2015北京市延庆县高三(一模)数学(理)含答案
2015北京市延庆县高三（一模）
数学（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x＞1}，则?U（A∪B）＝（）
A．{x|x＞1}B．{x|x≤﹣1}C．{x|x＞1或x＜﹣1}D．{x|﹣1≤x≤1}
2．（5分）下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（）
A．y＝﹣B．y＝ln|x|
C．y＝sin x D．y＝
3．（5分）设a＝sin393°，b＝cos55°，c＝tan50°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b
4．（5分）执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（）
A．4B．5C．6D．7
5．（5分）在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，则?＝（）
A．﹣B．C．﹣4D．﹣2
6．（5分）“a＞b”是“3a＞3b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）
A．16πB．6πC．4πD．8
8．（5分）有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（）
A．第一张，第三张B．第一张，第四张
C．第二张，第四张D．第二张，第三张
二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.
9．（5分）复数z＝在复平面上对应的点的坐标为．
10．（5分）有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车，现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务，则不同的抽调方案共有种．
11．（5分）如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC＝4，PB ＝2，则圆O的半径为，CD＝．
12．（5分）已知x≥1，y≥0，集合A＝{（x，y）|x+y≤4}，B＝{（x，y）|y＝kx﹣1}，如果A∩B≠?，则k的取值范围是．
13．（5分）曲线|x|+y2﹣3y＝0的对称轴方程是，y的取值范围是．
14．（5分）ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是
AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′；
②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）△ABC中，BC＝2，∠ABC＝θ．
（Ⅰ）若cos＝，AB＝5，求AC的长度；
（Ⅱ）若∠BAC＝，AB＝f（θ），求f（θ）的最大值．
16．（14分）如图1，在边长为12的正方形AA′A1′A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，且BC＝4，AA1′分别交
BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成图
2所示的三棱柱ABC
﹣A1B1C1，在图2中．
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值；
（Ⅲ）在底边AC上有一点M，使得BM∥平面APQ，求的值．
17．（13分）某普通高中为了了解学生的视力状况，随机抽查了100名高二年级学生和100名高三年级学生，对这些学生配戴眼镜的度数（简称：近视度数）进行统计，得到高二学生的频数分布表和高三学生频率分布直方图如下：
近视度数0﹣100100﹣
200
200﹣
300
300﹣
400
400以上
学生频
数
304020100
将近视程度由低到高分为4个等级：当近视度数在0﹣100时，称为不近视，记作0；当近视度数在100﹣200时，称为轻度近视，记作1；当近视度数在200﹣400时，称为中度近视，记作2；当近视度数在400以上时，称为高
度近视，记作3．
（Ⅰ）从该校任选1名高二学生，估计该生近视程度未达到中度及以上的概率；
（Ⅱ）设a＝0.0024，从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；
（Ⅲ）把频率近似地看成概率，用随机变量X，Y分别表示高二、高三年级学生的近视程度，若EX＝EY，求b．
18．（13分）已知函数f（x）＝（a为常数）在点（1，f（1））处切线的斜率为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，求t的最大值．
19．（14分）已知椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC、BD与x轴分别交于点M、N．判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由．
20．（13分）对于集合M，定义函数f M（x）＝，对于两个集合M，N，定义集合M?N＝{x|f M（x）?f N （x）＝﹣1．已知A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，3，9，27，81}．
（Ⅰ）写出f A（2）与f B（2）的值，并用列举法写出集合A?B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，求Card（X?A）+Card（x?b）的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P，Q?A∪B，且（P?A）?（Q?B）＝A?B．
