山东省2013年高二暑假作业(七)理科数学

2013高二数学（理）暑假作业（七）

一、选择题 1．复数2

2(

)i i

+= A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +

2.设全集U 是自然数集N ，集合{}{}

1,2,3,1A B x N x ==∈≤，则如图所示的阴影部分的集合为

A.{}0,1

B.{}1,2

C.{}2,3

D.{}0,1,2

3. 已知x 与y 之间的一组数据：

x 0 1 2 3 y

1

3

5

7

则y 与x 的线性回归方程+=a x b y 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)

4. 曲线??

??

?+-=

++-=λλλλ

11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是（ ） A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )9

5 5 .在ABC △中，60,6,10A b c ===，则ABC △的面积为

A. 156

B.153

C.15

D.30

6. 已知抛物线2

4y x =的准线与双曲线()22

21,0x y a a

-=＞交于A,B 两点，点F 为抛物

线的焦点，若FAB ?为直角三角形，则双曲线的离心率是

A.3

B.6

C.2

D.3

7.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形且体积为1

2

，则该几何体的俯视图可以是

8. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为321S =，则4a = A ．32

B.24

C.27

D ．54

9．函数f (x )＝e x

－1x

的零点所在的区间是( )

A.? ????0，12

B.? ????12，1

C.? ????1，32

D.? ??

??32，2 10．

如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ） A. k≤11 B.k≥11 C .k≤10 D .k≥10

11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2

2

8150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是

A.4

3

-

B.54

-

C.35

-

D.53

-

12在下列函数中，最小值是22 A.12lg (0)lg y x x x =+

> B. 2sin sin y x x

=+()0,x π∈ C. 22

3

y x =

+ D.2x

x

y e e

-=+

二、填空题

13. 若不等式2

20ax bx ++>的解集是11

(,)23

-，则a b +的值为 .

14.在复平面内，记复数3i +对应的向量为OZ ，若向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转

60 得到向量'OZ 所对应的复数为___________________．

15.已知实数[]0,10x ∈，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于47的概率为

16.过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1),则圆C 的方程为

三、

解答题

17.已知函数1

21

)(+-

=x a x f . （1）证明：不论a 为何实数()f x 总为增函数 （2）确定a 的值, 使)(x f 为奇函数； 18．(本小题满分12分)

如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC ?所在平面互相垂直，F 为BC 的中点， 90BAC ACD ∠=∠=?，AE ∥CD ，

22DC AC AE ===.

（1）求证：平面BCD ⊥平面ABC ; （2）求证：AF ∥平面BDE ； （3）求四面体B CDE -的体积.

19．己知等比数列{}n a 所有项均为正数，首11a =，且435,3,a a a 成等差数列． (I)求数列{}n a 的通项公式；

(II)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若*

21()n n S n N =-∈，求实数λ的值．

20.已知抛物线2

4y x =的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，直线m 垂直于x 轴（垂足为T ），与抛物线交于不同的两点P,Q 且125F P F Q ?=-.

（I ）求点T 的横坐标0x ；

（II ）若以F 1,F 2为焦点的椭圆C 过点21,2??

? ???

.

①求椭圆C 的标准方程；

②过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，设22F A F B λ=，若[]2,1,TA TB λ∈--+求的取值范围.

2013高二 数学（理）暑假作业（七）参考答案

一、选择题

1-5 ACABB 6-10 BABBD 11-12AD 二、填空题 13.14- 14． 2i 15．1/2

16.

22

3)2x y -+=（ 三、解答题

17． (1) 依题设)(x f 的定义域为),(+∞-∞ 原函数即1

21

)(+-

=x

a x f ，设12x x <, 则1

2

1211

()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++, 12x x <, 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,

f x f x ∴-<

即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. (2)

()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即11

2121

x x

a a --

=-+++ 则11

221211211212=+++=+++=-x x

x x x

a ，

∴1.2a = 11().221

x f x ∴=-+

18．（1）∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC 面ACDE AC =，CD AC ⊥,

∴DC ⊥面ABC ， 又∵DC ?面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC . （2）取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则FP

1

2

DC ,

又∵EA

1

2

DC ，∴EA FP ，

∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，

又∵EP ?面BDE 且AF ?面BDE ，∴AF ∥面BDE . （3）∵BA ⊥AC ，面ABC

面ACDE =AC ， ∴BA ⊥面ACDE .

