黑龙江省顶级名校2021届高三上学期开学考试 理科数学试题
2020-2021学年度上学期开学考试
高三 数学(理)试题
第I 卷（选择题)
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1.“2->a ”是“函数||)(a x x f -=在]1,(-∞上单调递减”的( )。
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 2．如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为2
1
()log ()
I A P A =，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ） A ．王教授在第4排 B ．王教授在第4排第5列 C ．王教授在第5列 D ．王教授在某一排 3．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．
最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )
A ．7班、14班、15班
B ．14班、7班、15班
C ．14班、15班、7班
D ．15班、14班、7班 4．我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )
A.()211f x x =
- B ．()
21
1
f x x =+
C ．()1
1f x x =- D ．()11
f x x =-
5．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A 的100天日落和夜晚天气，得到如下22?列联表：
并计算得到219.05K ≈，下列小波对地区A 天气判断不正确的是（ ） A ．夜晚下雨的概率约为
12
B ．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
514
C ．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D ．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
6．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（ ） A ．
2
9
B ．
13
C ．
49
D ．
59
7．函数)2
2
,0)((cos )(π
?π
ω?ω<
<-
>+=x A x f ，的部分图像如图所示，图中圆C 与)(x f 的
图像交于M,N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法正确的是（ ） A.函数)(x f 的最小正周期为π2
B.函数)(x f 的图像关于点)0,3
5(
π
对称 C.函数)(x f 在的最小正周期为)12,125(π
π-单调递增
D.将函数)(x f 的图像像左平移3
π
后关于轴y 对称
8．电梯有6位乘客，在5层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一
层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是( ) A.1600 B.2700 C.5400 D.10800
9．若 472
70127(1)(2)(2)(2),x x a a x a x a x ++=+++++
++则3a =( )
A ．8-
B ．35
C ．43-
D ．27
10．已知函数1
()0
x e x f x kx
x ?-≥=?
A ．(),1-∞-
B ．(],1-∞
C ．()1,0-
D ．[)1,0-
11．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ）
夜晚天气,日
落云里走 下雨 未下雨 出现
25 5 未出现
25
45
P （2
0K
k ≥）
0.10
0.05
0.010
0.001
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
A ．213e
-
B ．216e -
C ．2
1
6e
D ．213e 12．设函数a x x x x f x
-++++=2
532)(，
若曲线x y cos =上存在点),(00y x ，使得00))((y y f f =，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．?????
?--23,513 B ．??????-2523， C ．??????-31423， D ．???
???31425， 第II 卷（非选择题 共90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值_____. 14．设负数1z ，2z 满足12122,3z z z z i ==+=+，则=-21z z 。
15．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2
π
θαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点.
若||||3AB OP ?=，则__________α
.
16.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足2
1
()()ln ,()x f x xf x x f e e
'+==，则
不等式1
()f x e x e
+>+的解集是____.
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17．以直角坐标系xoy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =，Q 的轨迹为2C . （1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，
（2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α
=??=+?（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为
,A B ，当||||MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程.
18．已知定义域为R 的函数，12()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数.
（1）求a ，b 的值；
（2）若对任意的t R ∈，不等式2
2
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.
19．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间[)20,40，9:40~10:00记作[)40,60，10:00~10:20记作[)60,80,10:20~10:40记作[)80,100.例如：10点04分，记作时刻64. （1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布(
)2
,N μσ
，其中μ可
用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若()
2
,T N μσ~，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，
()220.9545P T μσμσ-<≤+=，()330.9973P T μσμσ-<≤+=.
20．已知函数()ln 2a
f x x ax x
=+-
. （1）若1
3a =-时，存在01,24x ??∈????
，使得不等式()00f x c -≤成立，求c 的最小值；
（2）若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.（参考数据237.389.20.08e e ≈≈） 21．已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．
（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围． 22．已知函数()ln sin f x x x x =+ （1）证明：()f x '在区间2ππ??
???
，上存在唯一的零点 （2）证明：对任意()0,x ∈+∞，都有()2ln (1sin )f x x x x x <++
2020-2021学年度上学期开学初考试
高三数学（理）答案
一、单项选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
13．1314．．12
πα=或512π
α=．16.{}|0x x e <<
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解析：（1）2cos 4sin ρθθ=+，22
(1)(2)5x y -+-=（2）–10x y +=
【解析】（1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)，因为012
ρρ=，…2’
所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，……3’ 两边同乘以ρ，得2
24cos sin ρρθρθ=+，
所以2C 的直角坐标方程为22
24x y x y +=+，即2
2
(1)(2)5x y -+-=……5’
（2）设点A
，B 对应的参数分别为1t
，2t ，则12||,||MA t MB t ==，
将直线l 的参数方程cos 1sin
x t y t α
α
=??=+?，（t 为参数），代入2C 的直角坐标方程()()2
2–125
x y +-=中，整理得2
2(cos sin )30t t αα-+-=.由根与系数的关系得
12122(cos sin ),3t t t t αα+=+=-……6’
∴1212||||MA MB t t t t +=+=-……8’
=
==≥
( 当且仅当sin 21α=-时，等号成立)……9’
∴当||||MA MB +取得最小值时，直线l 的普通方程为–10x y +=……10’
18.解析：（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即
102b
a
-+=+，解得1b =.……2’ 从而有121()2x x f x a
+-+=+.又由()()11f f =--知1
1
21241a a
-+-+=-++，解得2a = 经检验，当121
()22
x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意……4’
（2）由（1）知12111
()22221
x x x
f x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，……6’ 又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()
2
2
220f t t f t k -+-<等价于
()()()
222222f t t f t k f t k -<--=-+.……8’
因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.……10’ 即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ?=+<，解得
1
3k <-.1(,)3
k -∞-的取值范围为……12’
19．解析：（1）由题意，这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
()300.005500.015700.020900.0102064?+?+?+??=，即10点04分. …2’
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[)2060,这一区间内的车辆数，即()0.0050.01520104-??=，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4.……4’
所以()46410C 10C 14P X ===，()3161
410C C 81C 21P X ===，()22
644
10C C 32C 7P X ==
=， ()1364410C C 43C 35P X ===，()04
64
410C C 14C 210
P X ===，
所以X 的分布列为
所以()183418
0123414217352105
E X =?
