第一章 鲁棒控制理论与设计-绪论

第一章 绪论

1.1 控制理论研究现状、存在问题及新发展

1.1.1研究现状及存在问题

控制理论的研究经历了20世纪40年代的古典频域法，到60年代的现代控制理论，再到20世纪末发展至今的后现代控制理论。同时伴随着线性系统方法与非线性系统方法、频域法和时域法等的横向发展过程[11]，控制问题的研究一直套用“建立被控对象的数学模型、分析系统的数学模型、依靠模型设计控制律”的模式。被控对象的模型、性能指标和算法是问题研究的核心，并成为控制理论发展的基础。与此同时也带来了不可回避的问题，表现在：对模型的依赖越来越强；由于各类不同的数学模型、不同的性能指标引起的分析设计算法不同，控制理论产生了越来越多的分支，而且算法和分析设计方法越来越复杂，甚至只针对某类模型的指标有效，而普遍意义不大。

许多学者注意到这一问题，早在1977年，P.Eykhoff就指出[2]

，

“与自动控制直接有关的应用中，存在的难题是估计与控制问题的配合”。他在此首次提出建模与控制的一体化问题。我国学者韩京清也从另外的角度认识到：要想解决鲁棒性问题，需要摆脱数学模型的约束[7]。控制理论的研究缺乏提纲挈领的理论方向作为指导，似乎对每一类型的控制问题都要研究如何应用新颖的技巧和特殊的算法，这种“虚假繁荣”的现象人们称为“模型灾难”和“算法灾难”。

“算法灾难”和“模型灾难”表面上给控制理论带来了繁荣的局面，但实际上却使研究陷入了尴尬的境地，并使得像控制系统计算机辅助设计(CCAD)、控制系统计算机仿真等相关学科也举步维艰。在这种情况下，迫切需要用新思想、新观念来突破目前过分依赖模型的模式和传统的研究设计方法，并借鉴相关学科的理论与技术，从基础理论出发，引入具有原创性的研究方向，将控制理论发展推向一个崭新的阶段。

1.1.2 研究发展新方向

由于上述问题，研究工作两个方向展开[7]：一个方向是始于20世纪90年代初的建模或适合控制的建模，从一开始它就强调以控制作为系统辨识的最终目的。它从一个全新的角度研究稳定的LTI(线性时不变系统)的辨识问题，考虑在最差情况下如何得到系统的名义模型及估计模型的不确定性误差上界，以适应鲁棒控制的需要。鲁棒辨识是一种真正适合控制的辨识方法。但辨识与控制的结合是一个非常复杂的问题，不但需要深厚的数学知识，而且也同样带来许多新的问题，Gevers 认为辨识与控制的配合是控制理论研究中的一个新的挑战。

∞H 第二类研究方向是寻找更强有力的理论框架和有效的计算方法来覆盖目前的各类分支，即研究控制理论统一问题。尤其是针对目前高维非线性系统和不确定系统的复杂性，学者们希望在汲取计算流体力学、计算物理学和其它相关学科的精髓的基础上，能从系统的最基本物理特性―稳定性入手，研究能统一表示系统各类特性的基本定律，并由此推导出能表示系统各类特性的最基本方程。在此基本定律和基本方程的基础上，研究目前各类控制问题的统一数学描述和求解算法，借用计算机的强大计算功能，来做系统分析和控制器设计，并研究物理系统的新的性质和特征，发现新的定

理，这门新兴的学科被称为“计算控制论”[7]。其研究目的在于统一目前控制论中繁杂的分支和众多的算法,利用计算技术更好地分析物理系统的最基本运动特性，更好地研究控制系统特性，设计性能更优越的控制器。不过，由于刚刚起步，因此，目前的研究还只限于学科框架研究和基础理论的研究。另外，还有无模型控制器、鲁棒自适应控制等都对这方面作了积极的探索和研究。

