2021届湖北省襄阳市五校(宜城一中、枣阳一中、襄州一中)高三上学期期中考试数学试题及答案
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2020—2021学年上学期高三期中考试数学试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是符合题目要求的）。 1、已知集合{
}2
,3,1a A =，{}2a ,1+=B ，若B B A = ，则实数a 的取值为（）
A 、1
B 、-1或2
C 、2
D 、-1或1
2、若复数z 满足i i z 2)1(=-，则下列说法正确的是（） A 、z 的虚部为i -
B 、z 为实数
C 、2=
z D 、i z z 2=+
3、下列命题为真命题的是（）
A 、若0<
b
a 1
1< B 、若0>>b a ，则2
2bc ac > C 、若0>>>b a c ，则b
c b
a c a -<- D 、若0>>>c
b a ，则
c
b c a b a ++> 4、设函数)(x f 的导函数是)(x f '，若x x f x f sin cos )2()(-?'=π，则=')3
(π
f （）
A 、2
1-
B 、
2
3 C 、
2
1
D 、2
3-
5、在ABC ?中，已知2,230==?=c a A ，，则b =（）
A 、13+
B 、13+或13-
C 、26+
D 、26+
或26-
6、已知53)4cos(-=-π
x ，4
71217ππ< x tan 1sin 22sin 2+-的值为（） A 、 75 28 B 、100 21 - C 、75 28- D 、 100 21 7、已知函数)0()(,log )(,)2 1()(3 3 1>-=-=-=x x x x h x x x g x x f x 的零点分别为c b a ,,，则 c b a ,,的大小顺序为（） A 、c b a >> B 、b a c >> C 、a c b >> D 、c a b >> 8、已知关于x 方程0)1()12(=-+-x m x e x 有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（） A 、()+∞-? ?? ????--,11,423 e B 、?? ? ??-∞-23 4,e C 、()0,11,423 -??? ? ??-- e D 、()0,14,23 -??? ? ??-∞- e 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）。 9、若“x x M x -≤∈?,”为假命题，“3,≤∈?x M x ”为真命题，则集合M 可以是（） A 、{}30≤ }2 1< D 、{} 0>x x 10、函数)2 ,0,0)(sin()(π ?ω?ω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列结论中正确的是 （） A 、将函数)(x f 的图象向右平移 12 π 个单位得到函数 )4 2sin()(π + =x x g 的图象 B 、函数)(x f 的图象关于点z k k ∈-),0,6 2( π π对称 C 、函数)(x f 的单调递增区间为z k k k ∈?? ? ?? ?+-,12,125ππππ D 、直线π3 2 - =x 是函数)(x f 图象的一条对称轴 11、已知函数b a x f x -?=)2 1()(的图象过原点，且无限接近直线2-=y 但又不与该直线相交， 则（） A 、函数)(x f 为奇函数 B 、函数)(x f 的单调递减区间是[ )+∞,0 C 、函数)(x f 的值域为(] 0， ∞- D 、函数)(x f 有唯一零点 12、已知函数x x x x f -+-=2 3 2)(，若过点),1(t P 可作曲线)(x f y =的三条切线，则t 的取值 可以是（） A 、0 B 、 27 1 C 、 28 1 D 、 29 1 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。 13、已知角α的终边上一点），（13-A ，则=+)tan(απ 。 14、已知函数， ）（?????<+≥=2 ),1(2 ,31)(x x f x x f x 则)2log 2(3-f 的值为 。 15、已知函数)(2)(2 R a ax x x f ∈-+=，若)4,1(∈?x ，使得0)(≤x f ，则a 的取值范围 是 。 16、已知正实数满足xy y x 3192 2 +=+，则当=x 时， xy y x 1 31+ +取得最小值是 。 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17、（10分）在①2=b ；②32=c ；③2 2 2 3b ac c a =-+这三个条件中任选两个，补充 在下面问题中，求BCD ∠的大小和ACD ?的面积。 问题：已知ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，2=a ，设D 为边AB 上一点， CD BD 2=, 。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分。 18、（12分）设集合{ }{ } 034,0822 22 =+-=<-+=a ax x x B x x x A （1）若A x ∈是B x ∈的必要条件，求实数a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使φ≠B A 成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明 理由。 19、（12分）已知定义域为R 的函数a b x f x x ++=+122)(是奇函数。 （1）求b a ,的值； （2）判断函数)(x f 的单调性，并说明理由； （3）若对于任意R t ∈，不等式0)2()2(2 2 >-+-k t f t t f 成立，求k 的取值范围。 20、（12分）已知定义域为?? ? ???- 0,2π的函数m x x x f +-=2cos 22sin 3)(的最大值为2。 （1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）求使0)(≤x f 成立的x 的取值集合。 21、（12分）宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农 博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市。