第六章刚体的基本运动习题解答

习 题

6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。

图6-16

m/s 5.051.01=?===ωA O v v D C

2

22

1n n m/s 5.251.0=?===ω

A O a a D C

2

1τ

τ

m/s 2.021.0=?===αA O a a D C

6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。设t =0时，0=?，

求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。 图6-17

m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =??===ω? m/s 4sin 8.01t x

O -= ?=30?时 m /s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m /s 36.1-=O x

m /s 4.0=v 22m /s 771.2m /s 36.1==a

6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？

2

ωαc b --=

t c b d d 2

-=+ω

ω ?

?

-=

+t

t c b 0

2

d d 0

ωω

ω

t b

c bc -=0

|)arctan(1ωω

)arctan(

10ωb

c bc

t =

6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=?。试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。

2

34t t -=? 294t -=?

t 18-=? t =0时

4=?

0=? m/s 245.0=?==ωR v

2

22

n m/s 845.0=?==ω

R a

0τ==αR a

2

n m /s 8==a a t =1s 时

5-=?

18-=? m/s 5.255.0=?==ωR v

2

22

n m/s 5.12)5(5.0=-?==ω

R a

2

τm/s 9)18(5.0-=-?==αR a

2

m/s 4.15=a 什么时刻改变其转向 0942=-=t ?

s 32=t

6-5 电机转子的角加速度与时间t 成正比，当t =0时，初角速度等于零。经过3s 后，转子转过6圈。试写出转子的转动方程，并求t =2s 时转子的角速度。

ct =α t ct d d =ω ?

?

=

t

t ct 0

d d ω

ω 2

2

1ct =

ω

2

21

d d ct t =?

3

61

ct =

?

t =3s 时，π12π26=?=?

3

361

π12??=c

9π

427π

126

1

==

c

3

9

π4t =?3396.1t =

t =2s 时 r a d /s

76

.163

π1643

π43

π42

==

?=

=t

ω

6-6 杆OA 可绕定轴O 转动。一绳跨过定滑轮B ，其一端系于杆OA 上A 点，另一端以匀速u 向下拉动，如图6-18所示。设OA=OB =l ，初始时0=?，试求杆OA 的转动方程。

ut l AB -=2

l

ut l

ut l OA AB OAB 21222/cos -

=-=

=

∠

即 l

ut 212

cos

-

=? )21arccos(2l

ut -

=?

6-7 圆盘绕定轴O 转动。在某一瞬时，轮缘上点A 的速度为m/s 8.0=A v ，转动半径为m 1.0=A r ；

盘上任一点B 的全加速度B a 与其转动半径OB 成θ角，且6.0tan =θ，如图6-19所示。试求该 瞬时圆盘的角加速度。

图6-19

m/s 8.0==ωA A r v r a d /s 81

.08.0===

A

A r v ω 6.0tan 2

==

ω

αθ 2

2

r a d /s 4.386.0||=?=ωα

6-8 如图6-20所示，电动机轴上的小齿轮A 驱动连接在提升铰盘上的齿轮B ，物块M 从其静止位置被提升，以匀加速度升高到1.2m 时获得速度0.9m/s 。试求当物块经过该位置时：（1）绳子上与鼓轮相接触的一点C 的加速度；（2）小齿轮A 的角速度的角加速度。

图6-20

(1)

2.1209.0τ2

2

?=-a 3375.04

.249.0τ==

a

5.16

.09.0==B ω 35.15.16.02n =?=a

2

2

2

n m/s 39.135

.13375

.0=+=

a

(2)

3150

450===

A B B

A R R ωω r a d /s

5.43==B A ωω 5625.06

.03375.0τ==

=

C

B R a α 2

r a d /s 6875.13==B A αα

6-9 杆OA 的长度为l ,可绕轴O 转动，杆的A 端靠在物块B 的侧面上，如图6-21所示。若物块B 以匀速v 0向右平动，且x =v 0t ,试求杆OA 的角速度和角加速度以及杆端A 点的速度。

图6-21

t v x 0= l

t v l

x 0cos =

=

? l

t

v 0a r c c o s =?

2

2

2

2

00

)

(

1t

v l

v l t v l v O -=

-==?

ω

3

2

2

2

3

0)

(t v l

t v O O -==ω

α

220

2

0t

v l lv l v O A -=

=ω

6-10 图6-22所示机构中，杆AB 以匀速v 向上滑动，通过滑块A 带动摇杆OC 绕O 轴作定轴转动。开始时0=?，试求当4/π?=时，摇杆OC 的角速度和角加速度。

图6-22

l

vt =

?tan

对时间求导

l v =??

2

sec

??

?