1.2 基于LYAPUNOV 函数的系统耗散性研究现状

稳定性是系统最基本的特性，对于稳定问题的研究是最重要的基本问题。20世纪40年代Lur’e、Postnikov等人将Lyapunov理论应用与解决实际控制工程问题相结合，可是提出的稳定性准则仅限于小系统的应用。20世纪60年代Popov [8,9]、Yakubovich [10,11]等利用正实引理简化Lur’e问题，并给出利用图形求解的方法，产生了Popov判据。这判据可以应用于低阶非线性系统，但不能用于高阶非线性系统。不过，这类方法给了我们两点启示：它不需要对系统作细致的描述，其次它是基于不等式原理的，即解是空间的某个域

[12,13,14]。当纯解析方法和图解方法限制了控制论的发展和应用时，控制理论必将寻找数值方法来求得发展。系统的稳定性和基于不等式的求解算法是奠定统一控制理论研究的两个基础。

Lyapunov 稳定性理论[7]和Popov 稳定性判据是基于能量概念的，

耗散性是研究系统稳定性的主要方法之一，许多基于Lyapunov 函数的稳定性理论，都可以从系统耗散性的角度加以解释[15]。从目前的研究结果可以看出基于能量概念的系统耗散性，不仅仅可以用来研究系统的稳定性和系统的渐近性质，而且更可贵的是研究系统的耗散性也并不依赖系统的精确数学模型。这两点是研究不确定系统鲁棒控制的基础。对于某系统，给定供给函数(supply function),如果存在一个依赖于系统状态的蓄能函数

))(),((t y t u s )(t x [16]))((t x V (storage function),使得耗散不等式成立，则称系统是耗散的。进一步针对不同对象和性能指标，可推

导出蓄能函数应满足的各类Hamilton-Jacobi 方程∫+≤t

t t x V dt y u s t x V 0))((),())((0))((t x V [15,28]。对于线性系统，H-J 方程可以写成优美而简洁的表达式，并求解带有一组LMI （Linear Matrix Inequality ）约束的规划问题，得到问题的解析解。因此，可以证明许多鲁棒性问题均可由系统的耗散性导出。许多学者围绕系统耗散性作了大量的研究，值得提出的是以荷兰J.C.Willems 教授为主的研究小组，在该领域作了大量的工作，在他们的主页[15]上有许多的研究报告和论文。文献[1,15,17]都对耗散不等式与系统的无源性、正实性、有界实引理、小增益定理等这些系统分析中常遇到的性质的关系作了详细分析，指出所有这些性质均可以由系统的耗散不等式结构导出。文献[15,28]还指出对于线性系统，所有这些关系和性质都可以表示成线性矩阵不等式问题。许多学者还研究了供给函数)(?s 与Lyapunov 函数的关系、系统的耗散性与IQC(Integral Quadratic Constraints)之间的关系、系统和控制中的行为方法[17]。由此可见，目前许多控制问题，包括稳定性、自适应控制、不确定性、系统建模、模型验证、鲁棒性分析和鲁棒控制器设计等都可以用系统的耗散性来表述，其分析和设计算法也都可以描述为矩阵不等式的求解

[59,18]和凸优化问题，并呈现继续增长的趋势。

1.3 不确定系统控制理论及LMI 技术的重要性

∞H 鲁棒控制就是试图描绘被控对象的不确定性，并在不确定性允许的摄动范围内综合其控制律，

使系统保持稳定性和性能鲁棒[11]。

不确定系统鲁棒性研究这些年来一直是控制理论研究的热点之一。 鲁棒稳定性是针对控制器K 提出的，是指K 不仅能使标称被控对象P 稳定，而且对允许范围内摄动的被控对象都稳定，也就是说，对于被控对象的数学模型集合D 中的每一个对象，控制器Ｋ都能保证其内稳定，则控制器是鲁棒稳定的[11]。

