2020年山东省实验中学高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.sin（-）=（）
A. B. C. D.
2.已知，则cos2α=（）
A. B. 1 C. D.
3.若，且α为第二象限角，则=（）
A. 7
B.
C. -7
D.
4.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如
图所示，则函数f（x）的解析式为（）
A. f（x）=sin（2x-）
B. f（x）=sin（2x+）
C. f（x）=sin（4x+）
D. f（x）=sin（4x-）
5.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个
单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=（）
A. B. C. D.
6.设，b＝sin 15°+cos 15°，，则a，b，c
的大小关系为（）
A. c＜b＜a
B. b＜c＜a
C. a＜b＜c
D. b＜a＜c
7.已知f（x）=2sin2x+2sin x cosx，则f（x）的最小正周期和一个单调减区间分别为（）
A. 2π，[，]
B. π，[，]
C. 2π，[-，]
D. π，[-，]
8.若锐角α，β满足（1+tanα）（1+tanβ）=4，则α+β=（）
A. B. C. D.
9.若函数满足f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值
为，则函数f（x）的解析式为（）
A. B.
C. D.
10.已知函数，如果存在实数x0，使得对任意
的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π）成立，则ω的最小值为（）
A. B. C. D.
11.已知sinα+cosα=，则tanα=（）
A. B. C. - D. -
12.已知α∈（0，π）且sinα，cosα是关于x的方程x2-ax+a=0（a∈R）的两实根，下列
命题正确的是（）
A. B.
C. D. |sinα|-|cosα|＞0
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.定义运算：．若，则
β=______
14.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，
若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
15.一扇形的圆心角为60°，半径为R，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为______
16.已知函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜
φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG
（点G是图象的最高点）是边长为2的等边三角形，
则ω=______，f（）=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P
（1）求的值；
（2）求tan2α及sin4α
18.已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值，并求出f（x）取得最大值时的x的集合；
（2）写出函数f（x）的对称中心，并求出函数f（x）在[-2π，2π]上的单调增区间．
19.如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y=A sin（ωt+φ）+b，φ∈[-π，π]，
已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？
20.已知函数，直线x=是函数f（x）
的图象的一条对称轴．
（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（2）画出函数f（x）在[0，π]的图象．
21.已知，且cosα，cosβ是方程的两实根．
（1）求α，β的值；
（2）求的值
22.已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cos2x的图象经如下变换得到：先将g（x）
图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，π）内有两个不同的解α，β．
①求实数m的取值范围；
②证明：．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sin（-）=-sin（4π-）=sin=．
故选：D．
由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：已知，则cos2α=1-2sin2α=1-2×=-，
故选：A．
由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．
本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=cos（α-β+β）=cosα=-，
因为α为第二象限角，所以sinα=，则tan=-，
则===，
故选：B．
把已知的等式利用两角差的余弦函数公式化简，求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，进而求出tanα的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanα的值代入即可求出值．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正切函数公式以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由图象得==，即T=π，
即T=，即ω=2，
则函数y=sin（2x+φ），
由五点对应法得2×+φ=，
∴φ=-=，
则f（x）=sin（2x+），
故选：B
根据函数的周期求出ω，结合五点对应法求出φ即可．
本题主要考查三角函数解析式的求解，结合条件求出ω和φ的值是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，解决此问题时要注意数形结合思想的运用，属于中档题.
