等价无穷小量替换定理
§ 2-6无穷小与无穷大的比较
基础知识导学
1、无穷小的比较
定义1设a 、B 是某一极限过程中的两个无穷小，若
P
lim c （ c 为常数）
a
无穷小的阶与主部
lim
―k = C M 0则称3是关于a 的k 阶无穷小。
a
重点难点突破
1.关于无穷小的比较
要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判 断两个无穷小的关系。
注意
（1）符号3 =0（ a ）与3?a 的含义
一 亠 宀 .P
3 =0( a )表示3是a 的咼阶无穷小，即lim — =0 ;
a
P lim — =1 a
（1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。 （2） 利用等价无穷小求极限
等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换: 卄 / / ?
右a ?a',
3?3‘，且lim —:存在，则
a
定义3 把某极限过程中的无穷小 a 作为基本无穷小，如果
k
3与〉 （k > 0）是同阶的无穷小，即
则（1） 当c M 0时，
称在此极限过程中 3与 (2) 当c = 0时， 称在此极限过程中
3是 (3) 当c = 1时， 称在此极限过程中 3与 2、 无穷大的比较
是同阶无穷小；
的高阶无穷小，记作 3 =。（ a ）（读作小欧a ）；
(1) 如果 (2) 如果 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量，
Z = c 工0则称Y 与Z 是同阶无穷大量； Y Z
丫 = R 时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量;
lim
lim (3) 如果
lim
Yk = c M o （ k > 0）,则称Z 是关于（基本无穷大量）
Y 的k 阶无穷大量。
3?a 表示3与a 是等价无穷小，即 P 皆 lim — = lim
—: a a
定义2
lim
x —
.0 x 3x 3 x 5
x 所以，当X T 0时,
x - 3x 3 + x 5是x 的一阶无穷小
②因为当X T 0时，sin x ?x , tg x ?x ,由恒等式(ii)可得
2
sin xtgx ’
sin x tg x=o(x )，即卩 lim 2
所以，当X T 0时，sin x tg x 是x 的二阶无穷小 (2)先将原式变形，再判断阶数 例2当X T 0时，下列无穷小量是
x 的几阶无穷小 ② tg x - sin x
解：①通过分子有理化将原式变形
2x 1 X 1 - X
由此看出，当X T 0时，】.1 'X - .1-X 是X 的一阶无穷小，事实上
lim
1
XT x( ,1 x *1 - x)
②通过三角函数的公式将原式变形
, . sin x sin x(1 —
cosx) cosx
cosx
P(x)是比cc(x)高阶的无穷小
li P(x) 0
lim ------ = 0
ot (x)
B
(x) = 0 L (x)】
(
X T X 0 )
a(x)与B (x)是同阶的无穷小
lim B (x)=c (C 为不等于零的常数) x f a (x)
a(x)与B (x)是等阶无穷小
lim 0(X)=1 f a(x)
a (x) ~ 0 (x)
(
X T X 0 )
2 ?关于无穷小的阶 当x T 0时，由恒等式
(i) o(x n )+ o(x m )= o(x n )
O v n v m
(ii)
o(x n ) o(x m )= o(x m+n ) m >0, n >0
3 ?关于无穷小的替换定理 设当 X r X 。时，1 (x) ~ :- 2(x) ,
“(x) ~ ：2(x) , lim 2
(x)
存在，则 lim 1!彳2 二— 一勺口2&) —o of'x) ?2(x)
解题方法指导
1 ?判断无穷小的阶有以下几种方法 (仅供参考)：
例1当X T 0时，下列无穷小量是 x 的几阶无穷小
① x - 3x 3 + x 5
②sinxtgx
解：①因为当 X T 0时，在x - 3x 3 + x 5中3x 3与x 5都是x 的高阶无穷小，由恒等式(i)
1
因为
si nx ?x , 1-cosx ?一
x
2
2
由此看出，当X T 0时，tg x - sin x 是x 的三阶无穷小，事实上
sin x(1 -cosx)
3
x cosx
1 2 x x =lim 3 2
x
7 x ?cosx
此题错误解法: 解：因为
1『9%7阮=佃tgx _ sinx “
x
T x x —0 x x
所以，当X T 0时，tg x - sin x 是x 的一阶无穷小
k
这种解法是错误的，因为由无穷小阶的定义， B 与〉 比的极限不能为零。
2?利用等价无穷小代换求极限
常用等价无穷小有：当 X —； 0 时,x~sin x ~ tan x ~ arcsinx~arctanx~
2si n 2
=lim
小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母， 也可代换分子或分母中的因式, 时，一般不能代换其中一项。否则会出错. 如上题lim
tanx
；
sinx
二lim 二0,即得一错误结果.
x ‘°
sin x x )0 x
lim x 0
ln(1 + x) ~ e x —1,
1 2
1 - cos x ~ x , 2x ~ sin 2x ~ tan2x .