鲁棒性能是指集合D 中的所有对象都满足内稳定和某种特定的性能。在鲁棒控制理论中，这种特定的性能一般是指系统的范数，也就是说，要求系统的性能指标本身对系统的不确定性具有鲁棒性∞H ∞H [11]。

∞H 控制理论是在空间，用范数作为目标函数的变量进行优化设计。在控制理论中，范数是指在右半复平面上解析的有理函数阵的最大奇异值，物理意义是系统获得的最大能量增益。由此可见，若使系统干扰至误差的传递函数的范数最小，那么具有有限功率谱的干扰对系统误差的影响将会降到最低限度，这就是最优控制理论的基本思想。

∞H ∞H ∞H ∞H ∞H ∞H G ．Zames 在1981年发表的著名论文可以看成是现代鲁棒控制特别是控制的先驱，它以最优

灵敏度，即干扰在输出上影响最小作为控制的基本思路∞H ∞H [16]。

随后的研究发现这种最优控制的求解实际上可以解决一系列鲁棒控制问题。这表明鲁棒控制与最优控制具有某种深刻联系。

∞H 人们发现范数适于同时描述系统中对象不确定性的程度和输入端的干扰到输出端误差的信号增益。标准的控制问题可以由右边框图1.1描述：其中w 表示外界干扰，y 是向控制器提供的测量值，z 是误差信号，在设计中希望保持它尽量小，传递函数阵G 中包含了受控对象以及描述期望特性所加的加权函数。最优控制问题则是要设计一个镇定控制K ，使得w 到z 的闭环传递函∞H ∞H ∞H 数的范数达到极小。若zw T ∞H ())ωσsup j T T zw zw ≡∞∞w ，H 范数给出了w 到

z 的最大能量增益。而范数的重要性质来自

于小增益定理的应用。小增益定理指出，若∞H γ≤∞zw T ，由图1.2描述的系统对所有稳定的

?都稳定，只要?满足γ/1

得以发展的主要原因很可能是这一鲁棒稳定性

问题的结论，而不是最坏情况下的信号增益的结

论。 ∞H

图1.1 标准控制 ∞H

纵观鲁棒控制理论的发展，可将其划为三个阶段：第一阶段以1981年加拿大学者James 引入范作为目标函数进行优化设计为标志；第二阶段以1988年Doyle 等人在全美控制会议上发表DGKF 论文为标志，降控制器设计归纳为两个Riccati 方程的解；第三阶段是以进入90年代以后，LMI 技术引入到鲁棒控制中为标志的。

∞H ∞H ∞H ∞H

LMI 的引入不仅降低了控制器设计的限制条件，提高了分析和设计的效率，并使控制的研究领域得以扩展∞H ∞H [12]。控制问题的提出和研究更加促进了LMI 的研究和发展，特别是发展起来的内点算法，使LMI 具有了极为广泛的实用价值。依靠LMI 凸优化技术可以得到满足不同性能指标优化的各个解，即得到一个解集，使混合多目标控制易于实现。对于线性系统和非线性系统，鲁棒稳定性和鲁棒性能分析最有利的工具是小增益原理。采用LMI 技术研究不确定性系统的鲁棒稳定性问题，可以将鲁棒稳定性用LMI 表示为，存在一个正定矩阵满足线性矩阵不等式约束，而鲁棒界可以化为凸优化问题求解。利用小增益原理研究非结构不确定性系统的鲁棒性时具有很大的保守性，因此近几年来利用μ理论和LMI 技术研究结构化不确定性是控制界关注的问题之一∞H [1]。在LMI 发展的历史中最具实质性的阶段是1984年解决时域多项式的线性程序算法的引入，而1988年内点算法直接引入到求解LMI 的凸优化问题，则使得求解高维的LMI 成为可能。进入20世纪90年代，一种统一标准的线性系统分析方法、设计规范的形成和有效地数学计算工具包逐步研制成功，更进一步推动了LMI 在控制系统中的应用。随着LMI 技