+?+?+
?+?=. ……8’ （3）由（1）可得64μ=，
()()()(
)2222
2
30640.150640.370640.490640.2324σ=-?+-?+-?+-?=，所以
18σ=.……10’
估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是46100T <≤通过的车辆数，由
()
2,T N μσ~，
()()()
226418642180.818622
P T P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤+?=
+=…
…11’
所以，估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为10000.8186819?≈辆.……12’ 20.解析：解：（1）存在01
,24
x ??∈????
，使得不等式()00f x c -≤成立，则只需min ()c f x ≥.……2’
∵2222
211231(21)(1)
()3333x x x x f x x x x x -+--'=--+=-=-
.……3’ ∴当11,42x ??∈????时，'()0f x ≤，函数()f x 单调递减；当1,12x ??
∈????
时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增；
当[1,2]x ∈时，()0f x '
≤，函数()f x 单调递减.……4’
∴()f x 在1
2x =
处取得极小值，即11
11ln ln 223
23f ??=+=- ???，又7(2)ln 26f =-+，
∴min ()(2)f x f =，……5’ ∴min
7()ln 26c f x ≥=-+，∴7ln 2,6c ??
∈-++∞????
.故min 7ln 26c =-+.……6’
当0a >时，∵0x >，∴220ax x a ++>，∴()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；……9’ 当0a <时，设2
()2g x ax x a =++，函数开口向下，其对称轴1
04x a
=-
>，……11’ 故只需0?≤，即4
a ≤-
，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减. 综上可得，[),0,4a ?∈-∞-+∞ ??
.……12’
21. 解析:（1）
()ln 1x f x e x =-+，1
()x f x e x
'∴=-
，……1’ (1)1k f e '∴==-.(1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),……2’
∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐
标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --,∴所求三角形面积为122
2||=211
e e -??--;……4’ （2）解法一：
1()ln ln x f x ae x a -=-+,11
()x f x ae x
-'∴=-
，且0a >.……5’ 设()()g x f x =',则1
21
()0,x g x ae x
-'=+
>∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，……6’
当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.……7’
当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a -''∴=--<,
∴存在唯一00x >，使得01
00
1
()0x f x ae
x -'=-=，……8’ 且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，01
1x ae x -∴=
，00ln 1ln a x x ∴+-=-，…9’
因此01
min 00()()ln ln x f x f x ae
x a -==-+
001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =
++-+≥-+=+>∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；…10’
当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立.…11’ 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).……12’ 解法二：
()111x lna x f x ae lnx lna e lnx lna -+-=-+=-+≥等价于
1
1lna x lnx
e
lna x lnx x e
lnx +-++-≥+=+,……6’
令()x
g x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,
显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，…8’ 令()1h x lnx x =-+,则()111x
h x x x
-=
-=
' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，……10’ ∴()()10max h x h ==,……11’
01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[)1,+∞.……12’
解法三：
1
1
()ln ln 1,1ln ln x x f x ae
x a ae
x a --=-+≥-≥-即，……5’
证明：-1
1,1ln x
x e x x x e x ≥+-≥≥，故……7’
又0a >，所以-1
x ae
ax ≥，因此只需证明：ln ax x a ≥-，即证：(1)ln x a a -≥-……8’
①当1a >时，(1)0ln x a a ->>-恒成立……9’ ②当1a =时(1)=0=ln x a a --，满足题意……10’ ③当1a <<0时，(1)0ln x a a -<<-不成立
又当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立……11’ ∴a 的取值范围是[)1,+∞.……12’
22. 证明：设x x x x
x g x f x f x g cos sin 1
)()(),()(++=
=''=则，x x x x
x g sin cos 21
)(2-+-
='……2’ 0sin ,0cos 2,01),,2(2><<-∴∈x x x x x ππ ，即0sin cos 21
)(2<-+-='x x x x
x g ……3’
故)(x g 在区间),2
(ππ
上单调递减……4’
又 01
)(,012
)2(<-=
>+=
ππ
ππ
πg g ……5’
所以)(x g 在区间),2
(
ππ
上存在唯一零点……6’
（2）要证)sin 1(ln 2)(x x x x x f ++<，
即证31
ln 2)(,ln )12()(,0ln )12(+-
='+-=>+-x
x x h x x x x h x x x 则令……7’ 单调递增在所以令),0()(),()(+∞'=x m x h x m ……8’
02ln 21)21
(,02)1(<-=>=m m ，所以存在唯一的
031
ln 2)(),1,21(0
000=+-=∈x x x m x 使得……9’
当上单调递减
在时),0()(,0)(000x x h x h x x <'<<，当
上单调递增在时),()(,0)(00+∞>'>x x h x h x x ……10’
故)21
2(25ln )12()()(0
00000x x x x x x h x h miv +-=+-==……11’ 因为()0),2
5
,2(212),1,2
1
(0000>∈+
∈x h x x x 所以所以恒成立即0ln )12(>+-x x x ，综上所述对任意()0,x ∈+∞，都有()2ln (1sin )f x x x x x <++……12’