2
求下列函数的极限
1-cosx lim x )0
(1)
3x 2
(2) lim
tan x 「sin x
1 2 x
2 = lim 3x 2 x )0
3x 2 tan x -sin x sin x(1 -cosx)
=lim
x —^0
(1) lim -cosx x T
lim
x 「0
sin 3 x
_
6
0,1 -cosx~ ^x 2 )?
2
3
x cosx
si nx =lim
x (1 - cosx)
cosx (■■■ x -
0,sin 2 x
但当分子或分母为多项式
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞ →+∞→∞→∞ →∈00 0x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即 ()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都 不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0l i m =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim ()()(),x x x f x A f x A x α? =? +其中)(x α是自变量在同一变化过程 0x x →（或∞→x ）中的无穷小.
叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理 1.加深对叠加定理和替代定理的理解 2.验证叠加定理只适用于线性电路，而替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 1.叠加定理：多个独立电源共同作用的线性电路中，在任意一个支路中所产生的电压和电流 响应，等于各个电源分别单独作用时在该支路所产生的电压或电流响应的代数和。 注：电压源不工作时，短路处理，用一根理想导线代替 电流源不工作时，断路处理，从电路中拿掉 ——叠加定理只适用于线性电路，对非线性电路不适用 2.替代定理：若电路中某支路电路压uU,U或电流已知，则次电路可用电压的电压源iS或i,i的电流源代替，替代前后，电路中各支路电压、电流不变。 S ——替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 1.验证叠加定理 II21a ++IU,8VU,5VS1S2 -- RR,100,R,200,112 b 图4-1 叠加定理
按图4-1接线，稳压二极管接入电路时的极性如图4-1所示，它处于反向工作状态，其稳定电压约5.5～6.5V。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流II、、和电压I12U。将测量数据记录在表格一中。ab （V） U（mA）（mA） II（mA）表一、叠加定理 Iab12 电压源工作状态 U,8V,U,0V S1S2 U,0V,U,5V S1S2 U,8V,U,5V S1S2 2.验证替代定理 计算在电压源共同作用时稳压二极管的电阻值（R,UI），并在电阻箱上取此值，替ab代稳压二极管接入电路，电路如图4-2所示。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电 流I、I、和电压U。将测量数据记录在表格二中。 I12ab II21a ++IU,8VU,5VS1S2 -- RR,100,R,200,112 b 图4-2 替代定理 表二、替代定理 电压源工作状态 U（V） II（mA）（mA）（mA） Iab12 U,8V,U,0V S1S2 U,0V,U,5V S1S2 U,8V,U,5V S1S2 序号仪表设备名称选用挂箱型号数量备注
关于大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。 从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。 高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下： 等价无穷小的定义及常用的等价无穷小 无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。 常用的等价无穷小有： sinx～tanx～arctanx～arcsinx～ln(1+x)～x(x→0) sin?x～tan?x～arctan?x～arcsin?x～ln?(1+x)～x(x→0) 1?cosx～x22,1+x?????√n?1～xn(x→0)1?cos?x～x22,1+xn?1～xn(x→0) 等价无穷小量在求极限问题中非常重要。恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能使用等价无穷小量代换。
叠加定理和替代定理