术在控制理论中的广泛应用，基于Riccati 方程

(不等式) 统一标准的线性系统分析方法、设计

规范的形成和有效地数学计算工具包逐步研制

成功，更进一步的控制器设计方法研究将逐

步向LMI 方向转化，以期通过求解LMI 使问题

得以解决。本文以LMI 技术为主要工具，研究

基于LMI 的控制设计理论及凸优化算法，而在

统一理论框架的研究中，LMI 也起着至关重要

的作用。

∞H

图1.2 标准不确定性系统标准

1.4 计算控制论及其研究内容

1.4.1 基于耗散性的统一理论研究现状

稳定性是系统最基本的特性，统一理论框架的研究自然会想到围绕稳定性展开。 20世纪40年代Lyapunov理论与解决实际控制工程问题相结合，可是提出的稳定性准则仅限于小系统的应用。20世纪60年代利用正实引理给出利用图形求解的方法，产生了Popov判据，这个判据可以应用于低阶非线性系统，但不能用于高阶非线性系统。不过，这类方法给了我们两点启示：第一，它不需要对系统作细致的描述；其次，它是基于不等式原理的，解是空间的某个域。当纯解析方法和图解方法限制了控制论的发展和应用时，控制理论必将寻找数值方法来求得发展。系统的稳定性和基于不等式的求解算法是奠定统一控制理论研究的两个基础[4]

。

Lyapunov稳定性理论和Popov稳定性判据是基于能量概念的，耗散性是研究系统稳定性的主要方法之一，许多基于Lyapunov函数的稳定性理论，都可以从系统耗散性的角度加以解释[4]。从目前的研究结果可以看出基于能量概念的系统耗散性，不仅仅可以用来研究系统的稳定性和系统的渐近性

质，而且更可贵的是研究系统的耗散性也并不依赖系统的精确数学模型。这两点是研究不确定系统

鲁棒控制的基础。对于某系统，给定供给函数()()()t y ,t w s (supply

function),如果存在一个依赖于系统状态的蓄能函数

)(t x [4]))((t x V (storage function),使得耗散不等式成立，则称系统是耗散的。进一步针对不同对象和性能指标，可

推导出蓄能函数应满足的各类Hamilton-Jacobi方程∫+≤t

t t x V dt y w s t x V 0))((),())((0))((t x V [4]。对于线性系统，H-J方程可以写成优

美而简洁的表达式，并求解带有一组LMI(Linear Matrix Inequality)约束的规划问题，得到问题的解析解。可以证明许多鲁棒性问题均可由系统的耗散性导出。许多学者围绕系统耗散性作了大量的研究，值得提出的是以荷兰J.C.Willems教授为主的研究小组，在该领域作了大量的工作，在他们的主页上有许多的研究报告和论文[4]。系统的无源性、正实性、有界实引理、小增益定理等这些系统分析中常遇到的性质，均可以由系统的耗散不等式结构导出。要指出的是对于线性系统，所有这些关系和性质都可以表示成线性矩阵不等式问题。许多学者还研究了系统的耗散性与IQC(Integral Quadratic Constraints)之间的关系、系统和控制中的行为方法[7]。由此可见，目前许多控制问题，包括稳定性、自适应控制、不确定性、系统建模、模型验证、鲁棒性分析和鲁棒控制器设计等都可以用系统的耗散性来表述，其分析和设计算法也都可以描述为矩阵不等式的求解和凸优化问题，并呈现继续蓬勃发展的趋势。 1.4.2 统一算法框架概述

由前面的论述可以知道，“算法灾难”主要是由于只针对某类型问题有效，从而使得算法过于复杂、过于繁多，不便于掌握和实际工程应用。因此，统一算法框架的提出无疑开辟了控制研究设计的新篇章。由于LMI 是一种凸约束，因而LMI 问题往往可以表示为在凸约束下线性目标的求解问题。本文所描述的统一问题就是以LMI 技术为基础的，将控制问题的LMI 形式经过适当的变形和转化，变为统一的矩阵不等式形式。接下来针对此统一形式研究了相应的凸优化算法，给出来控制器G 的参数化公式，改变算法中的相关参数就可以得到满足相应指标的控制器设计算法。

