2020届 云师大附中高三高考适应性月考(六) 数学(文)试题 (解析版)
2020届云师大附中高三高考适应性月考（六）数学（文）试
题
一、单选题
1．已知集合{}2lo |g 1A x x =<，集合{}
2|B x x =∈ A ．{}1|0x x << B ．{}|02x x ≤< C ．{}|22x x -<< D ．{}0,1 【答案】D 【解析】先化简集合A ，B ，再求A B U . 【详解】 因为{}|02A x x =<<，{}0,1B =， 所以{}|02A B x x =≤ 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，则复数()( )3 1i 1i --=（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2- 【答案】C 【解析】由2i 1=-，利用复数的四则运算即可得到答案. 【详解】 ()()()31i 1i 1i 1i 2()--=-+=. 故选：C. 【点睛】 本题考查复数的四则运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 3．已知平面向量,a b r r 的夹角为30°，() 1 12 a a a b =?-=-r r r r , ，则b =r （ ） A B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】利用数量积运算律得() 2a a b a a b ?-=-?r r r r r r ，再利用数量积定义计算即可. 【详解】 因为() 22cos30a a b a a b a a b ?-=-?=-?r r r r r r r r r ，所以31 1||22 b -=-r ， 解得3b =r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量数量积的运算，涉及到向量数量积的定义及运算律，是一道基础题. 4．已知实数x y ，满足约束条件1, 22,1, x y x y y +≥??-≥??≤? 则y x 的最大值为（ ） A ．2 B ． 32 C ．1 D ． 23 【答案】D 【解析】由题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，数形结合即可解决. 【详解】 如图，作出不等式组1221x y x y y +≥?? -≥??≤? 所表示的平面区域， y x 的几何意义为可行域内的点与点()0,0连线的斜率，由图可知，当312x y ==，时， y x 有最大值23. 故选：D. 【点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意准确的画出可行域，找准最优解，本题是一道基础题. 5．某校为了解高一高二各班体育节的表现情况，统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是（ ） A ．高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数 B ．高一年级得分方差大于高二年级得分方差 C ．高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数 D ．高一年级班级得分最低为34 【答案】C 【解析】分别算出高一、高二的中位数即可判断选项A ；由茎叶图的的分布可判断选项B ；分别算出高一、高二的平均数即可判断选项C ；D 选项由图可看出正误. 【详解】 高一年级成绩的中位数为555655.52+=，高二年级成绩的中位数为5253 52.52 +=， 所以A 不正确； 高一年级各班级得分分布更集中更均匀，故高一年级得分方差小于高二年级得分方差，故B 不正确； 高一年级得分平均数 43454651555657636470 5510 +++++++++= 高二年级得分平均数36454750525361646577 5510 +++++++++=，故C 正确； 高一年级各班级得分的最低分为43，故D 不正确. 故选：C 【点睛】 本题考查茎叶图及其应用，涉及了中位数、方差、平均数、最小值的知识，要注意茎叶图中，中间是高位，是一道基础题. 6．在区间()0,3上随机地取一个数,k 则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点”发生的概率为（ ） A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ．1 【答案】A 【解析】先求出直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点时k 的范围，然后 再利用几何概型的概率计算公式计算即可. 【详解】 双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为y x =±，当()0,1k ∈时，y kx =与曲线C 有两个不同的交点； 当[ )1,3k ∈时，y kx =与曲线C 没有交点，由几何概型的概率计算公式知，“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点”发生的概率为101 303 -=-， 故选：A. 【点睛】 本题考查几何概型（长度型）的概率计算，涉及到直线与双曲线的位置关系，由本题中直线过原点，可以数形结合即可，本题是一道容易题. 7．