叠加定理和替代定理 一、实验目的 1.加深对叠加定理和替代定理的理解 2.验证叠加定理只适用于线性电路，而替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 二、实验原理与说明 1.叠加定理：多个独立电源共同作用的线性电路中，在任意一个支路中所产生的电压和电流响应，等于各个电源分别单独作用时在该支路所产生的电压或电流响应的代数和。 注：电压源不工作时，短路处理，用一根理想导线代替 电流源不工作时，断路处理，从电路中拿掉 ——叠加定理只适用于线性电路，对非线性电路不适用 2.替代定理：若电路中某支路电路压u 或电流i 已知，则次电路可用电压U U S =的电压源或i i S =的电流源代替，替代前后，电路中各支路电压、电流不变。 ——替代定理则对线性电路和非线性电路均适用 三、实验内容 1.验证叠加定理 8U 1S =V 5U 2S =Ω =2002=100R 1 图4-1 叠加定理 按图4-1接线，稳压二极管接入电路时的极性如图4-1所示，它处于反向工作状态，其稳定电压约5.5～6.5V 。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流1I 、2I 、I 和电压 ab U 。将测量数据记录在表格一中。
表一、叠加定理 2.验证替代定理 计算在电压源共同作用时稳压二极管的电阻值（I U R ab =），并在电阻箱上取此值，替代稳压二极管接入电路，电路如图4-2所示。测量电压源单独作用及共同作用时的各支路电流1I 、2I 、I 和电压ab U 。将测量数据记录在表格二中。 8U 1S =V 5U 2S =Ω =2002=100R 1 图4-2 替代定理 表二、替代定理
四、实验设备 五、注意事项 1.稳压二极管的极性 2.电压源不做用时短路 3.可调电阻箱上的电阻必须事先调好 六、实验报告 1.列出测量数据表格 2.依据实测数据验证叠加定理，并验证叠加定理不适用于非线性电阻 3.验证替代定理并说明其适用情况 4.分析产生误差的主要原因
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
替代定理的妙用
《大学电路/电路原理/电路分析》06--替代定理的妙用电学中重要的电路定理有叠加定理、齐性定理、替代定理、戴维宁定理、诺顿定理和最大功率传输定理，在不同的场合解决各类电路问题，真的是太精妙了。 叠加定理把多电源电路变为单电源电路，一下子回到高中物理。齐性定理体现了线性电路的比例性质，其“倒推法”用在单电源多电阻电路就是一个字--“绝”。戴维宁定理和诺顿定理特别擅长于只求某一支路参数的场合，把待求支路从电路中一取走，变成开口电路，难度一下降低。最大功率传输定理将复杂的求导变成求戴维宁/诺顿等效电路中的等效电阻了。但唯独对替代定理的介绍最少，相应的例题应就更少。其实替代定理是一个非常棒的定理，用得好，考试时大可以提前交卷！接下来介绍替代定理在推导及计算中的妙用。 1．替代定理 替代定理是指已知电路中某一支路的参数，如两端的电压，流过支路的电流，那么该支路可等效为一个电压源，或电流源，又或是一个电阻，如下图所示： 其证明过程也是相对简单的，等效为电压源时只需在支路上串联2个大小相等，方向相反的电压源，如下图所示： 虚线框内支路电压刚好和下面的电压源抵消了，电压为0，可用一条导线替代，这样就只剩下面那个电压源了，得证。 而等效为电流源时，则需在支路两端并联2个大小相等，方向相反的电流源，如下图所示：
虚线框内流过支路的电流和右边的电流源也抵消，电流为0，整个框可以去掉，只剩左边那个电流源了。 2. 替代定理在定理推导中的应用 戴维宁定理是指，一个含源一端口可以等效为一个实际电压源模型，在证明时该定理就先替代定理，再用叠加定理来操作的，如下图所示： 图中N s表示含源一端口，N0表示无源一端口。有学生问替代时为什么选电流源而不选电压源，主要是由于在接着使用的叠加定理，将电流源置零时可直接将其断开，方便计算，如果选电压源，置零时就要短接，求解麻烦。将分电路中求出的电压u叠加，得到表达式为： 根据式中的电压电流关系，得到等效电路就是实际电压源模型，即戴维宁等效电路，如下图所示： 看到这里，只想喊一句：“太妙了！” 3．替代定理在解题中的应用 替代定理在一些复杂电路中最能显示它的优势，如下图所示：
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({ 时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无 穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0 lim () ()(),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α ).()(x A x f α+=∴
基尔霍夫定律与替代定理验证实验
