十字交叉法及平均分子式的运用方法

答：十字交叉

一、适用范围：

“十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。

例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。可知其中乙烯的质量分数为（）

A.25.0%

B.27.6%

C.72.4%

D.75.0%

解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。

这样，乙烯的质量分数是：

ω（C 2H 4）=32

1283283?+??×100 ％=72.4% 答案：C 。（解毕）

二、十字交叉法的解法探讨：

1.十字交叉法的依据：

对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c

(a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b

解之，得：

b a

c a x b a b c x --=---=

1, 即：c

a b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式：

为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：

c C 2H 4 O 2 29 3 1 即：n(C 2H 4) n(O 2) =3∶1 组分1 a c －

b 混合物 C x(组分1)

c －b 1－x (组分a －c =

3.解法关健和难点所在：

十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。

关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。设计这些平均量时应优先考虑待求量和题给条件，一般情况下尽可能的将待求量设计为上述化学量2（分数中的分母），至于化学量1则依题给条件选取最容易获得的化学量(分数中的分子)，这样上述第1论点中的a 、b 、c 应该是分别这样的一些化学平均量（如下图）：而这些化学平均量a 、b 、c 交叉相减后所得差值之比，则是组分1和组分2的化学平均量的量纲中化学量2 [如a 、b 、c 为摩尔质量（g/mol ）时，便是物质的量 mol]的比值。

例2：把CaCO 3和MgCO 3组成的混合物充分加热到质量不再减少时，称得残留物的质量是原混合物质量的一半。则残留物中钙和镁两元素原子的物质的量之比是

A.1:4

B.1:3

C.1:1

D.1:2

解析：上述问题是计算两组分混合物中某两个化学量之比，可用十字交叉法解题。解题时先设计混合物的平均化学量c ，该题中要求钙和镁两元素原子的物质的量之比（即原子个数比），而平均量中分母（即上述化学量y(组分2)）与题给条件相差甚远，故以一摩尔组分质量为分母，一摩尔物质分解后残留物质量为分子而得如下的几个平均量：

a=56g÷100g ; b=40g÷84g; c=1/2

应用于十字交叉法：

即：所以，原混合物中两组分CaCO 3和MgCO 3物质的量之比（即残留物中Ca 和Mg 的物质的量之比为：n(Ca)∶n(Mg)

=(1/42)g ÷100g/mol ∶(3/50) g÷84 g/mol

=1∶3

答案：B （解毕）

注：熟练后或在要表达的计算题中可略去上图，而只以比例式表示，为防止出错，也可在草稿中画上述十字交叉图。

三、十字交叉法的应用与例析：

1.两组分混合物中已知组分及混合体系的摩尔质量（或式量）,求组分的物质的量之比（或组分气体的体积比、组分物质的微粒数之比）：

解答这类问题，需设计的平均化学量a 、b 、c 就直接用摩尔质量（g /mol ）。而用十字交叉法交叉相减后所得差值之比是组分的物质的量之比（或微粒数之比），或依阿伏加德罗定律，也等于（相同状态下）气态混合体系中组分气体的体积比。

）组分）组分22((x y =2212的化学量组分的化学量组分）组分）组分

11((x y =2

111的化学量组分的化学量组分混合体系）混合体系）((x y =21

混合体系的化学量混合体系的化学量

组分CaCO 3 56/100 1/42 混合物

1/2 m(CaCO m(MgCO = 1/42 3/50

例3.硼的平均相对原子质量为10.8，硼在自然界中有种同位素：10

5B 与115B ，则这两种同位素

5B 、115B 在自然界中的原子个数比为

A. 1∶2

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶8

解析：相对原子质量与原子的摩尔质量数值上相等，故元素或原子的相对原子质量可看做十字交叉法中的平均化学量，量纲为g ?mol －1,交叉相减后所得差值之比为两同位素的物质的量（即原子数）之比。

答案： B 解毕） 2.两种溶液（同溶质）相混合，已知两溶液及混合溶液中溶质的质量分数，求两溶液的质量比：

例4.将密度为1.84g ?cm －3，质量分数为98％的浓硫酸与水配制成30％的稀溶液，应怎么配制？解析：要配制这种硫酸，必须先求出浓硫酸与水的比例。因为溶液中溶质的质量分数为溶质质量占溶液质量的分数，所以质量分数实际上也是一种平均化学量，可用于十字交叉法求出浓硫酸和水的质量比。这样，上述平均化学量a 、b 、c 中的化学量2最好就设计为溶液质量，而化学量1取最方便的就是溶质质量，即平均化学量a 、b 、c 就是溶液中溶质的质量分数，应用于十字交叉法（图略），记为：