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,5 sinA a c a ==>则角C 的大小为（ ） A ． 3 π B ． 2 π C ． 23 π D ． 34 π 【答案】D 【解析】由 sin ,5 A a = =及正弦定理得到sin B ，结合,c a b >>得到cos ,cos A B ，最后利用()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+即可得到答 案. 【详解】 在ABC V 中，,sin 5 a A = = 由正弦定理得sin A B =，所以 sin B = 由题意知，,c a b >>所以cos A B = = ，在ABC V 中，A B C π++=， 所以()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，所以34C π=. 故选：D. 【点睛】 本题考查正弦定理及两角和的余弦公式在三角形中的应用，考查学生运算能力，要注意 A B C π++=这一隐含条件，是一道基础题. 8．在如图四个三棱柱中，,A B 为三棱柱的两个顶点，,,E F G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】选项A 、B 中均可证明平面EFG 与AB 所在平面平行，利用面面平行的性质可得；选项D 利用线面平行的判定定理；选项C 显然相交. 【详解】 选项A 、B 中易证得平面EFG 与AB 所在平面平行，由面面平行可知，直线AB 与平面EFG 平行，选项A 、B 正确； 选项C 中，直线AB 与平面EFG 相交；选项D 中，//AB FG AB ?,平面EFG ，FG ? 平面EFG ， 所以直线AB 与平面EFG 平行. 故选：C. 【点睛】 本题考查立体几何中的线面平行的判定及面面平行的性质定理，考查学生对定理的熟练程度，是一道容易题. 9．已知数列{}n a 满足：对*n ?∈N ，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是（ ） A ．12a a > B ．17a a > C ．63T = D ．76T T < 【答案】D 【解析】A. 根据2123log l og 32>==a ，2333 log 4log 2 =<=a 判断. B. 根据7822 log 9log 33 == a 判断.C.根据 62372log 3log 4log 8log 8=???=T L 判断.D. 根据768log 9T T =?判断. 【详解】 因为2123log l og 32>==a ，2333 log 4log 2 =<=a ，所以12a a >；故A 正确. 78212 log 9log 33 a a ==<，故B 正确. 62372log 3log 4log 8log 83T =???==L ，故C 正确. 768log 9T T =?，因为60T >，8log 91>，所以76T T >，故D 错误. 故选：D . 【点睛】 本题主要考查数列项的比较大小和累乘法，还考查了对数的换底公式对数函数的单调性，属于中档题. 10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>与抛物线()2 :20E y px p =>有公共焦点, F 椭圆C 与抛物线E 交于,A B 两点，且,,A B F 三点共线，则椭圆C 的离心率为（ ） A 1 B ． 2 C D 【答案】A 【解析】AB OF ⊥，不妨设A 在第一象限，则点A 即可写成,2p A p ?? ??? ，也可写成2 (,)b A c a ，然后由2 2p c b p a ?=????= ?? 即可建立a ，b ，c 的方程. 【详解】 O 为坐标原点，由题意知AB OF ⊥，不妨设A 在第一象限，则点,2p A p ?? ??? ，又因为A 在椭圆上， 所以2 (,)b A c a ，由2 2p c b p a ?=????=??，得22b ac =，即222a c ac -=，所以2210e e +-=，解得21e =±-， 又(0,1)e ∈，故椭圆C 的离心率为21-. 故选：A. 【点睛】 本题考查椭圆的离心率问题，求椭圆的离心率问题关键是建立起a ，b ，c ，三者间的等式或不等关系，本题属于基础题. 11．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式 “2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设 2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论: 2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =② ()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④ 【答案】D 【解析】在Rt ADC ?中，可判断①，Rt ABC ?中，可判断②，利用ADB ?与ADE ?全等及ADC ?与DFC ?相似即可判断③④. 【详解】 在Rt ADC ?中， 2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ?中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ?与ADE ?