内蒙古赤峰市2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题

内蒙古赤峰市2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题)

请点击修改第I 卷的文字说明

一、单选题

1．已知集合{}|24M x x =<<,{}|210N x x =-<-≤,则M N =I ( ) A ．{}|12x x ≤< B ．{}|34x x << C ．{}|23x x <<

D ．{}|13≤

2．已知向量()5,5a =-r ，()0,3b =-r ，则2a b +=r r ( )

A ．()5,1-

B ．()5,1--

C ．()5,11-

D ．

()10,7-

3．

5

12

π=（ ） A ．70?

B ．75?

C ．80?

D ．85?

4．设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M ，则( ) A ．3π

π,2M k k α

α??==

+∈???

?Z B ．3ππ

,22k M k α

α??==

+∈???

?Z C ．π2π,2

M k k α

α??==-+∈???

?

Z

D ．ππ,2

M k k α

α??==-+∈???

?

Z

5．函数()542x

f x ??=- ???

的零点所在的区间是( ) A ．()1,2

B ．()2,3

C ．()3,4

D ．()0,1

6．在ABC V 中，D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r

( )

A ．3144

AB AC +u u u

r u u u r

B ．1344AB A

C +u u u r u u u r C ．1344AB AC -u u u r u u u r

D ．3144AB AC -u u u

r u u u r

7．已知向量(),6a m =-r ，()4,3b =-r ，若//a b r r ，则m =( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

8．将曲线2sin 45y x π??

=+

??

?

上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( ) A ．(),0210k k Z ππ??

-∈

???

B ．(),0210k k Z ππ??

+∈

??? C ．(),010k k Z π

π??

+

∈ ??

?

D ．(),010k k Z π

π??

-

∈ ??

?

9．已知0,4

1.3

311,,log 882a b c --????=== ? ?

??

??

，则( )

A ．b a c <<

B ．c a b <<

C ．a b c <<

D ．c b a <<

10．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，若AB AC AB AC AB AC λ?? ?+=+ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，()0,λ∈+∞，则△ABC 一定是( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．锐角三角形

11．已知函数()241

sin cos 33

f x x a x =++，若()0f x ≥，在(),-∞+∞上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．11,33

??

-????

B ．11,3

??-???

?

C ．[]1,1-

D ．11,3

??--???

?

12．已知函数()3sin (0)6f x x πωω??

=-> ??

?

,若()f x 在区间(,2]ππ内没有零点,则ω

的取值范围是( ) A ．1120,

,1233????

? ???????

B ．1170,

,12612????

? ???????

C ．10,12??

???

D ．70,12?? ???

第II 卷（非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

13．若函数()3,0,π

sin 0,4x x f x x x ->??

=?≤??

，，则()()1f f =________. 14．已知5sin 13α=

，2

π

απ<<，则cos 6tan αα-=______. 15．已知()sin10

sin3sin80cos 1070m ??+?-=?，角α

的终边经过点()

P m ，

则cos α=_________.

16．设函数2()log )f x x =，若对任意的(1,)x ∈-+∞，不等式

(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是_______.

三、解答题

17．已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}

33|log log 5B x y x x ==+-. (1)当1a =时,求A B U ;

(2)若A B B =I ,求实数a 的取值范围. 18．计算或化简：

(1)1

12

3

02

1273πlog

161664??

??++- ? ?

????

；

(2)6log 3332log log 2log 36?-19．已知函数()()()()()

3ππsin πcos 2cos sin 222sin 2πcos πx x x x f x x x ????

-++-+ ? ?

????=

-+.

(1)化简()f x ； (2)若tan 4α=，求()f

α的值.

20．设a r ，b r 是两个不共线的向量，2AB ka b =+u u u r r r

，BC a b =+u u u r r r ，2CD a b =-u u u r r r .

(1)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足3OB OA OC =u u u r

u u u r

u u u r

+2，求实数k 的值； (2)若A ，C ，D 三点共线，求实数k 的值. 21．已知函数()sin 24a a x x b f π??

=+

++ ??

?,当0,2x π??

∈????

时,函数()f x 的值域是

????

. (1)求常数a ,b 的值;

(2)当0a <时,设()2g x f x π?

?=+

??

?,判断函数()g x 在0,2π??

????

上的单调性. 22．已知函数()223

x x

e f x e -+=，其中e 为自然对数的底数.