m(浓硫酸)∶m(水)=（30％－0）∶(98%－30%)=15∶34

即取15份质量的浓硫酸与34份质量的水混合得此稀硫酸。

（解毕）

3.两可燃物组成的混合体系，已知其组分及混合物的燃烧热，求组分的物质的量之比或百分含量。

例5.在一定条件下，CO 和CH 4燃烧的热化学方程式分别为：

2CO(气)+O 2(气)=2CO 2(气)+566KJ ；

CH 4(气)+2O 2(气)=CO 2(气)+2H 2O(液)+890KJ

现有CO 和CH 4组成的气体混合物89.6L(标准状态下测定)，在上述条件下燃烧，释放的热量为2953KJ ，则CO 和CH 4的体积比为（）

A. 1∶3

B. 3∶1

C.1∶2

D.2∶1

解析：可燃物的反应热以摩尔反应热来表示时，单位是：KJ/mol ，因此也可以看做是一个平均化学量，两可燃组分及混合物的反应热可当做十字交叉法基本形式中的a 、b 、c 进行十字交叉，交叉相减后所得差值之比即为两可燃组分的物质的量之比。解题时设计并先求算气体混合物的反应热：

混合气体的物质的量：n=89.6L ÷22.4L ?mol －1=4.00mol

∴混合气体的平均反应热： Q （混合物）=2953KJ÷4.00mol=738.3KJ?mol －1

双两组分的反应热分别为：Q(CO)=566KJ ÷2mol=283KJ ?mo －1；Q(CH 4)=890KJ ?mol －1

这样，十字交叉法就记为：n(CO)∶n(CH 4)

105B 10 0.2 115B 11 0.8 或记为： n(105B) 11－10.8 =1∶4 =

n(115B) 10.8－

10.8

=(890－738.3)∶(738.3－283)≈1∶3

答案：B 。 (解毕)

4.其它有关物质组成、变化关系的两组分混合体系，依题意，设计适当的平均化学量，也可用十字交叉法求算两组分的某个化学量的比值或百分含量。

例6.在一定条件下，将25 gCO 2和CO 的混合气体通过灼热的碳粉，使之充分反应，测知所得气体在标准状态下的体积为22.4 L ，则在相同状态下原混合气体中CO 2和CO 的体积比为

A.1∶4

B.1∶3

C.1∶2

D.2∶1

解析：本题所求为两组分混合气体中组分气体的体积之比（按阿伏加德罗定律，即为两组分

气体的物质的量之比），依，CO 不与C 反应。又从反应后的气体体积22.4 L(标态)，是1 mol 纯净CO ，总质量为28 g ，即上述反应中气体质量增加了28g －25g=3g ，应用差量

法可求得原混合气体的物质的量为：

1mol －3 g ÷12 g/mol=0.75mol

即原混合气体的摩尔质量是：25g ÷0.75mol=33.3g/mol,将两组分及混合气体的摩尔质量应用于十字交叉法（如下图）：

∴原混合气体中CO 2与CO 的体积比为：n(CO 2)∶n(CO)=1∶2

答案：C 。（解毕）

值得注意的是，有时因题给条件的限制，无法将待求量设计为平均化学量的分母（即化学量2）

，此时就应以与已知量有关又容易换算为待求量的其它化学量做为平均量中的化学量2 从上述几例中可看出，十字交叉法应用于处理两组分（或相当于两组分）的混合物的组成计算十分方便，如果在应用中能注意平均量的设计和判断交叉相减后的差值之比，则十字交叉法应用于化学计算中不仅方便快捷、同时还能提高答案的准确率，更能训练学生思维的敏捷性，在教学中应注意引导学生逐步掌握十字交叉法。

CO 2 44 CO 33.3 5.3 10.7 = 1 2 CO 2+C===== 高温

十字交叉法解题两个易错点

十字交叉法解题十字交叉法是化学计算中常用的一种速解巧解方法，适用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题。对于等量关系：ma+nb=(m+n)c 整理得：m n= c-b a-c 可写成图式： a c-b ↘↗ c ↗↘ b a-c 其中a、b为分量，c为平均量，一般只写其数值。因图式成十字交叉形，所以叫十字交叉法，多用于计算型的选择题或填空题。一般用起来比较简捷，但任何解题方法都有其局限性，十字交叉法也不例外，有时候不仅不能起简化作用，反而会造成失误。因此应具体问题具体分析，恰当采用。下面就十字交叉法解题最易出错的二元混合物反应的有关计算，通过例题加以分析。