全等，故 DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22 AB FC r r a =- =-， 又 C C AC D FC D =，所以()2 2DC AC FC r r AB =?=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()2 2DC r r AB =-，可得 () ()2 2sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-. 故选：D. 【点睛】 本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题. 12．已知定义在R 上的偶函数()(),0)0(x f x e sin wx w ??π=+><<的部分图象如 图所示，设0x 为()f x 的极大值点，则o coswx =（ ） A 5 B 25 C ． 35 D ． 45 【答案】B 【解析】利用偶函数的性质可以出()y sin wx ?=+的奇偶性，然后根据正弦型函数的性质,可以求出函数的解析式，然后对函数()f x 进行求导，结合函数奇偶性、辅助角公式进行求解即可. 【详解】 因为()()x f x e sin wx ?=+为偶函数，x y e =为偶函数， 所以()y sin wx ?=+为偶函数， 又0?π<≤，所以2 ?π=， 由图象及3044f f ππ???? == ? ????? 可知2w =， 所以()2x f x e cos x =， 因为()y f x =和2y cos x =为偶函数， 所以只需考虑0x ≥的情况， 当0x ≥时，()2x f x e cos x = ()()() '2222,x x f x e cos x sin x cos x ?=-+ 其中cos sin ??== 当22,2 x k k Z π ?π+= +∈时，()f x 有极大值， 此时2sin 2cos x cos π???? =-== ??? 故选：B 【点睛】 本题考查了偶函数的性质，考查了正弦型函数的性质，考查了利用导数研究函数的极值，考查了数学运算能力. 二、填空题 13．命题“()0,x ?∈+∞，220x x m --≥”为真命题，则实数m 的最大值为________________． 【答案】1- 【解析】由题意()2 ,0,20x x x m ?∈+∞--≥，转化为() 2 min 2x x m -≥，只需求出函 数22y x x =-的最小值即可. 【详解】 ()2,0,20x x x m ?∈+∞--≥，只需()2min 2x x m -≥，又当1x =时，22y x x =-有 最小 值1,-所以1m ≤-，m 的最大值为1-. 故答案为：-1. 【点睛】 本题考查与命题真假有关得不等式恒成立问题，一般恒成立问题转化为最值或取值范围来处理，是一道基础题. 14．设a R ∈，已知直线:20l ax y a +-=与圆()2 2:24C x y -+=交于,A B 两点， 则弦AB 的长为_________________． 【答案】4 【解析】直线20ax y a +-=恒过定点20（，），而圆心也为20（，），可得弦AB 为圆C 的直径. 【详解】 圆()2 :24C x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，直线:20l ax y a +-=过定点 ()2,0， 所以弦AB 为圆C 的直径，故弦AB 的长为4. 故答案为：4. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系以及直线恒过定点的问题，是一道基础题. 15．已知函数()(]()1 ,0,22,(2,),x f x x f x x ?∈?=??-∈+∞? 则()f x 在3x =处的切线方程为________________． 【答案】4y x =-+ 【解析】先求出当]4(2x ∈， 时()f x 的解析式，然后利用导数的几何意义即可求得切线方程. 【详解】 由()(]()1 ,0,22,(2,),x f x x f x x ?∈?=??-∈+∞? 可知， 当]4(2x ∈，时，()12 f x x =-，()()212f x x '=-- 所以()()31 '31f f ==-，， ()f x 在3x =处的切线方程为()13y x -=--， 即4y x =-+. 故答案为：4y x =-+. 【点睛】 本题考查利用导数求()f x 在某点处的切线方程，涉及到函数解析式的求法，是一道容易题. 16．已知平面内一正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为点,O 将该正六边形沿对角线AD 折成二面角E AD C --，则当二面角E AD C --的平面角余弦值为1 3 时，三棱锥O CEF -的外接球表面积为________________． 【答案】2π 【解析】由题意作图，取线段OD 的中点G ，连接EG CG ，，根据等边三角形的性质，结合二面角平面角的定义可以判断EGC ∠即为二面角E AD C --的平面角，结合余弦定理、线面垂直的判定定理和性质、四点共球的性质进行求解即可. 【详解】 由题意作图，取线段OD 的中点G ，连接EG CG ，， 可知EG AD CG AD ⊥⊥，， 所以EGC ∠即为二面角E AD C --的平面角， 即13cos EGC ∠= ，又3EG CG ==， 由余弦定理可得1EC =. 又因为,EG CG G ?= 所以AD ⊥平面,EGC 所以AD EC ⊥， 由//,AD EF 得.EF EC ⊥ 因此在三棱锥O CEF -中，12,OC OF OE EC EF FC ====== ， 三棱锥O CEF -外接球球心为线段FC 的中点，半径为2 所以外接球表面积为2π. 