函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后可得y=sin[2（x+）+φ]（0＜φ＜π），再依据它是偶函数得2×+φ=，从而求出φ的值．
【解答】
解：∵函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后可得y=sin[2（x+）+φ]
（0＜φ＜π），
∵得到的函数是偶函数，
∴2×+φ=+kπ，k∈Z即φ=+kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ的值．
故选D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的单调性的应用，属于中档题．利用三角函数的恒等变换可得a=cos32°，b=cos30°，c=cos28°，再利用y=cos x
在（0，）上是减函数，可得a、b、c的大小关系．
【解答】
解：=cos32°；
b=sin15°+cos15°=sin（15°+45°）=sin60°=cos30°；
==cos28°，
由于y=cos x在（0，）上是减函数，且28°＜30°＜32°，
可得a＜b＜c．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：由f（x）=2sin2x+2sin x cosx
=sin2x-cos2x+1=sin（2x-）+1
∴f（x）的最小正周期T=，
由单调递减，
解得：，（k∈Z）
当k=0时，得f（x）的一个单调减区间[，]．
故选：B．
将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵（1+tanα）（1+tanβ）=4，
∴1+（tanα+tanβ）+3tanα?tanβ=4，
∴（tanα+tanβ）=3-3tanα?tanβ，
∴tanα+tanβ=（1-tanα?tanβ），
∴=，
即tan（α+β）=；
又α、β为锐角，
∴0＜α+β＜π，
∴α+β=．
故选：B．
化简（1+tanα）（1+tanβ）=4，得出=，即tan（α+β）的值，由此求出
α+β的值．
本题考查了两角和与差的正切公式以及特殊角的三角函数值问题，熟练掌握公式是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：因为，
=2sin（ωx+），
∵f（α）=-2，f（β）=0，
因为|α-β|的最小值为=，
∴T=2π，故ω=1，
则f（x）=2sin（x+），
故选：A．
先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求周期，进而可求．
本题主要考查了正弦函数性质的简单应用，属于基础试题．
10.【答案】B
【解析】解：因为，
=ωx+=sin（2ωx+）+，
因为f（x0）≤f（x）≤f（x0+2019π），
∴f（x0）为函数的最小值，f（x0+2019π）为函数的最大值，
要使得结论成立，则在区间[x0，x0+2019π]上包含一个完整的单调区间，
所以×，
解可得，ω≥即最小值．
故选：B．
先结合辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质及单调区间即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式及正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．11.【答案】A
【解析】解：已知等式两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3，∴==3，
整理得：（tanα-1）2=0，
解得：tanα=．
故选：A．
已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα的值．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由题意知，0＜sinα≤1，-1＜cosα＜1，
由△=a2-4a≥0，得a≤0或a≥4；
由根与系数的关系知，
解得a=1±；
所以a=1-；
所以sinα+cosα=1-，A错误；
sinαcosα=1-，B错误；
sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α+cos2α-sinαcosα）=（1-）[1-（1-）]=-2，C正确；
sinαcosα=a=1-＜0，sinα＞0，∴cosα＜0，∴|sinα|-|cosα|=sinα+cosα=a=1-＜0，D错误．故选：C．
由题意知0＜sinα≤1，-1＜cosα＜1，由△≥0求得得a≤0或a≥4；利用根与系数的关系和同角的三角函数关系求出a的值，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了根与系数的关系和同角的三角函数关系应用问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：cosα=，0＜α＜，则sinα=．
∵=，∴sinαcosβ-cosαsinβ=，
∴cosβ-sinβ=，与sin2β+cos2β=1联立，解得：sinβ=．
∵0＜β＜α＜，∴β=．
故答案为：．
cosα=，0＜α＜，可得sinα=．根据=，可sinαcosβ-cosαsinβ=，与
sin2β+cos2β=1联立，解得：sinβ，根据范围即可得出．
本题考查了同角三角函数基本关系式、行列式的运算性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】[-，3]
【解析】解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．
函数f（x）=3sin（ωx-）=3sin（2x-）．
∵x∈[0，]，∴-≤2x-≤，
∴-≤sin（2x-）≤1，-≤3sin（ωx-）≤3，
故f（x）的取值范围是[-，3]，
故答案为[-，3]．
根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈[0，]，求出3sin（ωx-）的范围．
本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．
15.【答案】
【解析】解：∵扇形的圆心角是，半径为R，
∴S扇形=××R2=，
∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，