1．十字交叉法比值的含义例1：镁和铝的混合物10 g，与足量的稀硫酸充分反应，生成1.0 g氢气，混合物中镁和铝的质量比为解析：用十字交叉法解题，关键是定好基准，找出分量和平均量。该题以失去电子的物质的量1mol作为基准，求出所对应金属的质量。失去单位物质的量电子的金属质量称作该金属的摩尔电子质量，则镁和铝的摩尔电子质量分别为12g/（mol e－）、9g/（mol e－）作为分量，1.0 gH2是H+得到1.0 mol电子所生成的，说明10 g镁和铝的混合物共失去1.0 mol电子，即镁、铝混合物的平均摩尔电子质量为10g/（mol e－），作为平均量，即两个分量值分别为12和9，平均值为10，用十字交叉法图解如下： Mg 12 1 ↘↗ 10 ↗↘ Al 9 2 那么比值1/2的含义是什么？是镁和铝的质量比、物质的量之比，还是镁和铝失去电子的物质的量之比，这就是用十字交叉法解题最易出错的地方。十字交叉法的解题要点是“斜向找差值，横向看结果”，指的是：十字交叉所得的两个差值与它横对的物质成正比例关系，两个差值比的含义取决于分量和平均量单位的分母，即该比值是产生分量的基准物的分配比，并且是基准物所对应的物理量之比，它与两个分量比值的乘积有一定的物理意义。本题所得比值1/2显然是镁和铝失去电子的物质的量之比，原混合物中镁和铝的质量比为：1×12∶2×9=2∶3。如果本题由十字交叉法所得比值求镁和铝的物质的量之比，据镁和铝失去电子的物质的量之比为1/2，很容易求得：n（Mg）：n（Al） =1×1 2 ∶2× 1 3 =3∶4。

最新行测资料分析技巧：十字交叉法

十字交叉法主要解决的就是比值的混合问题，在公务员考试的过程中，资料分析部分解题经常用的一种解题方法。它应用起来快速、准确、方便，为我们考试中秒杀题目提供了很大的助力。那么接下来跟大家一起来学习十字交叉法。一、十字交叉法概述十字交叉法是解决比值混合问题的一种非常简便的方法。这里需要大家理解“比值”“混合”这两个概念。比值：满足C/D的形式都可以看成是比值;混合：分子分母具有可加和性。平均数问题、浓度问题、利润问题、增长率问题、比重等混合问题，都可以用十字交叉法来解决。二、十字交叉法的模型在该模型中，需要大家掌握以下几个知识点： 1、a和b为部分比值、r为整体比值、A和B为实际量 2、交叉作差时一定要用大数减去小数，保证差值是一个正数，避免出现错误。这里假定a>b 3、实际量与部分比值的关系实际量对应的是部分比值实际意义的分母。如：平均分=总分/人数，实际量对应的就是相应的人数;浓度=溶质/溶液，实际量对应的就是相应的溶液质量;增长率=增长量/基期值，实际量对应的就是相应的基期值。 4、在这里边有三组计算关系 (1)第一列和第二列交叉作差等于第三列 (2)第三列、第四列、第五列的比值相等 (3)第1列的差等于第三列的和三组计算关系是我们应用十字交叉法解题的关键，一定要记住并且灵活应用。三、四种考查题型 1、求a，即已知总体比值、第二部分比值、实际量之比，求第一部分比值。

例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下，全班总的平均分为76，其中男生的平均分为70。求全班女生的平均分为多少? 解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。 2、求b，即已知总体比值、第一部分比值、实际量之比，求第二部分比值。例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下，全班总的平均分为76，其中女生的平均分为80。求全班男生的平均分为多少? 解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。 3、求r，即已知第一部分比值、第二部分比值、实际量之比，求整体比值。例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下女生的平均分为80，男生的平均分为70。求全班的平均分为多少? 解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。 4、求实际量之比，即已知第一部分比值、第二部分比值、整体比值，求实际量之比。例某班期中的数学考试成绩如下：全班平均分为76，女生的平均分为80，男生的平均分为70。求班级中女生与男生的人数之比? 解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。复工在即，那么省考备考更不能放松。行测资料分析部分，题量和难度相对稳定：考点比较全面，增长相关概念是重中之重，今天给大家介绍隔年增长。例1.2010年上半年，全国原油产量为9848万吨，同比增长5.3%，上年同期为下降1%。进口原油11797万吨(海关统计)，增长30.2%。原油加工量20586万吨，增长17.9%，增速同比加快16.4个百分点。成品油产量中，汽油产量增长6%，增速同比减缓7.9个百分点;柴油产量增长28.1%，增速同比加快15.8 个百分点。问题：2010年上半年全国原油产量比2008年同期约增长了： A.1.8% B.4.2% C.6.3% D.9.6%

