示范教案(4.3.2 空间两点间的距离公式)

4.3.2 空间两点间的距离公式

整体设计

教学分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.

三维目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.

2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.

3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式.

教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.

思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐

标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两

点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课

新知探究

提出问题

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.

④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？

⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合

空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是

利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1

②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=2

22z y x ++.

③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.

④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.

⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2

⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.

再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.

在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得

|P 1P 2|=2221||||HP H P +=

221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.

于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标

的差的平方的和的算术平方根.

应用示例

例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：

(1)线段AB 的中点坐标和长度；

(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.

解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=2

03+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=

-+-+-, 所以AB 的长度为29.

(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,

所以有下面等式：

222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .

化简得4x+6y-8z+7=0,

因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.

点评:通过本题我们可以得出以下两点：

①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.

②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.

变式训练

在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.

解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,

2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,

整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).

例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.

证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=

-+-+-. 由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.

点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.

变式训练

三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.

活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.

解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.

又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.

例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )

A.0

B.7

35 C.75 D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.

解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =7

3575)78

(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为7

35. 故正确选项为B.

答案：B

点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法.

知能训练

课本本节练习1、2、3、4.

拓展提升

已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.

图3

解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：

以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).

在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,

∴tan ∠BAE=m

m AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.

课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解.

2.空间两点间的距离公式的应用.

3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.

作业

习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.

设计感想

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.

《两点间的距离》教学设计(优质课)

两点间的距离（一）教学目标 1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法启发引导式识解决以下问题：

备选例题例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得： 10 解得：x = 11 或x = –5. 所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得：（1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；（2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=?? --=? 解2 5x y =??=? 得 P (2，5). （2）C 关于l 对称点324 (, )55 C '

由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126 (,)77 P 时“=”成立， ∴1126 (, )77 P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P 到Q 的长度. 【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2 1, 10 QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以 02 1022 a b ++++= 所以2 10 210 22 b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以 Q ′(–3，–1) 因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ，所以1(1)2 2(3)5 k --= =-- l 1：21(2)5 y x -=-即2x – 5y + 1 = 0 （2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′ 所以沿这光线从P 到Q 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.

空间两点之间的距离公式

空间两点间的距离公式教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别教学重点两点间距离公式的应用教学难点利用公式解决空间几何问题教学过程一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC

例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。三、小结

3.3.2《两点间的距离》教案

3.3.2两点间的距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。教学方式：启发引导式。教学用具：用多媒体辅助教学。教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点()(2 122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。在直角ABC V 中，222 1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221 212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，222121 2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。由此得到两点间的距离公式 12PP = 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。二，例题解答，细心演算，规范表达。例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。解：设所求点P （x ，0），于是有 =由 PA PB =得

22 25411 x x x x ++=-+解得x=1。所以，所求点P（1，0）且 PA==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。解法二：由已知得，线段 AB的中点为 1 2 ? ?? Ｍ，直线AB的斜率为 k= 1 2 ?? ? ?? ３ｘ－ＰＡ＝３２３线段AB的垂直平分线的方程是 y- 1 2 ?? ? ?? ３ｘ－２在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此ＰＡ＝三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222 2222 AB a CD a AD b c BC ===+= ，， () 2 AC a b =+２２，＋ｃ() ２２２ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ所以，() ２２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ () ２２２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

两点间的距离公式教案

两点间的距离公式教案江苏省苏州丝绸中等专业学校唐佳倩一、教材分析本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。二、学情分析学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。三、教学目标 1．知识与技能目标：（1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程；（2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点；（3）能应用这个公式解决相关问题。 2.过程与方法：（1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；（2）通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。 3.情感态度与价值观：让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。四、教学重难点重点：两点间的距离公式。难点：两点间的距离的应用。

五、教法学法针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。六、教学过程 1. 提出问题引发思考提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗连接2点的线段长即两点间的距离。（2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点,正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。 2.构建新知得出结论已知和,试求两点间距离(让学生思考，再引导学生求出特殊位置的两点的距离) 1. 2. 提问：(1)这之间的距离怎么去表示呢

八年级数学两点距离公式

§19.10 两点的距离公式教学目标： 1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法，掌握两点之间距离公式。 2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。 3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。教学重点、难点：重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导教学过程： 1、复习引入：已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1) 求①B 、C 两点的距离 X 轴或平行于X 轴的直线上的两点的距离AB= ②A 、C 两点的距离 Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点的距离CD= ③A 、B 两点的距离 2、探求新知：任意两点之间距离公式 y)B(),A 21，、（x y x | | 21x x - )y D(),C 21，、（x y x | | 21y y -