(1)证明：()f x 在()0,∞+上单调递增； (2)函数()253

g x x =

-，如果总存在[]()1,0x a a a ∈->，对任意2x ∈R ，()()12f x g x ≥都成立，求实数a 的取值范围.

参考答案

1．C 【解析】 【分析】

计算得到{}|13N x x =≤<，再计算M N ?得到答案. 【详解】

因为{}|24M x x =<<,{}|13N x x =≤<,所以{}|23M N x x =<

本题考查了交集的运算，属于简单题. 2．B 【解析】 【分析】

利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】

由向量()5,5a =-r

，()0,3b =-r ， 则()()()25,520,35,1a b +=-+-=--r r

.

故选：B 【点睛】

本题考查了向量的线性坐标运算，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】

根据弧度与角度的转化,代入即可求解. 【详解】

根据弧度与角度的关系180π?=可得

55

180751212

π??=?=. 故选:B

本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】

利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解. 【详解】

终边在y 轴的负半轴上的角的集合为：

3π2π,2M k k αα??==+∈????Z 或π2π,2M k k αα??==-+∈????

Z .

故选：C 【点睛】

本题考查了终边相同角的表示，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】

根据函数单调递增和()10f <,()20f >得到答案. 【详解】

()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9

204

f =>,

所以()f x 的零点所在的区间为()1,2 故选：A 【点睛】

本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用. 6．B 【解析】 【分析】

D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r ，D 是四等分点，结合AD AB BD =+u u u r u u u r u u u r

，最后得到答

案．

∵D 为边BC 上的一点，且3BD DC =u u u r u u u r

，∴D 是四等分点，

()

33134444

AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，

故选：B ． 【点睛】

本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】

根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】

由向量(),6a m =-r

，()4,3b =-r ，

若//a b r

r

，则()()3460m --?-=，解得8m =. 故选：D 【点睛】

本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：12210x y x y -=，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】

由图像变换原则可得新曲线为2sin 25y x π??

=+ ??

?

,令()25

k x k Z π

π=∈+

求解即可

【详解】

将曲线2sin 45y x π??

=+

??

?

上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π?

?=+ ??

?,

令()25

k x k Z π

π=∈+

,得()10

2

k x k Z π

π

=-

+

∈ 故选：A 【点睛】

本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心 9．B 【解析】 【分析】

把,a b 化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与c 比较． 【详解】

0.4 1.211()()82a --==，又 1.2 1.3->-，∴1 1.2 1.3

1112()()()222

---=<<．而33log 8log 92<=，

∴c a b <<． 故选：B ． 【点睛】

本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如0,1,2等等． 10．B 【解析】 【分析】

设AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P 在BC 边上的中线，也在A ∠的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项. 【详解】

设AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，则根据平行四边形法则知点P 在BC 边上的中线所在的直线上.

设AB AE AB =u u u r u u u r u u u r ，AC

AF AC

=u u u r u u u r u u u r ，它们都是单位向量， 由平行四边形法则，知点P 也在A ∠的平分线上，所以△ABC —定是等腰三角形. 故选：B

【点睛】

本题考查了向量的平行四边形法则、向量的共线定理，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】

设cos x t =，问题等价于()245

033

g t t at =-

++≥在[]1,1-上恒成立，由二次函数的开口向下，只需满足()()

10,10,g g ?≥?

?-≥??，解不等式组即可.

【详解】

问题等价于()245

cos cos 033f x x a x =-++≥在(),-∞+∞上恒成立. 设cos x t =，则()245

033

g t t at =-++≥在[]1,1-上恒成立，

由二次函数的开口向下，

所以()()4510,334510,

33g a g a ?

=-++≥????-=--+≥??

解得1133a -≤≤.

故选：A 【点睛】

本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围以及三角函数的性质，考查了转化与化归的思想，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】

由函数()f x 在区间(,2]ππ内没有零点,可得6

,2(1)6k k k πωπππωππ

?

-≥??∈?

?-<+??

Z ，再结合k ∈Z 求解即可. 【详解】

解：因为2x ππ<≤,0>ω,

所以26

6

6

x π

π

π

ωπωωπ-

<-

≤-

.

因为()f x 在区间(,2]ππ内没有零点,

所以6

,2(1)6k k k πωπππωππ

?-≥??∈?

?-<+??