行测：十字交叉法的应用

行测备考：十字交叉法的应用在加权平均数的相关题型中，由于数量关系复杂，列方程做比较困难，十字交叉法能轻松解决这一问题。十字交叉法经常运用于浓度、比重、人口、平均分等问题的求解，同时也可以运用于某些较为复杂的问题中。在数学运算及资料分析中经常用到，达到行测考场上的“秒杀”。下面我们首先学习下十字交叉法的原理。十字交叉法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，右侧对角线上，大数减小数。下面我们通过例题来看一下十字交叉法在浓度问题中的应用。【例1】有100克溶液，第一次加入20克水，溶液的浓度变成50%;第二次再加入80克浓度为40%的同种溶液，则溶液的浓度变为( ) A. 45% B. 47% C. 48% D. 46% 【解析】本题相当于是120克50%的溶液与80克40%的溶液混合，我们利用“十字交叉法”，把选项代入到其中，很明显只有D选项46%得出的比例等于120:80=3:2. 【例2】红酒桶中有浓度为68%的酒，绿酒桶中有浓度为48%的酒，若每个酒桶中取若干混合后，酒浓度为52%;若每个酒桶中取酒的数量比原来都多12 升，混合后的酒浓度为53.2%。第一次混合时，红酒桶中取的酒是( )。

A.17.8 升 B.19.2 升 C.22.4 升 D.36.3 升【解析】运用“十字交叉法”，易知第一次混合前的质量比为1:4，所以假设第一次分别取x，4x升，再用十字交叉得到第二次混合前的质量比为13:37，所以(x+12):(4x+12)=13:37，得到x=19.2，选择B。【例3】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%?(假设烧杯中盐水不会溢出)( ) A.6 B. 5 C. 4 D. 3 解析：运用“十字交叉法”，易知所以至少要加60克，每次最多14克，至少5次。以上就是我们的十字交叉法在溶液问题中的运用，做题中遇到类似这样的题目，解答起来就比直接列方程要省时省力一些。

浓度问题(十字交叉法的巧妙运用)

浓度问题（十指交叉法巧妙运用）如果题目中给出两个平行的情况A, B, 满足条件a, b ; 然后A和B按照某种条件混合在一起形成的情况C, 满足条件c. 而且可以表示成如下的表达式. 那么这个时候就可以用十字交叉法. 判断式: A×a+B×b=(A+B)×c=C×c 用十字交叉法表示: （一）基本知识点： 1、溶液=溶质+溶剂； 2、浓度=溶质/溶液； 3、溶质=溶液*浓度； 4、溶液=溶质/浓度；（二）例题与解析 1. 甲容器中有浓度为4％的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克。现从乙中取出750 克盐水，放人甲容器中混合成浓度为8％的盐水。问乙容器中的盐水浓度约是多少？ A.9.78％ B.10.14％ C.9.33％ D.11.27％答案：C 解析：方法一：设乙容器中盐水的浓度为ｘ（250×4％＋750*ｘ）／（250＋750）＝8％ｘ＝9.33％方法二：设浓度为ｘ 2. 甲、乙两瓶酒精溶液分别重300克和120克；甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。问从两瓶中应各取出多少克才能兑成浓度为50％的酒精溶液140克？ A 甲100克，乙 40克 B 甲90克，乙50克 C 甲110克，乙30克 D 甲70克，乙70克答案：A

解析：甲浓度为40%,乙浓度为75％，甲中取A，乙中取140-A A：（140-A）=5：2 A=100 3、一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐（）克。 A.14.5 B.10 C.12.5 D.15 解析：假设加盐x克,15％的盐水200克, 100%的盐x克, 混合成20%的200+x.满足: 15%*200+100%*x=20%*(200+x), 所以可以用十字交叉法. 解出x=12.5克. 说明：浓度问题，无论是稀释、浓缩还是配制，一定要转化为甲、乙两种溶液混合成第三种丙溶液，方可利用十字交叉法

十字交叉法解析

十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ为常数。x^2是X的平方 1.因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53 初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。 2.方法介绍 2.1提公因式法：如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。例15x3+10x2+5x 解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。解：原式=5x(x2+2x+1) =5x(x+1)2 2.2公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下： a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数) 说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15 解析各小题均可套用公式解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6) =(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4) ②1+x+x2+ (x15) =(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8) 注多项式分解时，先构造公式再分解。 2.3分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1 解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1) =m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1) =(m3+1)(m12+m6++1) =(m3+1)[(m6+1)2-m6]