如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（ 3、练一练：求下列两点的距离（1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-3,5)和D （7,-2） 4、例题讲解：例1、已知坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1) ① 点P 在x 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。变一变：②点P 在y 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 5、归纳总结： 6、布置作业：

两点间的距离与线段的中点坐标教案

张掖市职业学校文化课优质课教案 |P 1P 2 |=2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( | |y y x x P P- + - = → 单位：民乐县职教中心学科：数学教者：张成仁时间：2013.4.26 图8－2

文化课优质课教案

图8－2

教学设计说明：一、教学内容的分析 1、教材的地位和作用：直线作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.直线的方程是解析几何的基础知识，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的线性规划、圆、直线与圆的位置关系、圆锥曲线及直线与圆锥曲线的位置关系等内容有着很重要的作用.本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式等.从本节来看，两点间的距离与线段中点的坐标公式，在直线方程中占有重要位置.同时，同学们将迈出探究几何学知识的第一步，在“数”和“形”之间建立联系. 2、教学目标的确定：根据教学内容的特点，依据中职教材课程标准的具体要求，结合学生的认知规律与已有的认知水平，本节课通过设置轻松的师生互动、生生互动的探究问题让学生在民主、和谐的课堂氛围中，自主探究两点间的距离和线段中点的坐标公式；通过自主合作的互动探究及解决问题的过程，激发学生的参与意识与强烈的求知欲望，培养学生的问题意识与创新思维；同时，在探索解决一系列问题的过程中，培养学生的抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，磨练学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.由此我确定了本节课的知识能力目标、过程与方法目标和情感态度价值观目标. 3、教学重难点的确定：两点间的距离与线段中点的坐标公式是直线方程的基础，直线的方程是解析几何的基础，对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，对后续研究的内容有着很重要的作用，将数与形紧密地结合起来，这样许多代数问题就转化为学生熟知的几何问题，这也是中学数学课中学习解析几何的目的之一，所以两点间的距离与线段中点的坐标公式是本节课的重点. 教学难点：两点间的距离与线段中点的坐标公式的应用.本节课是通过与刚刚学习的向量的有关知识进行联系，引出两点间的距离公式，进一步由特殊到一般，得出线段中点的坐标公式，对公式的深刻理解和灵活应用，熟练解决相关问题是本节课的学习目标之一，所以是本节课的一个教学难点，这一点对中职生来说有一定难度，因此确定为本节课的难点. 二、学情分析 1、学生已经掌握了向量的基本知识，这为本节课的学习奠定了必要的知识基础； 2、中一的学生已经具备了学习数学的基本能力，同时也已经掌握了一些如：观察、猜想、

高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》

《空间两点间的距离公式》本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。【知识与能力目标】理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。【过程与方法目标】通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。【情感态度价值观目标】培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。【教学重点】空间两点间的距离公式和它的简单应用。【教学难点】空间两点间的距离公式的推导。电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。一、导入部分

我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。（2）两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离（）（）（）注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。（①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式；（②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。

两点间的距离公式及中点公式教学设计样本

【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式【教材阐明】本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。【学情分析】学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。【教学目的】知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式．能力目的：用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力．情感目的：通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度．【教学重点】两点间距离公式与线段中点坐标公式运用．【教学难点】两点间距离公式理解．【教学备品】三角板．【教学办法】讨论合伙法【学时安排】 2学时．(90分钟)

【教学设计】针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上．【教学过程】大海中有两个小岛，

高中数学人教版必修两点间的距离教案(系列一)

两点间的距离教学目标 1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 安排 1 教学过程导入新课 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求B(3，4)到原点的距离. (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 推进新课新知探究提出问题 ①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果：①|AB|=|x B x A|,|CD|=|y C y D|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③

图1 在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q. 在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2|QP 2|2. 因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2x 1|2|y 2y 1|2. 由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=2 12212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标. 图2 解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x4)2(38)2=132，解得x=8或x=16.

