求数列通项公式的方法(教案+例题+习题)

求数列的通项公式的方法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，

2

5

5a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d

∵931,,a a a 成等比数列，∴912

3a a a =，

即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=?

∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①

∵255a S = ∴211)4(2

4

55d a d a +=??+

…………② 由①②得：531=

a ，5

3=d ∴n n a n 5

3

53)1(53=?-+=

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）

后再写出通项。 练一练：已知数列 ,32

1

9,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________；

2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{

11,(1),(2)

n n n S n a S S n -==-≥。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。

解：由1121111=?-==a a S a

当2≥n 时，有,)1(2)(211n

n n n n n

a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-

,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-

].)1(2[3

2

3

]

)2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3

212

---+=

n n n a 点评：利用公式??

?≥???????-=????????????????=-2

1

1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若

能合写时一定要合并．

练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；

②数列{}n a 满足1115

4,3

n n n a S S a ++=+=

，求n a ；

3.作商法：已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =??=?

≥?-?。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ；

4.累加法：

若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。

解：由条件知：1

1

1)1(112

1+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-=

所以n

a a n 1

11-=-

211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴

如已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--111(2)n ≥，则n a =________ ；

5.累乘法：已知

1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=???? (2)n ≥。 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=

+，求n a 。 解：由条件知

1

1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即

1342312-??????????n n a a a a a a a a n n 1433221-??????????=n

a a n 1

1=?

又321=a ，n

a n 32=∴

如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a

6.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中

p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即

321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且

23

3

11=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=?=n n n b ,所以

321-=+n n a .

②1n n n a ka b -=+解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公

式两边同除以1

+n q

，得：

q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n

n n q

a b =），得：q

b q p b n n 1

1+=

+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。 例6. 已知数列{}n a 中，651=

a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。 解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以1

2+n 得：1)2(3

2211+?=?++n n n n a a

令n n n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n

n b )3

2(23-=

所以n

n n

n n b a )31(2)21(32

-==

练一练①已知111,32n n a a a -==+，求n a ；

②已知111,32n n n a a a -==+，求n a ；

（2）形如1

1n n n a a ka b

--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7：1,1

3111

=+?=

--a a a a n n n

解：取倒数：

1

111

3131---+

=+?=n n n n a a a a ?

?????∴n a 1是等差数列，3)1(1

11?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231-=?n a n

练一练：已知数列满足1a =1

=

n a ；

数列通项公式课后练习

1已知数列{}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N +

）求数列{}n a 的通项公式。

2已知数列{}n a 中，a n ＞0,且a 1＝３，1+n a ＝n a ＋１ （n ∈N +

）

3已知数列{}n a 中，a 1＝３，a 1+n ＝2

1a n ＋１（n ∈N +

）求数列{}n a 的通项公式

4已知数列{}n a 中，a 1＝１，a 1+n ＝3a n ＋２，求数列{}n a 的通项公式

5已知数列{}n a 中，a n ≠０，a 1＝21，a 1+n ＝n

n a a 21+ （n ∈N +

） 求a n

6设数列{}n a 满足a 1=4，a 2=2，a 3=1 若数列{}n n a a -+1成等差数列，求a n

7设数列{}n a 中，a 1=2，a 1+n =2a n +1 求通项公式a n

8已知数列{}n a 中，a 1=1，2a 1+n = a n + a 2+n 求a n