”十字交叉法“的原理和应用

化学计算中“十字交叉法”的数学原理和应用一. “十字交叉法”简介 “十字交叉法”是二元混合物（或组成）计算中的一种特殊方法，若已知两组分量和这两个量的平均值，求这两个量的比例关系等，多可运用“十字交叉法”计算。十字交叉法在化学计算中是一种常用的方法，在很多习题中采用十字交叉法可以简化计算过程，提高计算效率。下面先从一道简单的例题来介绍何为十字交叉法。例1、50克10%的硫酸溶液和150克30%的硫酸溶液混合后，所得硫酸溶液的质量分数是多少？采用十字交叉法计算的格式如下：设混合后溶液的质量分数为x%，则可列出如下十字交叉形式所得的等式： 10%的溶液 10 30 — x X = 30%的溶液 30 x — 10 由此可得出 x = 25，即混合后溶液的质量分数为25%。以上习题的计算过程中有一个十字交叉的形式，因此通常将这种方法叫做“十字交叉法”。然而怎样的计算习题可以采用这种方法？且在用“十字交叉法”时，会涉及到最后差值的比等于什么的问题，即交叉后所得的差值之比是实际中的质量之比还是物质的量之比？这些问题如果不明确，计算中便会得出错误的结论。针对以上问题，在以前的教学中，可能往往让学生从具体的习题类型死记差值之比的实际意义。由于十字交叉法常用于： ①核素“丰度”与元素相对原子质量的计算； ②混合气体不同组分体积之比和混合气体平均相对分子质量的计算； ③不同浓度的同种溶液混合后质量分数与组分溶液质量之比的计算等类型的习题中。因此可以简单记忆为前两种类型中，差值之比为物质的量之比，第三种类型差值之比为质量之比。这种记忆方法束缚了学生的思维，同时也限制了“十字交叉法”的使用范围。实质上“十字交叉法”的运用范围很广，绝不仅仅只能在以上三种类型的习题中才可运用。然而不同情况下，交叉后所得的差值之比的实际意义是什么？该怎样确定其实际意义？是我们应该探讨和明了的问题。要解决此问题，就要明了“十字交叉法”的数学原理，然后再从原理的角度去分析，便能确定差值之比在何时为组分的质量之比，何时为组分的物质的量之比。二、“十字交叉法”的数学原理 50g(10%的溶液质量) 150(30%的溶液质量)

浓度问题之十字交叉法

浓度问题一个好玩的故事——熊喝豆浆黑熊领着三个弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了狐狸开的豆浆店。只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的豆浆每杯0.3元。”黑熊便招呼弟弟们歇脚，一起来喝豆浆。黑熊从狐狸手中接过一杯豆浆，给最小的弟弟喝掉 6 1，加满水后给老三喝掉了 3 1，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐狸开始收钱了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.3× 6 1＝0.05(元)；老三0.3 × 3 1＝0.1(元)；老二与黑熊付的一样多，0.3× 2 1＝0.15(元)。兄弟一共付了0.45元。兄弟们很惊讶，不是说，一杯豆浆0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定是黑熊再敲诈我们。不服气的黑熊嚷起来：“多收我们坚决不干。” “不给，休想离开。” 现在，说说为什么会这样呢？专题简析：溶质：在溶剂中的物质。溶剂：溶解溶质的液体或气体。溶液：包含溶质溶剂的混合物。在小升初应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度＝溶质质量溶液质量 ×100％＝溶质质量溶质质量+溶剂质量 ×100％相关演化公式溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

十字交叉法

某机关共有干部职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少？（） A.51% B.43% C.40% D.34% 裁人后比例为50%— 55以下 280（4）50%-X 55以上70 （1）50%+20% 十字交叉 4 对应20% 1对应X 即5% 裁人后比例为50%—所以选43% 不是十字相乘应该为十字交叉法不过我研究的时候给他起的名字叫权重法自己起的名字，感觉这个更恰当十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。方法二：假设男生有A，女生有B。（A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。方法三：男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C

X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析：男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，

河南-邓俊朋-十字交叉法在资料分析当中的应用

十字交叉法在资料分析中的应用中公教育研究与辅导专家+邓俊朋对于资料分析，偶尔会出现增长率混合的相关题目，对于这种问题，该如何快速解题呢，现在就让中公教育专家来给大家详细讲解一下十字交叉法在资料分析当中的应用。一、规律基期值增长量增长率=，溶液质量溶质质量浓度=，增长率和浓度的本质都是比值，我们可以用溶液混合来推导增长率混合问题。若将浓度为30%的盐溶液100克和浓度为50%的盐溶液100克均匀混合，那么混合之后的浓度应为%40200 80100100%50100%30100==+?+?，即混合之后的溶液浓度介于混合之前的两个部分浓度之间。可类比为混合之后的增长率介于混合之前的两个部分增长率之间。若将浓度为30%的盐溶液10000克和浓度为50%的盐溶液1克均匀混合，那么混合之后的溶液浓度一定介于30%——50%之间，又因为30%的盐溶液质量远远大于50%的盐溶液质量，所以混合之后的浓度应该极其接近于30%，即混合之后的溶液浓度应该更偏向于混合之前溶液质量更大的那个浓度。可类比于混合之后的增长率应该更偏向于混合之前基期值更大的那一个增长率。总结：混合之后的增长率介于两个部分增长率之间，且更偏向于混合之前基期值更大的那一个增长率。二、例题展示例1.2014年全国进出口总额41603亿美元，其中，出口22100亿美元，增长7.9%，进口19503亿美元，增长7.3%。问题：2014年，全国进出口总额同比增长率是多少： A.7.2% B.7.7% C.8.0% D.8.4% 【答案】B 。解析：由题意可知，出口22100亿美元，增长7.9%，进口19503亿美元，增长7.3%，那么混合之后的全国进出口总额同比增长率一定介于7.3%和7.9%之间，答案选择B 项。例2.2014年全国社会物流总额213.5万亿元，同比增长7.9%，其中上半年101.5万亿元，同比增长8.7%。问题：2014年下半年社会物流总额比上年同期增长百分之几： A.7.2% B.8.0% C.8.6% D.9.3%