2015北京市延庆县高三（一模）数学（理）
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【分析】首先求出A∪B，然后取补集得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|x＞1}，
∴A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，
则?U（A∪B）＝{x|﹣1≤x≤1}．
故选：D．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
2．【分析】根据奇函数和增函数的定义，结合函数的图象判断即可．
【解答】解：对于A，在（﹣∞，0），（0，+∞）上是增函数，但在定义域上不是增函数，故不正确；
对于B，是偶函数，故不正确；
对于C在定义域上有增有减，故不正确；
对于D，函数的图象如图：，
可知是奇函数，在定义域上是增函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象和性质，属于基础题．
3．【分析】利用诱导公式化简函数值，通过三角函数的单调性判断大小即可．
【解答】解：a＝sin393°＝sin33°＝cos57°＜b＝cos55°＜1＜c＝tan50°，
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，函数值的大小半径，基本知识的考查．
4．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S＝26时，满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n＝25，S＝0，i＝1
S＝1，i＝2，
不满足条件S≥n，S＝4，i＝3
不满足条件S≥n，S＝11，i＝4
不满足条件S≥n，S＝26，i＝5
满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
5．【分析】通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．
【解答】解：在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC和DC的中点，
以a为顶点，AB，AD为坐标轴，建立平面直角坐标系，
则B（2，0），D（0，2），E（2，1），F（1，2）．
则＝（2，﹣1），＝（﹣1，2）．
?＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查计算能力．
6．【分析】根据指数函数的单调性即知3x在R上是增函数，所以根据充分条件、必要条件的概念便可得到“a＞b”
是“3a＞3b”的充要条件．
【解答】解：3x是增函数，所以a＞b可得到3a＞3b；
而3a＞3b能得到a＞b；
所以“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件．
故选：C．
【点评】考查指数函数的单调性，以及对单调性定义的运用，充分条件、必要条件、充要条件的概念及判断．
7．【分析】由已知中的三视图，画出该几何体的直观图，利用等积法，将其体积转化为圆柱的体积，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体的直观图如下图所示：
，
它是由一个底面直径为2，高为4的圆柱，用一个斜面切开后，
两部分重新组合而成的管道拐角状的组合体，
其体积等同于一个底面直径为2，高为4的圆柱，
即V＝4π，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中利用等积法，将其体积转化为圆柱的体积，是解答的关键．8．【分析】由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．
【解答】解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，
则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．
故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．
故选：B．
【点评】本题考查了归纳推理，注意推理要合乎情理，利用p后面要写2，并没有说2这个数字后面是其他字母违规进而得出是解题关键．
二、填空题共6个小题，每小题5分，共30分.
9．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：复数z＝＝＝＝＝﹣i在复平面上对应的点的坐标为（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
10．【分析】分类讨论，利用组合知识，即可得出结论．
【解答】解：由题意，不同的抽调方案共有＝3+6+18＝27种．
故答案为：27．
【点评】本题考查组合知识，考查学生的计算能力，正确分类讨论是关键．
11．【分析】由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2＝PB?P A，OC⊥PD．再利用AD⊥PD得到OC∥AD．利用平行线分线段成比例即可得出．
【解答】解：设圆的半径为R．连接OC．
∵PD与半圆O相切于点C，∴PC2＝PB?P A，OC⊥PD．．
∵PC＝4，PB＝2，
∴42＝2×（2+2R），
解得R＝3．
又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．
∴．
∴，解得CD＝．
故答案为：3；．
【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
