 1 3 C．- 4 3 D．-2 5．边长为a的正方形，边长减少b?以后所得较小正方形的面积比原来正方形的面积减少了（） A．b2 B．b2+2ab c．2ab D．b（2a-b） 6．计算2x2（-2xy）·（-1 2 xy）3的结果是______． 7．（3×108）×（-4×104）=__________________（用科学计数法表示）． 8．计算（-mn）2（m+2m2n）=________；（-1 3 x2y）（-9xy+1）________． 9．计算（5b+2）（2b-1）=_______；（3-2x）（2x-2）=______．10．若（x-7）（x+5）=x2+bx+c，则b=______，c=_______． 11．计算：（1）1 4 x3yz2·（-10x2y3）；（2）（-mn）3·（-2m2n）4；