国考行测：十字交叉法在各种题型中的应用

国考行测：十字交叉法在各种题型中的应用 “十字交叉”法做为数学运算中常用的一种解题思想，老师会在基础班型中向学生重点讲述。一般情况下，我们是在“溶液问题”中引入“十字交叉法”，我们简单把“十字交叉”法的原理重述一遍。例：重量分别为A和B的溶液，浓度分别为a和b，混合后的浓度为r。例：A个男生的平均分为a，B个女生的平均分为b，总体平均分为r。上述两个例子，我们均可以用如下的关系表示：(此处假设a>b) 上述“十字交叉”法的操作过程很简单，但是碰到类似的题目，学生很难把握A到底放哪个量，因此就很难将复杂的计算转化成简单的“十字交叉”法来操作。如果学生能理解“十字交叉”法到底适合哪类题型，并且记住接下来讲的做题套路，就可以从“战略”层次提升“十字交叉”法的应用。【例题1】(山西路警2010-12)现有含盐20%的盐水500g，要把它变成含盐15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？ A.200 B.250 C.350 D.500 【答案】B 【华图公务员[微博]考试研究中心解析】这是一道非常典型的溶液问题，溶液由两部分混合而成，我们可以用“十字交叉”法来操作，如下：

此题在溶液问题中是一道非常基础的题。其特点是：难度较低，考察溶液混合过程中各个量的变化，在国考中类似难度的题不太会出现，但确是我们掌握“十字交叉”法的典型例题。【例题2】(河北选调生-2009-47)一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？ A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【华图公务员考试研究中心解析】本题是典型的一个整体由两个部分组成。根据倍数特性，晴天的天数能被5整除。选C。此题符合“十字交叉”法的特征，考生抓住A与a分母的关系，很容易将题目求出来。本解难度不大，在国考中出现类似题型的可能性还是很大的。类似的题目是考生得分的题。【例题3】某地区按以下规定收取燃气费：如果用气量不超过60，按每立方米0.8元收费，如超过60，则超过部分按每立方米1.2元收费。某用户8月份交费平均每立方米0.88元，则8月份燃气费为多少？ A.66元 B.56元 C.48元 D.61.6元【答案】A

浓度问题(十字交叉法)

浓度问题（十字交叉法） 1，基本公式：溶液=溶质+溶剂浓度=溶质/溶液一杯盐水，其中有盐5克，有水45克，那么该盐水的浓度是多少？（2003国考）一种挥发性药水，原来有一整瓶，第二天挥发后变为原来的 2 1；第三天变为第二天的 3 2；第四天变为第三天的4 3，请问第几天时药水还剩下30 1瓶（） A ．5天 B ．12天 C ．30天 D ．100天（2005湖南）在10克盐与40克水的盐水中，取出40克盐水，其中盐与水分别为（）克 A ．8，32 B ．10，30 C ．8，30 D ．10，32 （2005上海）在20度时，100克水最多能溶解36克食盐。从中取出食盐水50克，取出的溶液的浓度是多少（） A ．36.0% B ．18.0% C ．26.5% D ．72.0% 浓度70%的酒精溶液100克与浓度20%的酒精溶液400克混合后的酒精溶液浓度是多少（） A ．30% B ．32% C ．40% D ．45% （2008北京）甲杯有浓度为17%的溶液400克，乙杯有浓度为23%的溶液600克，现在从甲，乙两杯中取出相同总量的溶液，把甲杯中取出的倒入乙杯中，把乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲，乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液的浓度是多少（） A ．20% B ．20.6% C ．21.2% D ．21.4% （2009安徽）当含盐30%的60千克盐水蒸发为含盐40%的盐水时，盐水重量为多少千克？（） A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 （2007湖南）一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%，再加入同样多水，溶液的浓度变为2%，问第三次再加入同样多水后，溶液的浓度变为（） A ．1.8% B ．1.5% C ．1% D ．0.5% （2009国考）一种溶液，蒸发一定的水后，浓度为10%，再蒸发同样的水，浓度为12%，第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少（）