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)电子教案

【课题】8．1 两点间的距离公式及中点公式【教材说明】本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。【学情分析】学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。【教学目标】知识目标： 1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程． 2. 掌握两点间的距离公式与中点坐标公式．能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生的思考能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用．【教学难点】两点间的距离公式的理解．【教学备品】三角板．【教学方法】讨论合作法【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学设计】针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣。在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生本身的专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对一些曲线方程有充分的了解。同时在教学中经常用分组讨论法，探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式

两点之间距离公式教案

数学系 09数本四班 090401426 夏溦两点之间的距离公式一、教学目标 1.知识技能目标：经历探索两点间的距离公式的过程，了解公式的几何背景，熟记两点之间的距离公式，运用两点之间的距离公式，解决相关数学问题。 2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力，使学生明白从特殊推出一般的思想。 3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。二、教学重、难点 1. 教学重点：两点之间距离公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：使学生明白推导两点之间距离公式时辅助线的构造，运用勾股定理推导两点之间距离公式，使学生明白如何用特殊推出一般的思想，以及两点之间距离公式灵活运用。三、教学过程（一）复习式导入：回顾上一节课提到的存在两点,A B ,若这两点都在X 轴或Y 轴上，两点之间距离是：（1）若两点都在X 轴上，且已知12(,0),(,0)A x B x -时，有()21AB x x =-- （2）若两点都在X 轴上，且已知''12(0,),(0,)A y B y -，有21''A B y y =--

先阅读下列材料，然后完成下列填空：点A、B在数轴上分别表示实数 a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b-0|=|a-b|；当A、B两点都不在原点时， ①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b| ②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b| ③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（-b）=|a-b| 综上所述，（1）上述材料用到的数学思想方法是（至少写出2个）（2）数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是；（3）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是；如果|AB|=2，那么x为．（二）讲解新课如果已知的两点不是都在坐标轴上的，那我们怎么求两点之间的距离呢？现在，我们来看一个生活中的实例，通过这个例子来尝试推导出两点之间的距离公式。生活实例：

两点间距离公式与线段中点的坐标教案

8．1 两点间的距离与线段中点的坐标【教学目标】知识目标：掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；能力目标：用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．【教学重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【教学难点】两点间的距离公式的理解【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间 *揭示课题 8．1 两点间的距离与线段中点的坐标 *创设情境兴趣导入【知识回顾】平面直角坐标系中，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则 122121(,)=--u u u u r PP x x y y ．介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考 0 15 *动脑思考探索新知【新知识】我们将向量12 u u u u r PP 的模，叫做点1P 、2P 之间的距离，记作12 PP ，则 22 121212122121||()()===-+-u u u u r u u u u r u u u u r g PP PP PP PP x x y y （8．1）总结归纳思考记忆带领学生分析 25 *巩固知识典型例题例1 求A （?3，1）、B （2，?5）两点间的距离．解 A 、B 两点间的距离为 []2 2||(32)1(5)61 AB =--+--= 说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会 30 第1题图

例2 已知点S （0，2）、点T （?6，?1），现将线段ST 四等分，试求出各分点的坐标．分析如图8－2所示，首先求出线段ST 的中点Q 的坐标，然后再求SQ 的中点P 及QT 的中点R 的坐标．解设线段ST 的中点Q 的坐标为(,)Q Q x y ，则由点S （0，2）、点T （?6，?1）得 0(6) 32Q x +-==-，2(1)1 22 Q y +-= =．即线段ST 的中点为 Q 1 3,2 -（）．同理，求出线段SQ 的中点P 35,24-（），线段QT 的中点91,24R --（）．故所求的分点分别为P 35,24-（）、Q 13,2-（）、91 ,24 R --（）．例3 已知ABC ?的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．解设BC 的中点D 的坐标为(,)D D x y ，则由(2,1)B -、 (0,3)C 得 (2)012D x -+==-，13 22D y +==，故 22||(11)(20)22,AD =--+-= 即BC 边上的中线AD 的长度为22．说明强调引领讲解说明引领分析说明观察思考主动求解观察思考求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点 65 *运用知识强化练习 1．已知点(2,3)A 和点(8,3)B -，求线段AB 中点的坐标． 2．已知ABC ?的三个顶点为(2,2)A 、(4,6)B -、(3,2)C --，求AB 边上的中线CD 的长度． 3．已知点(4,)Q n 是点(,2)P m 和点(3,8)R 连线的中点，求m 与n 的值．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解进一步领会知识点 75 *理论升华整体建构思考并回答下面的问题：图8－2

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计)

8.1两点间的距离公式及中点公式(教学设计) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2课时．(90分钟) 【教学设计】针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣。在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生本身的专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对一些曲线方程有充分的了解。同时在教学中经常用分组讨论法，探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．大海中有两个小

两点间的距离公式教案电子教案

8.1.1两点间的距离公式教案江苏省苏州丝绸中等专业学校唐佳倩一、教材分析本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。二、学情分析学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。三、教学目标 1．知识与技能目标：（1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程；（2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点；（3）能应用这个公式解决相关问题。 2.过程与方法：（1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律；（2）通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。 3.情感态度与价值观：让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。四、教学重难点重点：两点间的距离公式。难点：两点间的距离的应用。五、教法学法针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象

