数学建模实习报告6

西北农林科技大学实验报告

学院名称：理学院专业年级：2011级信计1班姓名：xxx 学号：xxx

课程：数学模型与数学建模报告日期：2013年12月24日

1 实验题目：

生物种群动态模拟

2 实验问题陈述:

在这个问题中我们采用较为复杂的增长模型

,

)

/

1

)(

)(

/

(

)

(P

K

P

c

P

c

r

P

g-

-

=

其中

参数C表示种群水平的最小值，低于这个水平种群将出现负增长，假设

7

10-

=

a ,且最小值

的种群水平是蓝鲸3000条，长须鲸15000条。

（a）两种鲸鱼种群能否共存？建立一个动力系统模型描述他们的动态。

（b）画出这个模型的向量场。确定每个平衡态是否稳定。

（c）假设存在5000条蓝鲸和70000条长须鲸，关于这两种鲸鱼的将来这个模型能预测些什么？

（d）假设我们低估了蓝鲸的最小有效种群值，这个值实际上接近10000.于是两个种群会发生什么变化？

3 实验目的:

(1)了解生物种群的模型的建立过程, 建立蓝鲸和长须鲸的交互作用种群动态模型,并回答两种群的共存问题、平衡态稳定与否问题、预测问题及调整最小有效种群值两种群变化问题。

(2)熟悉解决类似鲸群问题模型的设计过程并说明数学模型上的动态模拟过程。

(3)本次实习中主要用到的软件主要是MATLAB软件，所以本次实习目的还有了解MATLAB 软件的使用来求解生物种群动态模拟。

4 实验内容:

（1）模型分析:

假设：（1）只考虑相互竞争的两个生物种群：蓝鲸与长须鲸的动态；

（2）当种群将没有竞争时，这两个种群都为logistic增长；

（3）竞争种群的存在将降低对方种群的增长率；

（4）由竞争导致的增长率的减少量与当时竞争的种群数量成正比；

（5）假设两个种群间的竞争力是一样的。

（2）符号表示

表1：一些符号说明

（3）模型分析与建立 据题意有：

B c =3000，15000=F c

由假设②，对于单个种群的增长，有：

B c B K B c r dt dB

B B B B ))(/1)(/(--=…………………………….① F c F K F c r dt

dF F F F F ))(/1)(/(--=………………………....②

当竞争种群存在时，模型为：

B c B F

C K B c r dt

dB

B F B B B )]()/1)(/[(---=…………..③

F c F P C K F c r dt

dF

F P F F F )]()/1)(/[(---=…………………④ 以上为这两种群的lotka-volterra 竞争模型。

且已知：B r =0.05，F r =0.08；4

1015?=B K ，4

1040?=F K ， 由假设⑤有：α==F B C C ； 由此可得模型为：

B F B B

dt dB ]3000/)3000)(1015

1(05.0[4α--?-=-……………….⑤ F B F F

dt dF ]15000/)15000)(1040

1(08.0[4α--?-=-……………..⑥ 其为一个二维的自治系统，相空间应该是二维的平面N=(B,F)，针对实际问题的要求，应该在这个平面的第一象限S={(B,F):B>=0,F>=0}中讨论系统的动态。

将模型记为：12'(,);'(,)B f B F B F f B F F ==，其中： 1(,)(/)(1/)()B B B B F f B F r c B K B c C F =---

(0.05/3000)(1/150000)(3000)B B F α=?--- 2(,)(/)(1/)()F F F F B f B F r c F K F c C B =---

(0.08/15000)(1/400000)(15000)F F B α=?---

5 结果分析与讨论:

（1）取4410,10--?=?=F y B x ：

则程序运行后的平衡点有： [0 , 0] [3000 , 0] [0 , 15000] [0 , 400000] [150000 ， 0] [5490 , 399893] [147527 , 397104] [149890 , 17942] [3092 , 15060]

x 10

5

5

-...- (x (x /400000 - 1) (x - 15000))/187500 = 0

蓝鲸

长须鲸

图一 鲸鱼竞争种群动态的向量场

从图一可以看出，两个生物种群将呈现的动态结果是蓝鲸将会灭绝，长须鲸将会稳定于它的饱和状态F k 。由上面的图像可以看出不是每个平衡点都是稳定的，只有到达点（5490，39 9893）才能达到最终平衡，此时蓝鲸数量约为5490，长须鲸数量约为399 893。

当蓝鲸为5 000，长须鲸为70 000时，从上图我们可以看出在一段时间内，蓝鲸和长须鲸的数量都会增长。当蓝鲸的最小有效种群为10 000时，程序运行后有：

平衡点为（下面的数据为略去了小数的数据）： [0 , 0] [10000 , 0] [0 , 15000] [0 , 400000] [150000 , 0] [19163 , 399626] [140895 , 397235] [149614 , 17936] [10326 , 15201]

x 10

5

5

-...- (x 2 (x 2/400000 - 1) (x 2 - 15000))/187500 = 0

蓝鲸

白须鲸

图二 鲸鱼竞争种群动态的向量场

从图二可以看出当蓝鲸的最小有效种群为10000时，蓝鲸的竞争数量会增加，最终导致在两个生物种群最终呈现的动态结果的平衡状态的数量中，蓝鲸的竞争结果将会比最小值为3000时的数量更多一些，长须鲸的数量略微减小。 6 程序:

syms x1 x2 alpha=1*10^(-7);

f1=0.05*x1*(1-x1/150000)*(x1-3000)/3000 - alpha*x1*x2; f2=0.08*x2*(1-x2/400000)*(x2-15000)/15000 - alpha*x1*x2; [x1steady,x2steady]=solve(f1,f2); disp('平衡点为：')

disp([x1steady x2steady]) M=10;

x1min=0; x1max=300000; x2min=0; x2max=600000;

[X1,X2]=meshgrid(x1min:(x1max-x1min)/M:x1max,x2min:(x2max-x2min)/M:x2max);

dX1=0.05*X1.*(1-X1/150000)*(X1-3000)/3000 - alpha*X1.*X2; dX2=0.08*X2.*(1-X2/400000)*(X2-15000)/15000 - alpha*X1.*X2; % quiver(X1,X2,dX1,dX2,'pm'); axis([x1min x1max x2min x2max]);

title('Direction field (the vectors may be rescaled!)'); hold on

ezplot(f1,[0 300000 0 600000]), hold on ezplot(f2,[0 300000 0 600000]) xlabel('蓝鲸'); ylabel('长须鲸');