【点睛】 本题考查了二面角的定义，考查了三棱锥外接球表面积，考查了推理论证能力和数学运算能力. 三、解答题 17．改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足 1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元 快递费用) （1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ， ，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？ （2）对该快递点近5天的每日揽包裹数(单位:件)进行统计，得到的日揽包裹数分别为 56件，89件，130件，202件，288件，那么从这5天中随机抽出2天，求这2天的 日揽包裹数均超过100件的概率. 【答案】（1）, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元；（2） 3 10 . 【解析】（1）分 , A B 一个包裹，C 一个包裹，A C ，一个包裹，B 一个包裹，B C ，一个包裹，A 一个包裹三种情况讨论； （2）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“2天的日揽包裹数均超过100件”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】 解:() 1,A B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费151530+=(元)， A C ，一个包裹， B 一个包裹时，需花费201535+=(元)， B C ，一个包裹，A 一个包裹时，需花费251035+=(元)， 综上，, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元. ()25天中有3天的日揽包裹数超过100件， 记这三天为123,,,a a a 其余两天为12,,b b 从5天中随机抽出2天的所有基本事件如下： ()()()121311,,,,,a a a a a b ，()()()()()()122321223132,,,,,,a b a a a b a b a b a b ，，，，，，()12,,b b 一共10种， 2天的日揽包裹数均超过100件的基本事件有，()()()121323,,,,,a a a a a a 一共3种， 所以从这5天中随机抽出2天， 2天的日揽件数均超过100件的概率为 3 10 【点睛】 本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，第二问在枚举情况的时候要注意细心，不要漏掉任意一种情况，本题属于基础题. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n N ∈时，1 22n n S n +=--. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当*n N ∈时，证明: （i ）111 22 n n n a a +-≤+ （ii ） 3124 1232 2.n n a a a a a a a n a ++++?<++?? 【答案】（1）21n n a =-；（2）（i ）详见解析；（ii ）详见解析. 【解析】（1）利用11,2 ,1n n n S S n a S n --≥?=?=? 即可； （2）由1212n n --≥得1 1 121112221212 n n n n n n a a ++--==+≤+--；从而312412321111 21222 n n n a a a a a a a a n +-≤+++++++???+???+，再利用等比数列求和公式即可. 【详解】 （1）解:当2n ≥时，112121n n n n n n S n a S S --=--=-=-，， 当1n =时，2112121a S ==--=满足21n n a =-. 综上，当*n N ∈时，21n n a =-. （2）证明:当*n N ∈时，1212n n --≥， 所以1112111 2221212 n n n n n n a a ++--==+≤+-- 所以 312412********* 212122212 n n n n a a a a a a a a n n +-?? - ? ?? ≤++++++???+++???-+=1221222n n n ?? ??=+-<+?? ??????? 综上可得，当*n N ∈时，3124 12322n n a a a a a a a n a ++++? 本题考查已知n S 与n a 的关系求通项以及利用等比数列求和公式证明不等式，考查学生基本计算能力，是一道基础题. 19．如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形1221A A B B ，1212//A A B B ，12122A A B B =， 112A B =，圆台12O O 的侧面积为6π.若点C ，D 分别为圆1O ，2O 上的动点且点C ，D 在平面1221A A B B 的同侧. （1）求证：1 2AC A C ⊥； （2）若1260B B C ∠=?