2020年中山大学7435007光学综合考研复试核心题库之量子力学简答题精编
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一、2020年中山大学7435007光学综合考研复试核心题库之量子力学简答题精编1．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上线性独立的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
2．若物理量算符满足如下关系：，且的矩阵为20×20的对角矩阵，对角元为
各出现一次，各出现两次，各出现四次，0出现六次，问：
(1)对应什么物理量？
(2)能取什么值？这些值在表象中各自重复出现的次数是多少？如何理解这些重复出现的情况？
【答案】(1)满足角动量的一般定义，故它是角动量算符。
(2)由于在表象中，最大值为，故角量子数j可取3，又因对角元为±3h各出现一次，故j=3的子对角块矩阵是一个
又在j=3的子块中，必定出现一次，而题中告诉各出现两次，故一定有j=2的子块一个，又j=3和j=2的子块中都各出现一次，故可知j=1的子块应该是4-1-1=2个，同理可推知j=0的子块应是6-1-1-2=2个。
由于取值为，而相应简并度为(2j+1)g(j)，这里g(j)为有同一j的子块数，它也是
和的一对本征值和的简并度，故知取值为
相应重复次数为7，5，6，2，重复次数之和刚好是20，重复的原因反映了不构成
C.S.C.O.，体系还存在别的自由度。
3．有人设计了如下实验，用以否定互补原理：板A可在同一平面内在垂直于Oz方向上移动(用以测定通过板上的小缝的光子的动量)。用一无限远光源垂直照射板A，当光子通过板到达屏上M 点，其动量的改变应等于板所吸收的动量。另一方面由于通过板后的动量的大小与光子的路径有关，与它是通过小缝或是通过有关。事实上由光子的能量动量关系易知
当我们让光子一个接一个地逐渐到达屏来形成干涉图像时，用测定板A获得的动量来判断光子到底通过的是哪个孔，这样就否定了互补原理(下图)。
图
这实验错在什么地方？用不确定原理定性说明互补原理的正确性。
【答案】实验思想的错误在于仅仅假设了光子的量子特性，而忽略了宏观物体(板)也要受量子力学的支配！这样，若我们要知道光子是通过哪个孔，那么板A的垂直动量的不准确度应远小于测量与之间的差值，即。由不确定关系知，对板的位置仅仅在范围内才知道。
若设双缝间的距离为a板与屏间距离为d，且设与很小(即)，则
故
所以，但正是屏上条纹的间距。这样双缝之间的距离的不准确度超过条纹的间距，故干涉图像不可能观察到。
互补原理与不确定原理有密切联系，当用实验来测察(经典意义上的)粒子性时，由定义知，一个“粒子”在一个特定时刻是可以以无限的精确度定位的，故在这个实验中和为零。这样，由不确定关系知，它的能量和动量，从而表征其波动性的那些量：将是完全不确定的，即观察对象在表现其(经典意义上的)粒子性时，其波动性就必然会被抑制，反过来在表现出波动性时,其粒子性也会被抑制。经典意义上的波动性和粒子性不可能同时被观测到，只有在正确意义上才能理解统一的波粒二象性。
4．若在某给定状态中，力学量A有确定值,那么在算符和(1)不对易(2)对易这两种情形下,力学量B在上述态中是否也具有确定的值？为什么？
【答案】(1)算符和不对易时，则一般来说，与不能同时为零，即A与B不能同
时有确定的值，所以常将算符与称为“不相容”的。但是，由不确定关系
知道，尽管，但仍可能存在这样的态，使得有，对于这样的态，A和B 可以同时有确定的值。也就是说，它们仍可以有某些共同本征态，只不过这些共同本征态不能形成基底，由此知算符的非对易性并不能完全排除它们的某些本征值可同时实现(但相互共轭的(互补的)算符例外，它们一定无共同本征态，因而也一定不能同时有完全确定的值)。例如，球对称势场中运动的粒子，总角动量平方等于零的态中，互不对易的角动量的三个分量都同时具有完全确定的值(都为零)。
(2)若算符和对易，则和是“相容”的，即可以通过在的每个本征子空间内求解的本征值方程来构造出和的共同本征矢形成的一组基底。但是，只是对应于的非简并本征值的本征矢，才一定是共同本征矢，在这共同本征矢所描述的状态中，A和B有完全确定的值,然而与的简并本征值相关的本征矢不一定是的本征矢。所以在一般情形，一个任何预先给定的态不一定是和的共同本征态，而最多只能肯定，这个态能由和的共同本征态形成的基
矢的线性组合来表示。由此可知它们在这个预先给定的态中不一定同时都有确定的值。例如：
(1)球对称场中，粒子处于总角动量平方具有完全确定值的状态，其角动量的z分量或者具有完全确定值，或者不具有。这正是由于对的所有非零值，对的不同值来说都是简并的。事实上，尽管与对易，我们仍能找到这样一种状态，在这个状态中，没有确定值但或
具有确定值(注意和均与对易，但与不对易)。
(2)除基态能级外,氢原子的每一个能级对应于角动量的若干值，所以尽管与对易，也不能说当能量E有确定值时，也有完全确定的值。
因此，为了判断力学量B是否在态中有确定值，可用如下方法：①判断是否是简并态，或者②把算符作用到上，若(即也是的本征态),则在态中，B有完全确定的值，否则B没有完全确定的值。
5．两个质量为m,自旋为1/2,能量为E的全同粒子从相反方向入射，发生弹性散射，粒子间的相互作用为
其中r为两粒子间的距离。设两粒子都是非极化的。(1)当入射能量E很大时，求微分散射截面。(2)设在及方向(为散射角)测得两个出射粒子，求出它们的总自旋为S=1的概率，以及两粒子自旋都指向一粒子入射方向(z轴方向)的概率。(3)当低能时，散射后两粒子总自旋等于1的概率是多少？
【答案】两个质量相同的粒子对头撞，这时实验室系和质心系重合,并且这种碰撞可以通过粒子1相对于粒子2的运动表示出来，这一运动在形式上完全等价于一个约化质量为m/2的单粒子在以固定原点为参考点的势场V(r)中运动。我们取一个粒子的入射方向为z方向。入射相对能为
2E，波数为。由于相互作用与自旋无关，故只需注意这个全同粒子体系波函数的对称性。
(1)由于高能近似条件成立，可采用玻恩近似。空间部分的散射振幅为