《实变函数》试卷一与参考答案

考

生

答

题

2不

1

得

超

此

（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D) ?

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'

E =______,o

E =______,E =______.

3、设E

是n R 中点集，如果对任一点集T

都有

_________________________________，则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

反例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E

f x >?

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ?=??

为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -

可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0

ln()lim cos x

n

x n e xdx n

∞-+?

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数

,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n n

n me ?=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

试卷一 （参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1．? 2、[]0,1； ? ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =?+?

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=??

-????

∑成一有界数集。

三、1．错误……………………………………………………2分

例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分

2．错误…………………………………………………………2分 例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．错误…………………………………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?…5分

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分

因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]120,101

()3

f x dx x dx ==??…8分

2．解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

，则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分

又因'

2ln 1ln 0t t t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………………4分 从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+…………………………………6分 但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

n

f x dx f x dx ∞∞

==??…………………………………8分

五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =?=?

B M B ∴?? 是无限集，可数子集 …………………………2分 .A A M M ∴? 是可数集， ……………………………….3分

(\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=?=?=????=?= 且…………..5分

,.E B B c ∴∴= ………………………………………………6分 2．,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使……….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥ ………………………………………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥ 在点连续，

x E ∴∈…………………………………………………………5分

E ∴是闭集.…………………………………………………….6分

3.

对1ε=，0δ??，使对任意互不相交的有限个(,)(,)i i a b a b ?

当1

()n

i i i b a δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f b f a =-<∑………………2分

将[,]a b m 等分，使

1

1

n

i i i x x

δ-=-<∑，对:T ?101i x z z -=

11

()()1k

i

i i f z

f z -=-<

∑，所以

()

f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函

数……………………………….5分 所以

1

()1,i

i x x f

V -≤从而

()b

a

f m

V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界变差函

数…………………………………………………………..6分 4、()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞

?≥==+∞=……2分

据积分的绝对连续性，0,0,,e E m e εδδ?>?>??<，

有|()|e

f

x d x ε

对上述0,,,(||k n k m E f n δδ>?

?>≥<，从而|()|n

n e n me f x dx ε?≤

l i m 0n n

n m e ?=…………………6分

5．,n N ?∈存在闭集

()1

,,()2

n n n F E m E F f x ?-<

在

n

F 连

续………………………………………………………………2分

令

1n

k n k

F F ∞∞

=== ，则

,,,n n n k

x F k x F n k x F f x

∞

=?∈??∈??≥∈?在F 连

续…………………………………………………………4分 又对任意k ,()[()][()]n n n k

n k

m E F m E F m E F ∞

∞

==-≤-?=?-

1

()2n k

n k

m E F ∞

=≤-<

∑…………………………………………….6分 故()0,()m E F f x -=在F E ?连续…………………………..8分 又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的 可测函数………………………………………………………..10分