∴几何知识，r+2r=R，
∴内切圆的半径为，
∴S圆形=，
∴扇形的面积与其内切圆的面积之比为：=．
故答案为：．
确定扇形的内切圆的半径，分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积，即可得到结论．本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，确定扇形的内切圆的半径是关键，属于基础题．
16.【答案】-
【解析】解：由f（x）=A cos（ωx+φ）为奇函数，∴f（0）=A cosφ=0．
∵0＜φ＜π，∴φ=，
∴f（x）=A cos（ωx+）=-A sinωx，
∵△EFG是边长为2的等边三角形，则y G==A，
又函数的周期T=2EF=4，根据周期公式可得，ω==；
∴f（x）=cos（x+）=-sin x，
则f（）=-sin=-．
故答案为：，-．
由题意求出φ、A和T、ω的值，写出函数解析式，再计算f（）的值．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了等边三角形的应用问题，是中档题．
17.【答案】解：（1）∵角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，
∴sinα==，cosα==-，
∴====-3．
（2）由（1）可得tanα==-，
∴tan2α==2．
∴sin2α=2sinαcosα=-，cos2α=2cos2α-1=-，
sin4α=2sin2α?cos2α=．
【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求出sinα、cosα的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．
（2）先求出tanα的值，可得tan2α的值，再利用二倍角公式求得sin2α、cos2α 的值，可得sin4α=2sin2α?cos2α 的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为函数；
（1）T==4π；
令x+=+2kπ，可得x=4kπ．k∈Z；
∴函数f（x）取得最大值时x的集合是{x|x=4kπ，k∈Z}．
（2）x+=kπ，可得x=2kπ-．k∈Z；
∴函数f（x）的对称中心为：（2kπ-，0），k∈Z；
令-+2kπ≤x+≤+2kπ?4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z，
令k=0?x∈[-，]，
k=1?x∈[，]，
∴函数f（x）在[-2π，2π]上的单调增区间为：[-，]．
【解析】（1）直接根据三角函数的性质即可求解；
（2）利用整体代换的思想求出其对称中心及单调区间即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础．
19.【答案】解：（1）由题意，
A=50，b=60，T=3；
故ω=，
故y=50sin（t+φ）+60；
则由50sinφ+60=10及φ∈[-π，π]得，
φ=-；
故y50sin（t-）+60；
（2）在第一个3分钟内求即可，
令50sin（t-）+60＞85；
则sin（t-）＞；
故＜t-＜，
解得，1＜t＜2；
故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．
【解析】（1）由题意，A=50，b=60，T=3；从而可得y=50sin（t+φ）+60；再代入初相即可；
（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t-）+60＞85解得．
本题考查了三角函数在实际问题中的应用，属于基础题．
20.【答案】解：（1）因为，
=cos4ωx+sin4ωx=2sin（4ωx+），
因为直线x=是函数的一条对称轴，
故πω+=，k∈Z，
所以ωπ=，
因为0＜ω＜1，
所以ω=，f（x）=2sin（2x+），
令，k∈Z，
则，
故函数的单调递增区间[-]，k∈Z，
2
2x+π2π
x 0π
y 1 2 0-2 01
【解析】（1）根据正弦函数对称轴处取得最值，代入即可求解ω，然后结合正弦函数的单调性可求；
（2）结合正弦函数的五点作图法可求．
本题主要考查了正弦函数的性质及正弦函数的五点作图法的应用，属于中档试题．21.【答案】解：（1）由，
可得x==，
=sin（50°±45°），即两根为cos5°，cos85°，
∵，
∴cosα＞cosβ，
由题意可得，α=5°，β=85°，
（2）=sin70°（1-），
=sin70°===-1．
【解析】（1）先结合二次方程的根的求解求出方程的两根，然后结合已知可求α，β；（2）先把α，β代入，然后结合切化弦及二倍角，辅助角公式进行化简即可求．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，和差角公式，同角基本关系的综合应用，属于中档试题．
22.【答案】解：（1）将函数g（x）=cos2x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得y=2cos2x，
再向右平移个单位长度得．
令2sin2x=±2得sin2x=±1，所以，k∈Z．
解得对称轴方程为．
（2）①令h（x）=f（x）+g（x），易知，其cos，，令．
又因为T==π，所以[0，π）是函数一个周期的区间．所以若方程在
[0，π）内有两个不同的解，
只需，即即为所求．
②因为α，β是方程f（x）+g（x）=m的根，所以α，β满足．
即，α≠β，又y=sin（2x+θ）的对称轴由
，结合x∈[0，π）得对称轴为．
可知x=α，x=β关于对称轴对称，所以，所以2α+2β=π-2θ或
3π-2θ．
当2α+2β=π-2θ时，cos（2α-2β）=cos（π-2θ-4β）=-cos2（2β+θ）=2sin2（2β+θ）-1=．当2α+2β=3π-2θ时，cos（2α-2β）=cos（3π-2θ-4β）=-cos2（2β+θ）=2sin2（2β+θ）-1=．故．
【解析】（1）利用三角函数图象的变换规律求出f（x）的解析式，然后令函数取得最值，求出x即可得对称轴方程；
（2）①先将f（x）+g（x）化简，然后结合该函数在[0，π）的单调性、最值情况构造不等式求出m的范围；
②可先根据两根α，β关于对称轴对称求出α，β的关系，然后代入cos2（α-β）利用三角很多变换公式化简求值．
本题既考查了三角函数图象的变换规律，同时突出了三角函数的性质在解三角方程时的应用；第二问则重点考查了三角恒等变换．