抛物线教学讲义

抛物线教学讲义

ZHI SHI SHU LI 知识梳理 1．抛物线的定义

抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等

___； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ?l ___. 2．抛物线的标准方程与几何性质

标准 方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p ＞0)

x 2＝－2py (p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F (p

2

，0) F (－p

2

，0)

F (0，p 2

)

F (0，－p

2

)

离心率 e ＝__1___

准线 方程 __x ＝－p

2___

__x ＝p 2___

__y ＝－p

2___

__y ＝p 2___

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0，y 0))

|PF |＝ __x 0＋p 2___

|PF |＝ __－x 0＋p

2

___

|PF |＝ __y 0＋p 2

___

|PF |＝ __－y 0＋p

2

___

ZHONG YAO JIE LUN

重要结论 抛物线焦点弦的处理规律

直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．

(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝

p 24

. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p

. (4)弦长AB ＝2p

sin 2α(α为AB 的倾斜角)．

(5)以AB 为直径的圆与准线相切．

(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.

SHUANG JI ZI CE

双基自测

1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( C ) A ．(1

8，0)

B ．(1

2，0)

C ．(0，1

8

)

D ．(0，1

2

)

[解析] 由抛物线的标准方程为x 2＝12y ，可知p 2＝18，所以焦点坐标是(0，1

8)．故选C ．

2．(2019·龙岩质检)若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( A ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．5

[解析] 由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1.故选A ．

3．(2019·运城期末)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( D ) A ．x 2＝3

2y

B ．x 2＝6y

C ．x 2＝－3y

D ．x 2＝3y

[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．

由?

????

x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y 得x 2－2ax ＋2a ＝0. 所以x 1＋x 22＝2a 2

＝3，即a ＝3，

因此所求的抛物线的方程为x 2＝3y .故选D ．

4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5

4x 0，则x 0＝( A )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

[解析] 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋1

4＝|AF |

＝5

4

x 0，解得x 0＝1，故选A ． 5．(2019·宁夏二模)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为__±4___.

[解析] 由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由定义知P 到准线的距离为4，故p

2

＋2＝4，得p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝－8y ，代入点P 的坐标得m ＝±4. 6．抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线y 24－x 2

9＝1的一个顶点，则此抛

物线的标准方程为__x 2＝8y ___.

[解析] 由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，因为双曲线下顶点为(0，－2)，所以－p

2

＝－2，p ＝4，抛物线的标准方程为x 2＝8y .

考点1 抛物线的定义及应用——多维探究

角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题

例1 (2019·江西赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( D ) A ．(0,0) B ．(1

2，1)

C ．(1，2)

D ．(2,2)

[解析] 如图，过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，所以当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．

角度2 到准线与到定点距离之和最小问题

例2 已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( A ) A ．41

B ．7

C ．6

D ．9

[解析] 由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝

41.

角度3 到两定直线的距离之和最小问题

例3 已知抛物线C ：y 2＝8x 上一点P ，直线l 1：x ＝－2，l 2：3x －5y ＋30＝0，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为( D ) A ．2 B ．234 C ．1615

34

D ．1817

34

[解析] 由抛物线y 2＝8x ，得其焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2，∴l 1：x ＝－2为抛物线的准线．P 到两直线l 1：x ＝－2，l 2：3x －5y ＋30＝0的距离之和的最小值，即为P 到F 和l 2：3x －5y ＋30＝0的距离之和的最小值，等于F 到l 2：3x －5y ＋30＝0的距离即

|3×2－5×0＋30|

32＋(－5)2＝

3634

＝183417.

名师点拨 ?

求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 〔变式训练1〕

(1)(角度3)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( D )

A ．37

16

B ．11

5

C ．3

D ．2

(2)(角度1)已知椭圆x 24＋y 2

3＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为

(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值是__4___.

[解析] (1)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|

32＋42＝2，故选D ．

(2)因为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为(1,0)，所以p

2＝1，解得p ＝2.

所以抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图所示，

过M 作抛物线的准线l 的垂线MA ，垂足为A ，由抛物线的定义有|MA |＝|MF |，所以|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |，

显然当P ，M ，A 三点共线时，|MP |＋|MF |取得最小值． 因为点P 的坐标为(3,2)，

所以|MP |＋|MF |的最小值为3－(－1)＝4.故填4.

考点2 抛物线的方程及几何性质——自主练透

例4 (1)(2018·石家庄调研)若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( C ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x

D ．y 2＝10x

(2)(2019·山东荷泽期末)已知等边△AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)上，且△AOB 的面积为93，则p ＝( C ) A ．3 B ．3 C ．

3

2

D ．23