基尔霍夫定律与替代定理验证实验 一、实验目的 1、加深对基尔霍夫定律的理解。 2、用实验数据验证基尔霍夫定律。 3、熟练掌握仪器仪表的使用技术。 二、仪器设备 GDDS－2C智能型电工电子系统实验装置 三、原理与说明 基尔霍夫定律是电路理论中最基本的定律之一，它阐明了电路整体结构必须遵守的规律，应用极为广泛。 基尔霍夫定律有两条：一是电流定律，另一是电压定律。 1、基尔霍夫电流定律（简称KCL）：对任意节点，在任意时刻，流入该节点所有支路电流的代数和为零（或：流入节点的电流等于流出节点的电流）。 KCL是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意结点处的反应。是对结点处支路电流加的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。KCL方程是按电流参考方向列写的，与电流实际方向无关。KCL可推广应用于电路中包围多个结点的任一闭合面。 2、基尔霍夫电压定律（简称KVL）：任一时刻，任一回路，延任一绕行方向，所有支路电压的代数和恒等于零。 KVL的实质反映了电路遵从能量守恒。是对回路中的支路电压加的约束，与回路各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。KVL方程是按电压参考方向列写的，与电压实际方向无关。 替代定理定理： 对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为u k、电流为i k，那么这条支路就可以用一个电压等于u k的独立电压源，或者用一个电流等于i k的独立电流源，或用R=u k/i k的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值。 四、实验内容与步骤 (一)、基本要求 1、验证基尔霍夫电流定律 （1）、按照图3－4所示实验线路接线：取电阻R=1KΩ，
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如,,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
替换定理在高等代数中的应用
替换定理在高等代数中的应用 xxx xxx （惠州学院数学系x级数学与应用数学x班） 摘要替换定理是《高等代数》的重要定理之一.本文论述了替换定理的内容，并着重从------个方面介绍替换定理在高等代数中的相关应用. 关键词替换定理向量空间线性无关向量组线性相关等价极大无关组基的扩充秩 引言替换定理是高等代数的重要定理之一,向量空间的许多结论都是根据替换定理得出的.本文给出了替换定理在向量空间中的一些重要定理证明过程中的相关应用,对研究向量空间有很大帮助. 1替换定理的内容 替换定理设向量组｛α1,α2,…,αr｝线性无关,并且每一αi都可以由向量组｛β1,β2,…,βs｝(*)线性表示.那么r≤s,并且必要时可以对(*)中向量重新编号,使得用α1,α2,…,αr替换β1,β2,…,βs后,所得的向量组｛α1,α2,…,αr,βr+1,…,βs｝与（*）等价. 此定理可用数学归纳法、矩阵阵法等方法证明，其证明略. 2 替换定理相关应用 2.1 证明向量的线性相关性 推论1两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.
证设｛α1,α2,…,αr｝和｛β1,β2,…,βs｝是两个等价的线性无关的向量组.于是由替换定理,r≤s且s≤r，所以r=s. 2.2 极大无关向量组向量个数的比较 推论2等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别,一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量. 证设向量组｛α1,α2,…,αm｝与向量组｛β1,β2,…,βn｝等价.令｛αi1,αi2,…,αir｝是｛α1,α2,…,αm｝的任意一个极大无关组,而｛βj1,βj2,…,βjs｝是｛β1,β2,…,βn｝的任意一个极大无关组.由于｛αi1,αi2,…,αir｝线性无关,并且每一个αit都可由β1,β2,…,βs线性表示,而每一βj又可以由βj1,β j2,…,βjs线性表示,t=1,…,r.于是由替换定理得r≤s.同理,s≤r.因而r=s. 2.3 证明了向量的线性相关性. 定理1n维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关. 证n=0时，论断显然正确.设n>0.令｛α1,α2,…,αn｝是n维向量空 间V的一个基。设s>n,而β1,β2,…,βs是V中任意s个向量.那么每一 个βi都可由α1,α2,…,αn线性表示.如果β1,β2,…,βs线性无关,那么由替 换定理推出,s≤n,这就导致矛盾. 2.4 证明了基的扩充定理 定理2(基的扩充定理)设α1,α2,…,αr是n维向量空间V中一组线 性无关的向量.那么总可以添加n-r个向量αr+1,…,αn,使得｛α1,…,αr, αr+1,…,αn｝作成V的一个基.特别,n维向量空间中任意n个线性无 关的向量都可以取作基.