12．【分析】由题意作出可行域，把A∩B≠Φ转化为直线y＝kx﹣1与可行域有公共点，然后利用两点求直线的斜率得答案．
【解答】解：由作出可行域如图，
要使A∩B≠?，则直线y＝kx﹣1与可行域有公共点，
联立，得B（1，3），
又A（4，0），
直线y＝kx﹣1过定点P（0，﹣1），
，．
∴k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了集合运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
13．【分析】以﹣x代替x，方程不变，可得曲线|x|+y2﹣3y＝0的对称轴方程，由方程可得y2﹣3y＝﹣|x|≤0，即可求
出y的取值范围．
【解答】解：以﹣x代替x，方程不变，所以曲线|x|+y2﹣3y＝0的对称轴方程是x＝0；
由方程可得y2﹣3y＝﹣|x|≤0，所以0≤y≤3，即y的取值范围是[0，3]．
故答案为：x＝0；[0，3]．
【点评】本题考查曲线与方程，考查函数的性质，比较基础．
14．【分析】①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC；
④因为ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥
平面BD′E．
【解答】解：①存在AC中点E，则EF∥CD′，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面BCD′，正确；
②若EF⊥平面ABD′，则平面ADC⊥平面ABD′，显然不成立，故不正确；
③D′E⊥AC，利用面面垂直的性质，可得D′E⊥平面ABC，正确；
④因为ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，所以B，D′在AC上的射影不是同一点，所以不存在点E，使得AC⊥
平面BD′E，故不正确；
故答案为：①③．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．【分析】（Ⅰ）根据余弦的倍角公式求出cosθ，由余弦定理即可求AC的长度；
（Ⅱ）求出角C的大小，根据正弦定理表示出f（θ），根据三角函数的性质即可取出f（θ）的最值．
【解答】解：（Ⅰ）若cos＝，则cosθ＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，
∵AB＝5，BC＝2，
∴由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC cosθ＝25+4﹣2×5×2×＝17，
故AC＝．
（Ⅱ）若∠BAC＝，AB＝f（θ），
则C＝π﹣﹣θ＝﹣θ，
则由正弦定理得＝，
即AB＝f（θ）＝?sin（﹣θ）＝4sin（﹣θ），
则当﹣θ＝，即θ＝时，
f（θ）取得最大值，最大值为4．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．
16．【分析】（Ⅰ）由AB⊥BC．AB⊥BB1，得AB⊥平面BC1，易得AB⊥PQ；
（Ⅱ）先求得各点的坐标，从而得出相应向量的坐标，再求出平面APQ的法向量，由线面角公式求解；
（Ⅲ）过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，从而四边形PBMN为平行四边形，对边平行BM∥PN，由线面平行的判定定理得BM∥平面APQ．
【解答】（Ⅰ）证明：因为AB＝3，BC＝4，
所以AC＝5，从而AC2＝AB2+BC2，
即AB⊥BC．
又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1＝B，
所以AB⊥平面BC1，
又PQ?平面BC1，所以AB⊥PQ；
（Ⅱ）解：由图1知，PB＝AB＝3，QC＝7，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）
＝（0，4，0），＝（﹣3，0，3），＝（﹣3，4，7）
设平面APQ的法向量为＝（a，b，c），
得，
令a＝1，则c＝1，b＝﹣1，
所以cos＜，＞＝＝﹣
所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：AM：MC＝3：4
过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
∵AM：MC＝3：4，
∴AM：AC＝MN：CQ＝3：7
∴MN＝PB＝3，
∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形，
∴BM∥PN，∴BM∥平面APQ，
∴BM∥平面APQ，＝．
【点评】本题主要考查线与线，线与面，面与面的位置关系和线面平行和线面垂直的判定定理及空间向量的应用，培养学生转化的能力．
17．【分析】（Ⅰ）由频率分布表得到从该校任选1名高二学生，该生近视程度未达到中度及以上的频率得答案；
（Ⅱ）由频率分布直方图结合频率和为1求得从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率；
（Ⅲ）分别求出EX、EY，由EX＝EY求得b的值．
【解答】解：（Ⅰ）由频数分布表可知，从该校任选1名高二学生，该生近视程度未达到中度及以上的频率为，
则估计该生近视程度未达到中度及以上的概率为0.7；
（Ⅱ）若a＝0.0024，则（0.003+0.0024+b+0.001+2×0.0005）×100＝1，解得：b＝0.0026．
则从该校任选1名高三学生，该生近视程度达到中度或中度以上的频率为（0.0026+0.001+2×0.0005）×100＝0.46，则从该校任选1名高三学生，估计该生近视程度达到中度或中度以上的概率为0.46；