公务员行测资料分析技巧知识汇总一

公务员行测资料分析技巧知识汇总一笔者为大家收集整理了公务员行测的有关资料分析技巧的相关知识，由于知识点较多，每篇文章只对几个知识点进行讲解。如果需要了解更多内容，请关注笔者系列文章。愿大家顺利通过考试！行测资料分析技巧：十字交叉法十字交叉法主要解决的就是比值的混合问题，在公务员考试的过程中，资料分析部分解题经常用的一种解题方法。它应用起来快速、准确、方便，为我们考试中秒杀题目提供了很大的助力。那么接下来跟大家一起来学习十字交叉法。一、十字交叉法概述十字交叉法是解决比值混合问题的一种非常简便的方法。这里需要大家理解“比值”“混合”这两个概念。比值：满足C/D的形式都可以看成是比值;混合：分子分母具有可加和性。平均数问题、浓度问题、利润问题、增长率问题、比重等混合问题，都可以用十字交叉法来解决。二、十字交叉法的模型

在该模型中，需要大家掌握以下几个知识点： 1、a和b为部分比值、r为整体比值、A和B为实际量 2、交叉作差时一定要用大数减去小数，保证差值是一个正数，避免出现错误。这里假定a>b 3、实际量与部分比值的关系实际量对应的是部分比值实际意义的分母。如：平均分=总分/人数，实际量对应的就是相应的人数;浓度=溶质/溶液，实际量对应的就是相应的溶液质量;增长率=增长量/基期值，实际量对应的就是相应的基期值。 4、在这里边有三组计算关系 (1)第一列和第二列交叉作差等于第三列 (2)第三列、第四列、第五列的比值相等 (3)第1列的差等于第三列的和三组计算关系是我们应用十字交叉法解题的关键，一定要记住并且灵活应用。三、四种考查题型

1、求a，即已知总体比值、第二部分比值、实际量之比，求第一部分比值。例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下，全班总的平均分为76，其中男生的平均分为70。求全班女生的平均分为多少? 解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。 2、求b，即已知总体比值、第一部分比值、实际量之比，求第二部分比值。例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下，全班总的平均分为76，其中女生的平均分为80。求全班男生的平均分为多少?

高中化学十字交叉法的应用

十字交叉法在化学计算中的应用化学计算是高考每年必考的题目，而计算中的巧解巧算又是高考命题的热点，特别是在选择、填空题中体现尤为突出。那么如何来对付这类题型呢？这就要求我们教师在平时的教学中，经常给学生介绍一下这方面的知识；今天咱们就来讨论“十字交叉法”在化学计算中的应用，十字交叉法这个名词大家很熟悉，在许多的资料中也都有论述，但学生在实际应用中还存在许多问题，按十字交叉法求出的结果往往有出入。那么这是怎么回事呢？如何来解决这个问题呢？下面就我在教学中的做法和大家共同商讨一下。一、十字交叉法公式（大家很熟悉）二、十字交叉法适用范围凡是能用二元一次方程组求解的题，均可用十字交叉法。三、防止滥用防止滥用是十字交叉法教学的重点和难点，如何突破这个难点呢？我在教学中是先给学生写出两句话： 1、用十字交叉法求出的比值该是什么比就是什么比，不是想是什么比就是上什么比。换句话说不是题中求什么比就是什么比。 2、每几份（始终不变的物理量）是多少（不断变化的物理量），用十字交叉法求出的比值是不变的物理量之比。然后通过实例加以分析理解：例1：若Na 2CO 3和NaHCO 3的混合物的平均摩尔质量为：M =100g ·mol -1 则用十字交叉法求出的比值该是什么比呢？如果我们把摩尔质量拆开来理解的话，就是：其中的物质的量是始终不变的，即都是1 mol ，而质量是在不断变化者，分别是106 g 、84 g 和100 g ，所以按十字交叉法公式求出的比值应该是始终不变的物质的量之比，当然可以是以物质的量成正比例的物理量之比，如相同条件下气体的体积之比等。练习1：已知空气的相对分子质量为28.8，则空气中N 2和O 2质量比为，体积比为，物质的量之比为（忽略空气中的其他气体）。 X 2 X 1—X X X 1 X —X 2 （）注：推断号，不是等号摩尔质量：106 g ·mol -1 84 g ·mol -1 100 g ·mol -1 物质的量： 1 mol 1 mol 1 mol (始终不变) 质量： 106 g 84 g 100 g (不断变化) { 物质 Na 2CO 3 NaHCO 3 混合物 [ 分析（分析上述数量及其单位） 2 1 X X → X X X X --12 我常写成