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算
讲义 无穷小极限的简单计算【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{} -+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷
上海交通大学研究生入学考试488基本电路理论基本电路答案4
4-1 如图所示的汇流条a,b上接有三台发电机G1,G2,G3和两个负载R1,R2。已知发电机的电动势分别为Es1=Es3=120V，Es2=116V；发电机的内电阻分别为R11=R13=0.8,R12=0.4。试用节点分析法(视察法)求个发电机发出的功率和各负载消耗的功率，并检验功率平衡关系。 4．1解： 题4.1图，参看习题 应用弥尔曼定理 根据含源支路欧姆定律: 发电机发出功率: 负载消耗功率: 达到功率平衡。 4-2 对如图所示的电路，试用节点分析发求出在下面两种情况下的各支路中的电流： a. 开关K已打开 b. 开关K已闭合
4．2解： 题4.2图用节点分析法求支路电流. 1.K打开 则 2.K闭合
或 4-3 如图所示的电路中，已知电流i=0.1A，试用节点分析的视察法求电压源Vs的值。 4．3解： 题4.3图 已知 用节点分析视察法列节点2节点3方程: 整理得:
消去,求得。 4-4 如图所示的电路中，电阻Rx可以变动。若要使流经电压为35V的电压源中的电流为零，试问电阻Rx应为多大？(用节点分析的视察法求解) 4．4解： 题4.4图 要使，则，根据节点分析法可得
解得 4-5 试用视察法和系统步骤列写出如图所示电路的节点方程，并求解各支路电流及两个电源所发出的功率。 4．5解： 题4.5图 把点路图重画，去掉虚支路，并以节点4为参考节点。 根据电路图可得：
则根据系统步骤可得： 两个电源放出功率：电压源，电流源。 4-6 如图所示的电路中，R1=R2=R3=R4=30，R5=R6=R7=50，Vs1=Vs2=Vs3=200V，is4=10A。试用视察法列出该电路的节点方程，并求出电流i1,i2,i3和i4。
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极 限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α （充分性）设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
等价无穷小量替换定理
§2–6无穷小与无穷大的比较 基础知识导学 1、无穷小的比较 定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 c =α β lim （c 为常数） 则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小； （2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o (α)(读作小欧α)； （3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。 2、无穷大的比较 定义2 设Y 、Z 是同一极限过程中的两个无穷大量， （1）如果Y Z lim = c ≠ 0，则称Y 与Z 是同阶无穷大量； （2）如果Y Z lim = ∞时，则称Z 是Y 的高阶无穷大量； （3）如果k Y Z lim = c ≠ 0（k ＞0），则称Z 是关于（基本无穷大量）Y 的k 阶无穷大量。 3、无穷小的阶与主部 定义 3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如果β与 k α（k ＞0）是同阶的无穷小，即 k α β lim = c ≠ 0，则称β是关于α的k 阶无穷小。 重点难点突破 1．关于无穷小的比较 要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。 注意 （1）符号β=O (α)与β～α的含义 β=O (α)表示β是α的高阶无穷小，即0lim =α β ； β～α表示β与α是等价无穷小，即1lim =α β （1） 同阶不一定等价，等价一定同阶。 （2） 利用等价无穷小求极限 等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且αβ''lim 存在，则αβlim =αβ' 'lim 无穷小量的比较表
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+ →0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } -+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小 是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()() (),x x x f x A f x A x α? =?+其中)(x α是自变量在同一变化过 程0x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim (),x x f x A ?=令()(),x f x A α=-则有0 lim ()0,x x x α?= ).()(x A x f α+=∴
电力系统三相非线性元件的谐波序网等效研究
电力系统三相非线性元件的谐波序网等效研究 摘要：首次提出了从理论上说“含非线性元件的三相电力系统中不可能出现平衡电路”的观点，并对这一命题进行了理论分析与证明，从而得出了对任一次谐波，三相非线性网络不可能用1个三相对称电路进行分析，而必须用3个对称电路进行分析的结论。文中给出了三相非线性电路的序网图分析方法和相关结论。实际的算例验证了这一结论。工程中现在使用的单线等效图方法只是工程上的近似。 关键词：谐波序网；等效电路；非线性元件；替代定理；对称分量法 1引言 在三相对称非线性电力系统中，一般的谐波分析方法［1、2］是用单相电路来求解，然后类推得到其余两相电量的表达式。然而，在含有非线性元件的三相电力系统中，即便三相电路拓扑结构、元件特性相同，也不能将三相电路的拓扑结构直接等效为单相电路的拓扑图，而必须使用本文提出的三相电力系统谐波序网分析方法（以下简称序网分析法）来分析。在序网分析法中，根据替代定理，用一组含正序、负序和零序三序分量的等效电源来置换系统中每一个非线性元件，再用叠加定理求出三相电力系统的准确谐波解。 