，则当三棱锥12C A DA -的体积取最大值时，求多面体 1221CDA A B B 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 43 332 + 【解析】（1）由圆台侧面积求出上下底半径，计算圆台的高，计算2O C ，由直角三角 形性质得1 2AC A C ⊥； （2）三棱锥12C A DA -的高就是12O O ，表示出三棱锥12C A DA -的体积，求出最大值 时1A D ，2A D ，多面体 1221CDA A B B 分为三棱锥12C A DA -和四棱锥1221C A A B B -，分别计算体积后相加即得． 【详解】 解：（1）设1O ，2O 的半径分别为r ，2r ， 因为圆台的侧面积为6π， 所以()1 6π22π4π2 r r = ?+，可得1r =. 因此，在等腰梯形1221A A B B 中，121224A A B B ==，112A B =，123OO =. 如图，连接线段12O O ，1O C ，2O C ， 在圆台12O O 中，12O O ⊥平面12B CB ，1O C ?平面12B CB ， 所以121O O O C ⊥. 又11O C =，所以在12O CO ?中，22CO =. 在12CA A ?中，2121 2 CO A A = ，故1290ACA ∠=?，即1 2AC A C ⊥. （2）由题意可知，三棱锥12C A DA -的体积为 121212121336 C A DA A DA V O O S D A D -?= =， 又在直角三角形12A DA 中，2 2 2 121212162A D A D A A A D A D +==≥， 所以当且仅当1222A D A D ==， 即点D 为弧12A A 的中点时，12C A DA V -有最大值3 . 过点C 作12CM O B ⊥交12O B 于点M ， 因为12O O ⊥平面12B CB ，CM ?平面12B CB ， 所以12O O CM ⊥，12O O ?平面1221A A B B ，12O B ?平面1221A A B B ， 12121O O O B O ?=， 所以CM ⊥平面1221A A B B . 又2160B O C ∠=?，则点C 到平面1221A A B B 的距离CM = 所以四棱锥1221C A A B B -的体积()122111324322 C A A B B V -= ?+=. 综上，当三棱锥12C A DA -体积最大值时， 多面体12122132 C A DA C A A B B V V V --=+= 【点睛】 本题考查多面体的体积，解题时把多面体分割成几个基本几何体，分别计算体积后相加． 20．已知抛物线2 1:4 C y x = 的焦点为,F 过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且(2)AF BF λλ=≥. （1）求直线l 斜率的取值范围； （2）过点A B ，分别作抛物线C 的切线交于点P ，求FP AB ?u u u r u u u r . 【答案】（1）4 k ≥ 或4k ≤-；（2）0. 【解析】（1）设出直线方程，联立抛物线方程消y ，利用根与系数的关系解决； （2）利用导数分步求出直线AP ，BP 的方程，解方程组得到点P 的坐标，然后再利用数量积坐标运算即可. 【详解】 解:()1抛物线2:4C x y =，点()0,1,F 由题意知直线l 的斜率存在，设直线:1,l y kx =+ 代入抛物线方程24x y =，可得2440,x kx --=设点()()1122,,,A x y B x y ， 因为>0?，所以124x x k +=，124,x x =-因为AF BF λ=， 所以12,x x λ=-又()222144x k x λλ-=-=-， ， 可得()2 2111244k λλλ λ-??= =+- ? ?? ，当2λ≥时，218k ≥ 所以4 k ≥ 或4k ≤-. ()2对211,'42y x y x = =则直线()1111 :2AP y y x x x -=-， 又2111,4y x =所以直线21111:24AP y x x x =-同理可得直线2 2211:24 BP y x x x =-，所 以点 1212,2 4x x x x P +?? ? ??，即()2,1P k -，因此()2,2,FP k =-u u u r 2121(),AB x x y y =--u u u r ， ()()()()22212121212221 2 FP AB k x x y y k x x x x ?=---=---= u u u r u u u r ()( )2121202x x x x k ??-- +=??? ， 综上，0FP AB ?=u u u r u u u r 【点睛】 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及了导数求切线方程、数量积坐标运算等知识，一般在解决直线与抛物线位置关系的题，一般要用到根与系数的关系，本题是一道中档题. 21．已知函数()2 ln 2f x x x x =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）判断并说明函数()()cos g x f x x =-的零点个数.若函数()g x 所有零点均在区间 []()m n m n ∈∈Z Z ，，内，求n m -的最小值. 【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为10,2?+ ??