（Ⅲ）由频率分布表可得：P（X＝0）＝100a，P（X＝1）＝0.3，P（X＝2）＝100b+0.1，P（X＝3）＝0.1，由频率分布直方图得：P（Y＝0）＝0.3，P（Y＝1）＝0.4，P（Y＝2）＝0.3，P（Y＝3）＝0，
则EX＝1×0.3+200b+0.2+3×0.1＝200b+0.8，
EY＝1×0.4+2×0.3＝1．
由EX＝EY，得200b+0.8＝1，解得：b＝0.001．
【点评】本题考查频率分布表，考查了频率分布直方图，考查了随机变量的分布列及其数学期望，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）求导数，函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为，可得，解之即可；（Ⅱ）把问题转化为方程在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数，可得函数g（x）有零点x0∈（3，4），进而可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）求导数可得，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为，
∴，解得a＝1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）由（I）可知
∵函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，
∴方程f′（x）＝0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程在[t，+∞）（t∈Z）上有解﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
令，
∵x＞0，∴，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数﹣﹣﹣（9分）
又，
∴函数g（x）有零点x0∈（3，4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
∵方程g（x）＝0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
【点评】本题为函数与导数的综合应用，涉及切线问题和构造函数法以及函数的零点，属中档题．
19．【分析】（Ⅰ）由已知条件设椭圆G的方程为：．由e＝，得，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设C（x0，y0），且x0≠0，则D（﹣x0，y0），由已知条件推导出＝，，由此能求出以线段MN为直径的圆不过点A．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为，其短轴两端点为A（0，1），B（0，﹣1），
∴设椭圆G的方程为：．
由e＝，得，
解得a2＝2，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）以MN为直径的圆是不过点A．理由如下：
∵C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，
∴设C（x0，y0），且x0≠0，则D（﹣x0，y0）．
∵A（0，1），B（0，﹣1），∴直线AC的方程为y＝．
令y＝0，得，∴M（）．
同理直线BD的方程为y＝，令y＝0，解得N（）．
，，
∴＝，
由C（x0，y0）在椭圆G：上，∴，
∴，
∴∠MAN≠90°，
∴以线段MN为直径的圆不过点A．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查圆是否经过一个点的判断，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．
20．【分析】（Ⅰ）直接利用新定义写出f A（2）和f B（2）的值，并用列举法写出集合A?B；
（Ⅱ）要使Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，1，3一定属于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，所以当集合X为{2，4，5，6，9，27，81}的子集与集合{1，3}的并集时，从而得出Card（X?A）+Card（x?b）的最小值；
（III）先验证得到?运算具有交换律和结合律，从而有（P?A）?（Q?B）＝（P?Q）?（A?B），而（P?A）?（Q?B）＝（A?B），所以P?Q＝?，所以P＝Q，而A∪B＝{1，2，3，4，5，6，9，27，81}，从而得到满足条件的集合对（P，Q）有29个．
【解答】解：（Ⅰ）f A（2）＝﹣1，f B（2）＝1，
∴A?B＝{2，4，5，6，9，27，81}．…（3分）
（Ⅱ）X?A＝{x|x∈X∪A，x?X∩A}，X?B＝{x|x∈X∪B，x?X∩B}
要使Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，
1，3一定属于集合X，X不能含有A∪B以外的元素，
所以当集合X为{2，4，5，6，9，27，81}的子集与集合{1，3}的并集时，
Card（X?A）+Card（X?B）的值最小，最小值是7 …（8分）
（Ⅲ）因为f A?B（x）＝f A（x）?f B（x），
f（A?B）?C（x）＝f A（x）?f B（x）?f C（x）
所以?运算具有交换律和结合律，
所以（P?A）?（Q?B）＝（P?Q）?（A?B）
而（P?A）?（Q?B）＝（A?B）
所以P?Q＝?，所以P＝Q，而A∪B＝{1，2，3，4，5，6，9，27，81}
所以满足条件的集合对（P，Q）有29＝512个…（13分）
【点评】本题考查子集与交集、并集运算的转换，集合的基本运算，考查逻辑推理能力，分类讨论思想的应用．