的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。六、教学过程 1. 提出问题引发思考提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗？连接2点的线段长即两点间的距离。（2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢？根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点,正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。 2.构建新知得出结论已知和,试求两点间距离(让学生思考，再引导学生求出特殊位置的两点的距离) 1. 2. 提问：(1)这之间的距离怎么去表示呢？ (2)大家仔细观察，这两点的距离有什么特点？（学生先独立思考，再分组讨论，然后代表回答）这两点的距离实际上，一个是等于横坐标之差的绝对值，一个是等于纵坐标之差的绝对值。 (3)那如果是任意的平面上两点，又如何去求两点间的距离公式？引导学生相互讨论把两点间的距离公式向一般化转化。

3.3.2 两点间距离教案

张喜林制 §3.3.2两点间的距离【教学目标】 1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题. 2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题. 【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求B(3，4)到原点的距离. (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③ 图1 在直角坐标系中，已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、

高中数学-空间两点间的距离公式教案

4.3.2空间两点间的距离公式教案 1．教学任务分析通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2．教学重点和难点重点：空间两点间的距离公式难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。 3．教学过程（1）在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离： (2) 在空间直角坐标系中，任意两点P 1(x 1,y 1,z 1)和P 2(x 2,y 2,z 2) 间的距离：（3）练习 1、在空间直角坐标系中，已知两点A 、B 坐标，求出它们之间的距离： (1)A(2,3,5) B(3,1,4)；(2)A(6,0,1) B(3,5,7) 2、在z 轴上求一点M ，使得点M 到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。 3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a ，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN 的长. ，，连接平面的垂线，垂足为点做过OP')0,,(P'P y x xy 222222 222|'||'||OP |OPP')0y ()0(|OP |z y x PP OP y x x y x ++=+=?+= -+-=中，在轴构成的平面上，轴在H.N P MN P MN,M,xy P N xy P 2112于的平行线，交作过连接平面的垂线，垂足为做；过平面的垂线，垂足为做过2 212212212 122212112221221221221122221111)()()(|H P ||H P ||P P |H P P RT |z z ||NH ||N P ||H P || |)y -y ()x -x (|MN |),N(),y ,M(x ),,,(P ),z ,y ,(x P z z y y x x H P y x y x z y x -+-+-=+=?∴-=-==+=中，在，可得：轴的平面上，轴则在已知Θ70 )71()50()36(|AB |)2(6)45()13()32(|AB |)1(222222=-+-+-==-+-+-=有：解：由两点间距离公式)3,0,0(M 3)1()30()10()2()00()10(|MB ||MA |) ,0,0(M 2 22222-∴-=-+++-=-+-+-=点的坐标为。解得：，即由题意可知：点的坐标为解：设a a a a

3.3.2 两点间的距离(优秀经典公开课教案及练习答案详解)

3.3.2 两点间的距离学科：数学年级：高一班级【学习目标】会用直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。【学习重难点】重点：两点间距离公式的推导难点：应用两点间距离公式证明几何问题。【预习指导】 1：如图，设数轴x 上的两点分别为A 、B ，怎样求AB ？那么，怎样求直角坐标系中的两点间的距离？ 2：如图，在直角坐标系中，点C （4,3），D(4,0)，E （0,3）如何求C 、D 间的距离|CD|,C 、E 间的距离|CE|及原点O 与C 的距离|OC|? 3：对于直角坐标系中的任意两点p 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），如何求p 1 p 2的距离呢？【合作探究】分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12P N N 12与P 相交于点Q 。在直角三角形ABC 中，222 1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2 2 2 2 2 2 1 212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=22 2121x x y y -+-。由此得到两点间的距离公式 12PP = 例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P（x，0），于是有 = 由PA PB =得 22 25411 x x x x ++=-+解得 x=1。所以，所求点P（1 ，0）且 PA= =通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。解法二：由已知得，线段AB的中点为1 2 ? ?? Ｍ，直线 AB的斜率为 k=1 2 ?? ? ?? ３ｘ－ＰＡ＝３２线段AB 的垂直平分线的方程是 y-1 2 ?? ? ?? ３ｘ－２在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此ＰＡ＝例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为 2222 2222 AB a CD a AD b c BC ===+= ，， () 2 AC a b =+２２，＋ｃ() ２２２ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ所以，() ２２２２２２２ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ () ２２２２２ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以，

湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式

§４．３．２空间两点间的距离公式一、教材分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标１．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式２．过程与方法３．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程三、教学重点与难点教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排１课时先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式

五、教学设计（一）导入新课思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题１平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.