Z . 解得17

,6212

k k k ω+

≤<+∈Z . 因为176212

70

212

k k k ?+<+???

?+>??,所以7566k -<<, 因为k ∈Z .所以1k =-或0k =.

当1k =-时1

012

ω<<; 当0k =时,17

612

ω≤<，

故选：B. 【点睛】

本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题. 13．1- 【解析】 【分析】

利用分段函数的表达式，求出()

12f =-，再求出()2f -即可求解.

【详解】

由函数()3,0,πsin 0,4x x f x x x ->??=?≤??

，，则()()()12sin 12f f f π??

=-=-=- ???.

故答案为：1- 【点睛】

本题考查了求分段函数的函数值以及三角函数值，属于基础题. 14．

41

26

【解析】 【分析】

根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos ,tan αα,代入即可求解. 【详解】

由同角三角函数关系式,可知 因为5sin 13α=

,2

π

απ<<,

所以12cos 13α==-,5

sin 513tan 12cos 1213

ααα=

==--, 所以12541cos 6tan 6131226

αα??-=-

-?-= ???. 故答案为: 41

26

【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题. 15

． 【解析】 【分析】

利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可得1m =，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】

因为()22sin10sin370sin80cos

10sin 10cos 101m ?=+-=??+??=?，

2r =

=

，所以cos α=

. 故答案为： 【点睛】

本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及三角函数的定义，属于基础题. 16．(0,]e 【解析】 【分析】

先证明函数()f x 为奇函数，根据)1x x =，结合对数运算法则可得

2()log )f x x =-+，根据复合函数的单调性，可判断2()log )

f x x =-在[0,)+∞上为减函数，再结合奇偶性和()f x 在0x =处连续，可得()f x 在R 上为减函数， 于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价转化为(ln )(24)f x a f x -<--，得

ln 24x a x ->--，即对任意的(1,)x ∈-+∞，ln 34a x <+， 从而有ln 1a ?，即可求解.

【详解】

因为122()log )log )()f x x x f x -=+==-， 所以()f x 为奇函数，且定义域为R .

又因为函数()g x x =在[0,)+∞上为增函数

所以2()log )f x x =-在[0,)+∞上为减函数， 从而()f x 在R 上为减函数.

于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价于

(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--，

所以ln 24x a x ->--，即ln 34a x <+.

因为(1,)x ∈-+∞，所以341x +>，所以ln 1a ?， 解得0a e

本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题. 17．(1){|1x x ≤-或}0x >;(2)(][),37,-∞-+∞U . 【解析】 【分析】

（1）计算{}|05B x x =<<，{|1A x x =≤-或}4x >，再计算A B U 得到答案. （2）根据A B B =I 得到B A ?，故30a +≤或25a -≥，计算得到答案.

(1)因为0

50

x x >??

->?,所以05x <<,即{}|05B x x =<<,

当1a =时,{|1A x x =≤-或}4x >,所以{|1A B x x ?=≤-或}0x >. (2)因为A B B =I ,所以B A ?, {}|05B x x =<<, 则30a +≤或25a -≥,即3a ≤-或7a ≥, 所以实数a 的取值范围为(][),37,-∞-+∞U . 【点睛】

本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用. 18．(1)1

2

-；(2)2-. 【解析】 【分析】

（1）利用指数与对数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】

（1)原式）1

3

13

2

49314164?

?

????=+-?? ? ?

??

????+?

?

73

1444

=

++- 12

=-.

(2)原式3

2

3

log 313=--+31422

=

-+ 2=-.

【点睛】

本题考查了指数与对数的运算，需熟记指数与对数的运算性质，属于基础题.

19．(1)22sin 2cos 2sin cos x x x x

+?；(2)94.

【分析】

（1）利用三角函数的诱导公式即可化简.

（2）由（1）利用同角三角函数的基本关系“齐次式”即可求解. 【详解】

(1)()()()()()

3ππsin πcos 2cos sin 222sin 2πcos πx x x x f x x x ????

-++-+ ? ?

????=

-+

()

sin sin 2cos cos =

2sin cos x x x x

x x ?+?-?-

22sin 2cos =

2sin cos x x x x +?.（写成212cos 2sin cos x x x +?或22sin 2sin cos x

x x

-?均可） (2)因为tan 4α=.

所以()222sin 2cos tan 21629=2sin cos 2tan 244

f ααααααα+++===??.