，单调减区间为12?? ++∞ ? ??? （2） ()g x 存在两个零点，详见解析； n m -的最小值为3 【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间； （2）求出导函数()g x '，分类讨论()g x '的正负，确定()g x 的单调性，再根据零点存 在定理确定零点存在的区间．首先确定(0,1)上有一个零点，然后确定(1,)2 π，( ,3)2 π ， (2,3)，(3,)+∞上有否零点，从而可得n m -的最小值． 【详解】 解：（1）()2 ln 2f x x x x =+-的定义域为()0,∞+， ()21221 22x x f x x x x -++'=+-= ， 令()0f x '=，得112x += ，212 x =（舍）. 当x ?∈ ??时，()0f x '>，当?+∞???? 时，()0f x '<， 所以()f x 在10,2?? ? ???上单调递增，在12?? ++∞ ? ??? 上单调递减， 因此，函数()f x 的单调增区间为10, 2? ??，单调减区间为12?? ++∞ ? ??? . （2）()2 ln 2cos g x x x x x =+--， 当()0,1x ∈时，()1 22sin g x x x x '= +-+， 因为()1 22f x x x '= +-单调递减， 所以()12201g x '>+-+=，()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()1cos101g =->，11111ln cos 0442164g ?? =+--< ? ?? ， 所以存在唯一()10,1x ∈，使得()10g x =. 当1, 2x π?? ∈???? ，()122sin g x x x x '=+-+，()2 12cos 0x x g x =--+'<'， 所以()g x '单调递减， 又π2 2π102π g ??'=+-+> ???， 所以()0g x '>，()g x 在1,2x π?? ∈???? 上单调递增. 因为()1cos101g =->，所以()0g x >，故不存在零点. 当,32x π?? ∈?? ?? 时，()122sin g x x x x '=+-+，()212cos 0x x g x =--+'<'， 所以()g x '单调递减， 又02g π?? '> ??? ，()1224sin 202g '=+-+<， 所以存在0,22x π??∈???? ，使得()00g x '=. 当0π,2 x x ??∈???? 时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()0,3x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减. 又2πππln π0224g ?? =+- > ???，()2ln 2cos20g =->，()3ln 369cos30g =+--<， 所以存在唯一()22,3x ∈，使得()20g x =. 当[ )3,x ∈+∞时，()2 2 12130g x x x x x x <-+-+=-+≤，故不存在零点. 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且()10,1x ∈，()02,3x ∈， 因此n m -的最小值为3. 【点睛】 本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数的零点．解题关键是掌握导数与单调性的关系．本题对学生分析问题解决问题的能力，转化与化归能力要求较高，本题属于难题． 22．在平面直角坐标系0x y 中，曲线C 的方程为1, , x cosa y sina =+?? =?(a 为参数，且 (0,)a π∈)，若点M 为曲线C 上的动点，直线OM 交直线2x =于点P .以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C 的极坐标方程及点P 轨迹的极坐标方程； （2）当3PM =时，求点P 的极坐标. 【答案】（1）: 20, 2C cos πρθθ????∈ ? ?????=；,:220P cos πρθθ???? = ?? ∈ ????；（2）4,3π?? ???. 【解析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==即可； （2）设()10,M ρθ，点20(),P ρθ，则1020 2 2cos cos ρθρθ== ，，由3PM =可得213ρρ-=，再代入计算即可. 【详解】 解: ()1曲线C 的普通方程为()()2 2110x y y -+=>，极坐标方程为 0 2c 2 os ,ρπθθ?? ??∈ ? ?? ?=? ? ，点P 的普通方程为()20x y =>， 所以点P 轨迹的极坐标方程为2cos 0, 2ρπθθ???∈??? = ? ??? ()2设点()10,M ρθ，点20(),P ρθ， 则1020 2 2cos cos ρθρθ== ， 由3PM =可得213ρρ-=， 即 00 2 2cos 3cos θθ-=， 00,2πθ??∈ ??? Q 001cos ,23π θθ∴== 所以224cos 3 ρπ ==，点P 的极坐标为4,3π?? ??? 【点睛】 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程互化以及求点的极坐标，考查学生计算能力，是一道基础题. 23．设函数()11f x x x =+--的最大值为M . （1）求M 的值；