本文利用EMTP仿真程序提供了相应的算例，验证了“含非线性元件的三相电力系统不存在平衡电路”论点的正确性。 2特性相同的三相非线性电路电气分析 以图1所示的简单非线性电路为例：即使是特性相同的三相非线性电路，也不可能是三相平衡电路。图1中非线性电感的结构对称是指它们具有同样的非线性特性，即L a（u，i）＝L b（u，i）＝L c（u，i）。将3个特性相同的非线性电感接到对称的三相电源上，即使非线性电感两端电压为三相对称正弦电压，由于几乎在任何时刻都有u a≠u b≠u c，因此三相非线性电感的瞬时电感值L a（u a，i a）≠L b（u b，i b）≠L c（u c，i c），即三相电路的瞬时参数是不对称的，因而在各个瞬间三相均是不平衡电路。所以，对于电压、电流非线性的元件，即使它们有相同的非线性特性，也不可能构成三相平衡电路，这是与线性电路的根本区别之一。根据电工理论可知，这时因非线性会产生谐波，对于任一次谐波，还会因为不平衡负荷出现正序、负序和零序分量，所以，各次谐波都不能用一个对称的三相电路来等效。 对于特性不同的三相非线性系统，三相电路参数的瞬时不对称性更为严重。 由此，我们得到以下结论：计算谐波必须采用三相潮流计算方法，而不能像计算线性电路那样简化为单相来计算，也不能用1个序网来进行计算。 3谐波对称分量法分析
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用 XX (XX 学院XX 学院 山西XX ) 摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误． 关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言 在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质 定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小． 定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 0)(≠x g ，如果1) () (lim =x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：
当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~1-，22 1 ~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1 -+． 关于等价无穷小，有三个重要性质： 性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为 )(ααβo +=． 性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ'' lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →?→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换 定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化． 例1 求极限2 0sin )1() cos 1(lim x e x x x x --→． 解 当0→x 时，2 2 1~ cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22 021lim x x x x x ?-?→＝2 1-． 例2 求极限) cos 1cos(11lim 4 x x e x x ---→． 解 )cos 1cos(11 lim 4 x x e x x ---→＝42 121lim )cos 1(21lim 224 024 0=?=-→→x x x x x x x x ． 注意0→x 时，424 1 ~)cos 1(21~ )cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小
电路分析考试2
1-24 试用支路分析法求题1-24图所示电路中的电压u和电流i x。 1-25 试用支路分析法求题1-25图所示电路中受控电压源输出的功率。 题1-24 图题1-25 图 2-1 试用叠加定理求题2-1图所示电路中各电阻支路的电流I1、I2、I3和I4。 2-2 试用叠加定理求题2-2图所示电路中的电压U和电流I x。 题2-1 图题2-2 图 2-3 试用叠加定理求题2-3图所示电路中的电流I。 2-4 试用叠加定理求题2-4图所示电路中的电压U x和电流I x。 题2-3 图题2-4 图
2-5 在题2-5图中，(a) N 为仅由线性电阻构成的网络。当u 1 =2 V , u 2 =3 V 时，i x =20 A; 而当u 1 = -2 V , u 2 = 1 V 时，i x = 0。求u 1=u 2=5 V 时的电流i x 。(b) 若将N 换为含有独立源的网络，当u 1 = u 2 = 0时， i x = -10 A ，且上述已知条件仍然适用，再求当u 1 = u 2 = 5 V 时的电流i x 。 2-6 对于题2-6图所示电路， (1) 当u 1 = 90 V 时，求u s 和u x ； (2) 当u 1 = 30 V 时，求u s 和u x ； (3) 当u s = 30 V 时，求u 1和u x ； (4) 当u x = 20 V 时，求u s 和u 1； 2-7 已知题2-7图所示电路中的网络N 是由 线性电阻组成。当i s =1 A ，u s =2 V 时，i =5 A ；当i s = -2 A ，u s = 4 V 时，u = 24 V 。试求当i s = 2 A ，u s = 6 V 时的电压u 。 2-8 对于题2-8图所示电路，已知U 0 =2.5 V ， 试用戴维宁定理求解电阻R 。 题 2-7 图 题 2-8 图 2-9 对于题2-9图所示电路，求：(1)虚线右边部分电路的端口等效电阻；(2)图示电流I ；(3)最后用替代定理求图示电流I 0。 2-10 在题2-10图所示电路中，已知R x 支路的电流为0.5A ，试求R x 。 2-11 在题2-11图所示电路中，已知I = 1.4 A ，求电压控电流源输出的功率。 题 2-9 图 题 2-10 图 题 2-11 图 2-12 设题2-12图所示电路中已知元件N 为： (a) 1A 的电流源 (b) 2V 的电压源 (c) 电压控电压源 求以上三种不同情况下的电压U x 。 题 2-5 图 题 2-6 图