实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量L （单位：百斤）与施用肥料x （单位：百斤） 满足如下关系：???????≤<+≤<+=32 3,1602 30),2(8)(2 x x x x x x L ，肥料成本投入为x 5（单位：百元），其它成 本投入为x 10（单位：百元）。已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为)(x f （单位：百元）。 （1）求)(x f 的函数关系式； （2）当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？ （参考数据：414.12≈）。 22、（12分）已知函数 x e a ae x f x x ++-=)2()(2 （1）若0>a ，求)(x f 的单调递增区间； （2）若存在正实数0x ，使得e x f -=)(0，求实数a 的取值范围。 2020—2021 学年上学期高三期中考试 数学参考答案 一、选择题 二、填空题 13、33- 14、27 2 15、1 1 ，9（第一个空2分，第二个空3分） 三、解答题 17、解：选①② 作AB CE ⊥于E ，由BC AC =得：32 1 ==AB BE ……（1分） 在BEC Rt ?中23cos ==∠BC BE B 6 π =∠∴B ……（2分） 在BCD ?中 BCD BD B CD ∠= ∠sin sin 2 2 sin sin =∠?= ∠∴B CD BD BCD ……（3分） 又3 2π = ∠<∠ACB BCD ……（4分） 4 π = ∠∴BCD ……（5分） 125432π ππ=-=∠∴ACD ……（6分） 12 564π ππ=+=∠ADC ……（7分） ∴在ACD ?中2==AD AC ……（8分） 16 sin 221sin 212=??=∠??= ∴?π A AD AC S ACD ……（10分） 注：若选择其它条件解答，请参照给分。 18、解：{}24<<-=x x A ……（1分） ()(){}03=--=a x a x x B ……（2分） 宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中 南漳一中 （1）由已知得：A B ?……（3分） ?? ?<<-<<-∴2 342 4a a ……（5分） 3 2 34<<- ?a ……（7分） （2）假设存在a 满足条件则24<<-a 或234<<-a ……（10分） 24<<-∴a ……（12分） 19、解：（1）由已知得：()00=f 021=++∴ a b 1-=b ……（1分） 又()()011=+-f f 得041 111 21=+-++-a a 2=a ……（2分） 检验：()1 21 22122121+-?=+-=+x x x x x f ()()x f x f x x x x -=+-?=+-?=---2 12121121221……（4分） 2=∴a 1-=b （2）()1 21 21+-= x x f ……（6分） 12+x 在R 上单调递增且恒大于0 1 21 +∴ x 在R 上单调递减()x f ∴在R 上单调递增……（8分） （3）()()()222222t k f k t f t t f -=-->-……（9分） 2222t k t t ->-∴……（10分） ()1122 2-+=+<∴t t t k ()1112 -≥-+t 1-<∴k ……（12分） 20、解：()m x m x x x f +-??? ?? -=+--=162sin 212cos 2sin 3π……（2分） ?? ? ???-∈0,2πx ??????--∈-∴6,6762πππx ∴当6 76 2ππ - =- x 时2π -=x ()2max ==m x f ……（4分） ()162sin 2+??? ? ? -=∴πx x f ……（5分） （1）令2 6267π ππ-≤-≤-x ……（6分） 解得：6 2 π π - ≤≤- x ……（7分） 所以单调递减区间为?? ? ???--6,2ππ……（8分） （2）0162sin 2≤+??? ??-πx 2162sin -≤??? ?? -∴πx ……（9分） 又66267πππ-≤-≤- x 6 6265π ππ-≤-≤-∴x ……（10分） 解得：03 ≤≤- x π ……（11分） x ∴的取值集合为??? ???≤≤-03x x π……（12分） 21、解：（1）()()x x L x f 152-= ???????≤<-+≤<+-=323,151120230,3215162 x x x x x x x ……（4分） （2）①当230≤ 3 3215<=x ∴当2 3 = x 时()5.45max =x f ……（7分） ②当 323≤ ? ? ??+++-=x x x f 当且仅当 ()1151 120 +=+x x 即828.1122≈-=x ……（10分） 由①②可知：828.1=x 时()16.50max ≈x f ∴当施用肥料为182.8斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润为5016元……（12 分） 22、解：（1）()()1222++-='x x e a ae x f ()()112--=x x ae e ……（1分） ①2=a 时()() 0122 ≥-='x e x f ()x f ∴在R 上单调递增……（2分） ②20<'x f 得：a e x 1> 或2 1 (ln +∞a ……（3分） ③2>a 时令()0>'x f 得：21> x e 或a e x 1< ∴21ln >x 或a x 1 ln <∴单调增区间为)1ln ,(a -∞和),2 1(ln +∞……（4分） （2）())1)(12(--='x x ae e x f 0>x ①当0≤a 时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递减∴2)0()(-= ②当0>a 时，)1 )(21(2)(a e e a x f x x --=' 若11 ≤a ，即1≥a 时，0)('>x f )(x f 在),0(+∞上单调递增 ∴e f x f ->-=>2)0()(不满足……（8分） 若 11>a ，即10< (ln +∞a 上单增 ∴a a a a a a a f x f ln 1 11ln 21)1(ln )(min ---=++-==……（9分） 令a a a g ln 11)(---=)10(<-=-='a a a a a g ∴)(a g 在)1,0(上单增，且e e e g -=+--=11)1 (……（10分） ∴e a 10≤<时e e g a g -=≤)1 ()(，此时00>?x ，使得e x f -=)(0