【点睛】

本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题. 20．(1)2；(2)5

2

-. 【解析】 【分析】

（1）由3OB OA OC =u u u r u u u r u u u r

+2，根据向量减法的几何意义可得()

2OB OC OA OB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而

可得2AB BC =u u u r u u u r

，利用平面向量的基本定理即可求解.

（2）利用向量共线定理AC CD λ=u u u r u u u r

，将已知代入即可求解. 【详解】

(1)32OB OA OC =+u u u r

u u u r

u u u r

Q

()

2OB OC OA OB ∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2AB BC =u u u r u u u r ，

()

22,ka b a b ∴+=+r r r r

(2),,A C D Q 三点共线， AC CD λ∴=u u u r u u u r .

()()

()213,2,AC ka b a b k a b CD a b =+++=++=-u u u r r r r r r r u u u r r r Q

()132k a b a b λλ∴++=-r r r r ，即1k λ+=，23λ-=，解得5

2

k =-.

【点睛】

本题考查了向量减法的几何意义、平面向量的基本定理以及平面向量的共线定理，属于基础题.

21．(1)2a =,2b =-或2a =-

,4b =2)函数()g x 在0,

8π??

????

上单调递增.函数

()g x 在,82ππ??

????

上单调递减.

【解析】 【分析】

（1

）先求得sin 2,142x π?

???+

∈-?

? ??

???

,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可； （2）由（1）(

)2sin 224f x x π??

=-++ ??

?则(

)2sin 224g x x π?

?=++ ??

?,进而判断单调性即可 【详解】 解:(1)当0,

2x π??

∈????

时,52,444x πππ??+∈????,

所以sin 242x π???

?+∈-

?? ??

???, ①当0a >时,

由题意可得212

a a

b a a b ???-++=? ????

?++=?

即222a a b a b ?-

++=???+=?

,解得2a =,2b =-； ②当0a <时,

由题意可得21a a b a a b ???++=? ????

?++=?,

即222a a b a b ?-

++=???+=?

,解得2a =-

,4b =(2)由（1）当0a <时,2a =-

,4b =所以(

)2sin 224f x x π??

=-+

+ ??

?

所以(

)2sin 22224f x x g x πππ????

??=+=-+++ ? ????

??

??

?2sin 224x π?

?=++- ???令2222

4

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+,k Z ∈,解得388

k x k ππ

ππ-

+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-

≤≤,则3,0,0,8828ππππ??????

-?=????????????, 所以函数()g x 在0,

8π??

????上单调递增, 同理,函数()g x 在,82ππ??

????

上单调递减 【点睛】

本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 22．(1)证明见解析；(2)[]ln 2,+∞.

【解析】 【分析】

（1）利用函数的单调性定义即可证出.

（2）根据解析式可知()f x 与()g x 均为R 上的偶函数，由题意可知只需函数()y f x =在

[],a a -上的最大值不小于()y g x =x ∈R 的最大值，由（1）函数()f x 为单调递增，即

()()2533

a a f a e e -=

+≥，解不等式即可.

【详解】

（1）证明：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，

则()()1122

12222233x x x x e e e e f x f x --+-

+-= ()()()()21121212

12

121222112=333x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e e --+????-????=-+-=-+--+ ?????????????

()()()12121212

122121133x x x x x x x x

x x e e e e e

e e +++??

=

--=-- ??? 因为1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，所以121x x e e <<，120x x e e -<，121x x e +>， 所以()()12f x f x <，即当120x x <<时，总有()()12f x f x <， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增.

（2）解：由()()223

x x

e e

f x f x -+-==，得()f x 是R 上的偶函数，

同理，()g x 也是R 上的偶函数.

总存在[]()1,0x a a a ∈->，对任意2x ∈R 都有()()12f x g x ≥， 即函数()y f x =在[],a a -上的最大值不小于()y g x =x ∈R 的最大值

53

. 由(1)知()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当[],x a a ∈-时，()()f x f a ≤，

所以()()2533

a a f a e e -=

+≥. 令()10a

t e a =>>，则152t t +≥，令()()11h t t t t

=+>，易知()h t 在()1,+∞上递增，

又()5

22

h =，所以2t ≥，即2a e ≥，

所以ln 2a ≥，即实数a 的取值范围是[]ln 2,+∞.

【点睛】

本题考查了利用定义证明函数的单调性，以及不等式恒成立问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题.