第11章典型例题与综合练习

经济数学基础 第11章 参数估计

第11章 参数估计典型例题与综合练习

一、典型例题

1.抽样分析

例1已知总体)400,80(~N X ，样本容量100=n ，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.

解：因为总体)400,80(~N X ，样本容量100=n ，则样本均值

∑==n

i i N x n x 1

)

4,80(~1

故所求概率为

=

>-}380{x P }23

280{

>-x P +>-}23280{x P }23280{-<-x P

＝

+Φ-)23(1)23(-Φ＝2（)

23

(1Φ-）＝2（1－0.9332）＝0.1336

2.点估计

经济数学基础 第11章 参数估计

例1设正态总体

),(2

σμN 中μ未知，2σ已知，又设n x x x ,,,21 是来自正态总体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是μ的无偏估计？哪个是最佳无偏估计？

（1）321613221x x x -+；（2）)(31

2μ+x ；（3）3

x ；（4）∑=3

12

2i i x σ；（5）},,min{321x x x

统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要

依据就是这条原则.统计量θ?是否为θ的无偏估计，就要看θ?

是否满足θθ=)?(E .所有

无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量.

解：①根据统计量的概念可知，(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量. （由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数 ，故他们都是统计量.） ②求无偏估计量

)(61)(32)(21)613221(321321x E x E x E x x x E -+=-+=μμμμ=-+61

3221 （计算统计量θ?的期望，看θ?

是否满足θθ=)?(E .）

μμμμμ3431)(31)](31[22=+=+=+x E x E

μ

=)(3x E

∑

=3

1

2

2

(i i x E σ)=∑=3

1

2

2

)

(1

i i

x

E σ

=∑=+3

1

22

2

)

(1

i μσ

σ

=)

(3

222

μσσ

+μ≠

μ

≤}},,{m in{321x x x E （每次试验均取最小值）

从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计. ③求最佳无偏估计量

经济数学基础 第11章 参数估计

2

3213213626)(361)(94)(41)613221(σ=-+=-+x D x D x D x x x D 2

3)(σ=x D

所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的).

（计算所有无偏估计量θ?

的方差)?(θD ，其中最小者即为最佳无偏估计量.）

例2设总体X 的概率密度为

??

?<<θ+=θ

其它

010)1()(x x x f ，其中1->θ

是未知参数，

n

x x x ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分

别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.

矩估计法是依据“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则，建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系，从中求出参数估计量的方法.

极大似然估计法就是指似然函数

)

;(),(),();,,,(2121θθθθn n x f x f x f x x x L =

在θ?

处取得最大值.

解(1)用矩估计法求θ的估计量（总体的一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.）

由于总体的一阶原点矩为

?+∞

∞-=x x xf X E d )()(?θ

θ+=1

0d )1(x

x x 10

221+θθ

+θ+=x θ+θ

+=

21

样本的一阶原点矩为

∑==n

i i

x n x 11 令x X E =)(，得x =θ+θ+21，从中解出

=--=θx x 112?∑∑==--n i i n

i i x n x n 11

1112

经济数学基础 第11章 参数估计

θ?是θ的矩估计量.

(2)用极大似然估计法求θ的估计量（由于似然函数与其对数具有相同的极大值点，而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出，故常常采用对似然函数取对数的方法求极大似然估计）

似然函数=θ);,,(21n x x x L )()()(21n x f x f x f =θθ+)()1(21n n x x x

两边取对数，得=

θ)(ln L )

ln()1ln(21n x x x n θ+θ+

求导数=θd dln L )ln(121n x x x n

+θ+ 令0d dln =θL ，得 0)ln(121=+θ+n x x x n

从中解出=

θ?1ln 1

--

∑=n

i i

x

n

∑∑==+-

=n

i i

n

i i

x

x n 1

1

ln ln

θ?是θ的极大似然估计.

3.区间估计

例1设来自正态总体X ～

),(2

σμN 的样本值：5.1、5.1、4.8、5.0、4.7、5.0、5.2、5.1、5.0

试求(1)已知1=σ；(2)σ未知两种情况分别求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间.

经济数学基础 第11章 参数估计

对正态总体

),(2

σμN 的未知参数μ进行区间估计时，方差2σ已知和未知的情况下，所选取的统计量是不同的，因此服从的分布也是不同的，从而得到的置信区间也是不同的.

解：计算得样本均值

0.5)0.51.51.5(91

=+++=

x ，

因为置信度为0.95，所以05.0=α.

(1)这是已知方差1=σ，对均值μ的区间估计问题.