∴BA 就是四面体B CDE -的高，且BA =2. ∵DC =AC =2AE =2，AE ∥DC ， ∴11

(12)23,121,22

ACE ACDE S S ?=+?==??=梯形 ∴312,CDE

S ?=-= ∴14

22.33

E CDE V -=??=

19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件得423,3,q q q 成等差数列，所以

4326q q q +=

解得2,3=-=q q 或

由数列{}n a 的所有项均为正数,则q =2 数列{}n a 的通项公式为n a =1

2

n -(*)n N ∈

（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=?-=n n n n b λλ 若0,0,2===n n S b λ不符合条件； 若2≠λ， 则

21

=+n

n b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2, 此时)12)(2()21(2

1)

2(--=---=

n n n S λλ 又

n S ＝21(*)n

n N -∈,所以1=λ

20．解：（Ⅰ）由题意得)0,1(2F ，)0,1(1-F ，设),(00y x P ，),(00y x Q -， 则),1

(001y x P F +=，),1(002y x Q F --=. 由521-=?F F ，得512020-=--y x 即42

020-=-y x ，① 又),(00y x P 在抛物线上，则02

04x y =，②

联立①、②易得20=x （Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，由题意得1=c ，

设椭圆C 的标准方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x ，

则121

1

2

2=+b a ③ 122+=b a ④

将④代入③，解得12

=b 或2

1

2

-

=b （舍去） 所以212

2

=+=b a

故椭圆C 的标准方程为12

22

=+y x （ⅱ）方法一：

容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ky =+

将直线l 的方程代入2

212

x y +=中得：22(2)210k y ky ++-= 设112212(,),(,),00A x y B x y y y ≠≠且，则由根与系数的关系， 可得：12222

k

y y k +=-+ ⑤ 1221

2

y y k =-

+ ⑥ 因为B F A F 22λ=，所以

1

2

y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式，得：

22

1222

214142222

y y k k y y k k λλ++=-?++=-++ 由[]5111

2,1+22022λλλλλ∈--?-≤≤-?-≤++≤22

14022k k ?-≤-≤+

所以 7

2

02

≤

≤k 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-，所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，

又12222k

y y k +=-+，所以2121224(1)4()22k x x k y y k ++-=+-=-+，

故222

2

2

2

12122222

16(1)4||(4)()(2)(2)k k TA TB x x y y k k ++=+-++=+++

22222222

16(2)28(2)828816(2)2(2)

k k k k k +-++==-++++， 令212t k =

+，所以2207k ≤≤ 所以2

7111622k ≤≤+，即71[,]162

t ∈， 所以2

2

2

7

17||()828168()4

2

TA TB f t t t t +==-+=--. 而71[

,]162t ∈，所以169()[4,]32

f t ∈.

所以||[2,8

TA TB +∈. 方法二：

1）当直线l 的斜率不存在时，即1-=λ时，)22,

1(A ，)2

2,1(-B ， 又T )0,2(

，所以((1,222

TA TB +=-+--= 2）当直线l 的斜率存在时，即[)1,2--∈λ时，设直线l 的方程为)1(-=x k y

由?????=+-=12

22y x k

kx y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k

设()()1122,,,A x y B x y ，显然120,0y y ≠≠，则由根与系数的关系，

可得：2221214k k x x +=+，2

221212

2k

k x x +-=? 2

21212122)(k k

k x x k y y +-=

-+=+ ⑤

2

2

21212

2121)1)((k k x x x x k y y +-=++-=? ⑥

因为F F 22λ=，所以

1

2

y y λ=，且0λ<. 将⑤式平方除以⑥式得：

2

214

21

k +-=

++

λ

λ

由[)1,2--∈λ得??????--∈+

2,251

λλ即???

???-∈++0,2121λλ

故0214212<+-≤-

k ，解得2

72

≥

k 因为1122(2,),(2,)TA x y TB x y =-=-， 所以1212(4,)TA TB x x y y +=+-+，

又2

22121)1(44k k x x ++-=-+，

2

22

22222

212

21)21(4)21()1(16)()4(k k k k y y x x ++++=++-+=+

2

2222222)21(221104)21(2)21(10)21(4k k k k k ++++=+++++=

令2211k t +=

，因为272

≥k 所以8121102≤+

? ??∈81,0t ，

所以2

2

2

5

1721042()2

2TA TB t t t

+

=++=+-

1694,32??∈ ???

.

???

?

?+8213,

2 综上所述：||TA TB +∈.