ω2

2

cos sec l

v l v

===

??ω?ω

α2

2

2c o s 2s i n )2s i n (l

v l

v -

=-?==

4π/=?时

l

v 2=

ω 2

22l

v -

=α

6-11 如图6-23所示，电动绞车由皮带轮Ⅰ和Ⅱ以及鼓轮组成，鼓轮Ⅲ和皮带轮Ⅱ刚性地固定在同一轴上。各轮的半径分别为m 4.0m 75.0m 3.0321===r r r ，，，轮Ⅰ的转速为n 1=100r/min 。设皮带轮与皮带之间无相对滑动，求重物M 上升的速度和皮带各段上点的加速度。

图6-23

3π1030π11==

n ω

3

π43

π1075

.03

.012

1

2=?=

=

ωωr r

m/s 6755.13

π44.023=?==ωr v

0==CD AB a a

2

2

2

21

1m/s 8987.323

π10)3

π10(

3.0==

?==ωr a AD

2

2

2

22

2m/s 1595.133

π4)3

π4(

75.0==

?==ωr a BC

6-12 两轮Ⅰ、Ⅱ铰接于杆AB 的两端，半径分别为mm 200mm 15021==r r ，，可在半径为R =450mm 的曲面上运动，在图6-24所示瞬时，点A 的加速度大小为2mm/s 1200=A a ，方向与OA 连线成?60角。试求该瞬时：（1）AB 杆的角速度和角加速度；（2）点B 的加速度。

图6-24

2

mm/s 1200=A a

2

n

mm/s

60060cos =?=A A

a a

2

11

2

)(ωr R r R v A +=+=

rad/s 1150

450600=+=

ω

α)(3600

60sin 1τ

r R a a A A +==?=

2

1

rad/s 33

600=

+=

r R α

2

2

2n

mm/s 650)(=+=ω

r R a B

2

2τmm/s

3650

)(=+=αr R a B

2

mm/s

1300=B a

6-13 如图6-25所示，机构中齿轮Ⅰ紧固在杆AC 上，AB=O 1O 2，齿轮Ⅰ与半径为2r 的齿轮Ⅱ啮合，齿轮Ⅱ可绕O 2轴转动且与曲柄O 2B 没有联系。设O 1A = O 2B=l ，t b ω?sin = ，试确定)2(πω=t

时，轮Ⅱ的角速度的角加速度。

图6-25

t b B

O ωω?ωc o s 2== t b B O ωω?αs i n 2

2

-==

当ω

2π

=

t 时

02=B

O

ω 0=B v

0==B D v v (齿轮Ⅰ与杆AC 平动，点D 为轮I 、II 接触点) 0II =ω

2

2ωαb B

O

-= 2τ2ωαbl l a B O B -== 2

ττωbl a a B D -==

2

2

2

τ

II r bl r a D ωα-

==

6-14 如图6-26所示，摩擦传动机构的主动轴Ⅰ的转速为n =600r/min 。轴Ⅰ的轮盘与轴

Ⅱ的轮盘接触，接触点按箭头A 所示的方向移动。距离d 的变化规律为d =100-5t ，其中d 以mm 计，t 以s 计。已知mm

50=r

，R =150mm 。求：（1）以距离d 表示的轴Ⅱ的角加速度；

（2）当r d =时，轮B 边缘上一点的全加速度。

图6-26

(1)

π2030

π==

n ω

d π

10002=

ω

2

2

2222rad/π5000)5(π1000π1000s d

d d d =-?-=-== ω

α (2) r d =时 π2050

π10002==

ω

2

2πrad/2s =α

2

322

42

24

2mm/s

10177.5921π40000π300π

4π)20(150

?=+=+=+=αωR a B

2

m/s 177.592=

6-15 如图6-27所示，录音机磁带厚为δ，图示瞬时两轮半径分别为1r 和2r ，若驱动轮Ⅰ以不变的角速度1ω转动，试求轮Ⅱ在图示瞬时的角速度和角加速度。

图6-27

2211ωωr r = 12

12ωωr r =

222211ωωω r r r

+= 2

22112r r r

ωωω -=

轮Ⅰ转过一周π)2(，半径增大δ，转过1d ?，则增大1d π

2?δ

故 11d π

2d ?δ

=r

t

t r d d π

2d d 11?δ

?

=

11π

2ωδ

=r

而在轮Ⅰ转过一周π)2(时，轮Ⅱ半径减小

δ2

1r r ，故12

12π

2ωδ

??

-=r r r

2

221122r r r

ωωω

α -==

12

2

21212

1

2

1211ωωωr r r r r

r r r r r -=

?-=

122

1

2

1121π

2π

2ωωδωδr

r r r r ?

?

+?=

212

2

22

2

12π2)1(ωδ

?

+=

r r

r r

)1(π222

2

12

2

1r

r r +

=

δω