1.4.3 凸优化控制理论

上面提到的统一算法是建立在标准控制问题基础上的，即是次优算法，而最优算法可以保证控制性能达到最优，得到最佳的控制器。凸优化方法的提出以LMI 为基础，使得最优控制问题的求解变为在一组LMI 约束下线性目标函数的凸优化问题。

LMI 优化问题的一般形式为

(1-1) 0

)γ,(.0γmin >>x A t s 其中矩阵A (x,γ)是优化变量x 和正数γ的线性函数，x 可以是向量，也可以是矩阵。显然这是一个典型的特征值优化问题。

另一个等价表示为

????>.0)(.x F t

s ?>0

min x c T (1-2)

其中矩阵F 为变量x ∈l n R ×的线性函数，C ∈l n R ×。式(1-1)、(1-2)为两种可以互相转化的线性矩阵不等式优化问题的表达式，从(1-2)式可以看出，当F 为对角阵时，LMI 优化问题就退化为一个线性规划问题，也就是说，问题退化为在LMI 约束下对一个线性目标函数的优化问题。因此，线性规划问题又可以看成是LMI 优化问题的一个特殊形式。有些学者又将线性不等式优化问题称为正定规划(positive definite programming)。如果约束为，则又称为半定规划问题。

0)(x F ≥对于(1-2)式的优化问题，当F (x )为矩阵变量x 的线性矩阵函数时，如果有对任意，0)(,0)(,2121>>>x F x F x x ，

10≤α≤显然有 )()α1()(α])α1(α[2121x F x F x x F ?+=?+

成立，因此LMI 约束是一种凸约束，LMI 优化问题实际上是线性，目标函数在凸约束下的优化问题，也就是一个典型的凸规划问题。

1.5 本书的编排

本书旨在利用带有LMI 约束的凸优化技术，从基于Lyapunov 函数的耗散不等式结构入手，进行系统分析设计方法研究，由此建立起统一控制理论的框架，为计算控制论学科奠定基础。该书涉及的研究将使得控制理论中许多复杂问题的解决成为可能，尤其是高维非线性系统和不确定系统。本书后续章节的主要内容如下：

第二章 给出理论研究基础，包括Lyapunov 稳定性理论，K-Y-P 引理、正实引理和有界实引理，以及LMI 问题和LMI 中常用的矩阵变换公式。

第三章 对于线形和非线性系统，研究基于Lyapunov 函数的系统耗散性定义和耗散不等式结构，给出、正实性、有界实性等系统特性和耗散结构的关系，并由此导出系统分析设计所需的基本定理和统一描述。

∞H H 、2第四章 研究基于LMI 的凸优化技术，通过分析稳定性问题的一种求解思想，提出统一的线性代数方法，并利用其将各类控制设计问题简化成单一的矩阵不等式问题，从而实现各类控制问题求解的统一算法。

第五章 根据统一控制理论框架中的分析设计方法，以极点配置约束、、为目标的输出反馈综合为例研究多目标鲁棒控制器设计，并将设计结果应用于某型在研鱼雷系统，通过计算机仿真验证其控制性能。

2H ∞H 第六章 针对高阶系统，利用统一控制理论框架中的LMI 代数方法，研究降阶鲁棒滤波器设计。考虑连续/离散时间系统，给出最优滤波器设计的存在条件和求解公式，并结合某型在研鱼雷系统，设计降阶鲁棒滤波器，通过仿真分析验证其合理性和有效性。

第七章 对本论文工作进行总结，并对更深入的理论研究工作和应用前景做简单的展望。