查正态分布数值表求临界值2α

U ，

975

.0025.012/1)(2

=-=-=ΦααU ，

2

α

U =1.96

因 x -2

/αU

n σ

＝5.0-1.96×91

＝4.347

x ＋2

/αU n σ

＝2.125＋1.96×1601

.0＝5.653

故所求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间为[4.347，5.653].

(2)这是未知方差2σ，对均值μ的区间估计问题.

查自由度为n －1＝8，05.0=α的t 分布表得到临界值

)

8(05.0t ＝2.306

经济数学基础 第11章 参数估计

因 x -αt

n s ＝5.0-2.306×91581.0＝4.878 x ＋α

t

n s ＝5.0+2.306×91581.0＝5.122

故所求总体均值μ的90％的置信区间为[4.878，5.122].

二、综合练习

1.填空题

1. 对于有限总体，采取 抽样，就可以获得简单随机样本.

2. 叫做统计量.

3. 对总体);(~θx f X 的未知参数θ进行估计，属于 问题.常用的参数估计

有 ， 两种方法.

4. 比较估计量好坏的两个重要标准

是 ， .

经济数学基础 第11章 参数估计

5. 设

n

x x x ,,,21 是来自正态总体),(2

σμN （2,σμ均未知）的样本值，则参数

μ的置信度为α-1的置信区间为 ，又参数2σ的置信度为α-1的

置信区间为 .

2.单选题

1. 设

n

x x x ,,,21 是来自正态总体),(2

σμN （2,σμ均未知）的样本，则

（ ）是统计量：(A)1x ；(B) μ+x ；(C)2

2

1σx ；(D)1x μ

2.设总体X 的均值μ与方差2

σ都存在，且均为未知参数，而

n

x x x ,,,21 是该

总体的一个样本，记

∑==n

i i

x n x 11，则总体方差2σ的矩估计为（ ）. (A)x ；(B) ∑=-n i i x x n 12)(1；(C) ∑=-n i i x n 12

)(1μ；(D) ∑=n i i x n 121

3. 设21,x x 是来自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本，其中μ为未知参数，以下关于μ的估计中，只有（ ）才是μ的无偏估计.

(A) 21343

2x x +；(B)214241x x +；(C) 214143x x -；(D) 2

153

52x x +

经济数学基础 第11章 参数估计

4.设

n

x x x ,,,21 是来自正态总体

),(2

σμN 的样本，2σ已知而μ为未知参数，记为∑==n

i i

x n x 11，已知)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数，975.0)96.1(=Φ，900.0)28.1(=Φ，则μ的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.

(A)(x -0.975n σ，x +0.975n σ)；(B) (x -1.96n σ，x +1.96n σ

)

(C)(x -1.28n σ

，x +1.28n σ

)；(D) (x -0.90n σ

，x +0.90n σ

) 1. A ； 2．B ； 3．D ； 4．B .

3.计算题

1. 某种零件长度（单位：cm ）服从)3.0,11(~2

N X ，今从中任取9个零件抽检，

求：

（1）9个零件的平均长度大于11.1cm 的概率； （2）9个零件的长度的样本方差大于2

34.0的概率.

2. 假设随机变量X 服从区间[b a ,]上的均匀分布，参数b a ,未知，n

x x ,,1 是

来自X 的一个样本，求参数的矩估计.

3. 设样本n

x x ,,1 来自总体

10,);(1

<<=-x x x f θθθ,求未知参数θ的极大似然估计量.

4. 假设某车间生产的滚珠直径（单位：mm ）服从正态分布)0

5.0,(μN ，现从某天的产品里随机抽取5个滚珠，测得直径如下：

14.6 15.1 14.9 15.2 15.1

经济数学基础 第11章 参数估计

求置信度为0.95时滚珠平均直径的置信区间.取05.0=α.

三、本章作业

1．样本

n

x x ,,1 来自指数分布

,,e

1

);(>≥=

--

θθ

θθ

a x x f a

x

用矩估计法分别求θ，a 的估计量. 2．设样本

n

x x ,,1 来自总体

10,);(1

<<=-x x x f θθθ 求未知参数θ的极大似然估计量.若随机抽取一组样本，得样本值0.5；0.6；0.5；0.4

求θ的一个极大似然估计值.

3．假设新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生男婴，测其体重分别为（单位：g ）：

3100 2520 3000 3000 3600 3320 3160 3560 2880 2600 3400 2540 试分别就下面两种情形以90％的置信度估计新生男婴的平均体重（单位：g ）.

（1）22375=σ；（2）2

σ未知.

经济数学基础第11章参数估计