十字交叉法快速解数学运算题讲课教案

2011国考冲刺：十字交叉法快速解数学运算题一、十字交叉法简介当数学运算题最终可以通过下式解出解出，我们就称这类问题为"加权平均问题"。二、适用题型十字交叉法最初在浓度问题上应用广泛，但在实际计算过程中，十字交叉法并没有将浓度问题有所简化，而是在以下几种题型中有更广泛的应用，解题速度也有明显提高。 1.数量分别为A与B的人口，分别增长a与b，总体增长率为r。 2.A个男生平均分为a，B个女生平均分为b，总体平均分为r。 3.农作物种植问题，A亩新品种的产量为a，B亩原来品种的产量为b，平均产量为r。当然还有其他类似的问题，这类问题本质上都是两个不同浓度的东西混合后形成了一个平均浓度，这类问题都可以运用十字交叉法快速解题。三、真题解析【例1】某市现有70万人，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%，那么这个市现有城镇人口（） A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万

【例2】某班男生比女生人数多80％，一次考试后，全班平均成绩为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20％，则此班女生的平均分是（）。A.84分 B.85分 C.86分 D.87分所以女生平均分为70×1.2=84，答案为A。加权平均这种方法要经过一定的练习才能熟练掌握，因此华图教育希望大家利用最后的时间加紧练习，迅速提高自己的解题速度，在考场中发挥出最好的水平，祝所有考生马到成功。【例1】浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？ A.30％ B.32％ C.40％ D.45％【解析】这道题是典型的浓度混合问题，大部分考生在30秒的时间都可以解决。方法就是利用浓度公式求解：设混合后的浓度为x%，根据题意（不管怎么混合，溶质总量不变）则有100*70%+400*20%=(100+400)*x%解得x=30。然而在这里引用这道题，笔者是想想引出关于比例混合问题的一种解题方法——十字交叉法。大家先仔细看看下面的解题板书过程：

行测资料分析运算题常用方法：十字交叉法

行测资料分析运算题常用方法：十字交叉法十字交叉法主要解决的就是比值的混合问题，在广东公务员考试的过程中，资料分析部分解题经常用的一种解题方法。它应用起来快速、准确、方便，为我们考试中秒杀题目提供了很大的助力。那么接下来中公教育专家跟大家一起来学习十字交叉法。一、十字交叉法概述十字交叉法是解决比值混合问题的一种非常简便的方法。这里需要大家理解“比值”“混合”这两个概念。比值：满足C/D的形式都可以看成是比值;混合：分子分母具有可加和性。平均数问题、浓度问题、利润问题、增长率问题、比重等混合问题，都可以用十字交叉法来解决。二、十字交叉法的模型：在该模型中，需要大家掌握以下几个知识点： 1、a和b为部分比值、r为整体比值、A和B为实际量

2、交叉作差时一定要用大数减去小数，保证差值是一个正数，避免出现错误。这里假定a>b 3、实际量与部分比值的关系实际量对应的是部分比值实际意义的分母。如：平均分=总分/人数，实际量对应的就是相应的人数;浓度=溶质/溶液，实际量对应的就是相应的溶液质量;增长率=增长量/基期值，实际量对应的就是相应的基期值。 4、在这里边有三组计算关系 (1)第一列和第二列交叉作差等于第三列 (2)第三列、第四列、第五列的比值相等 (3)第1列的差等于第三列的和三组计算关系是我们应用十字交叉法解题的关键，一定要记住并且灵活应用。三、四种考查题型 1、求a，即已知总体比值、第二部分比值、实际量之比，求第一部分比值。例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下，全班总的平均分为76，其中男生的平均分为70。求全班女生的平均分为多少? 中公解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。

小学数学浓度问题

小升初专题：浓度问题在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液二糖 +水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，溶质质量10 溶质质量溶液质量X 10% =溶质质量+溶剂质量解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学 2个重点知识：百分数，比例。一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的盐”糖水中的糖”酒精溶液中的酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等溶液：溶质和溶剂的混合液体。浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液二溶质+溶剂、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：（甲溶液浓度大于乙溶液浓度）形象表达：甲溶液质量旦甲溶液与混合溶液的浓度差形豕表达：乙溶液质量 B . A 混合溶液与乙溶液的浓度差注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的?浓度三角的表示方法如下： 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法. 【例1】有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在 7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 x 100% 2、浓度= 溶质溶液 100%= 溶质溶质+溶液 100% 混合浓度z% z-y : x-z II 甲溶液质量:乙溶液质量

资料分析中的十字交叉法应用

十字交叉法在数学运算以及资料分析中的妙用一、十字交叉法的原理首先通过例题来说明原理。例题：某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均城市75分，女生的平均城市85分，求该班男生和女生的比例。方法一：特殊值法男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分，男生和女生的比例是1:1。方法二：列方程法假设男生有X，女生有Y。有（X×75+Y×85）/（X+Y）=80，整理有X=Y，所以男生和女生的比例是1:1。方法三：十字交叉法假设男生有X,女生有Y。男生：X 75 85-80=5 80 女生：Y 85 80-75=5 男生：女生=X：Y=1：1。 ******************************************************************************十字交叉法用溶液问题来讲解更加浅显易懂，怎么说呢，我们还是通过例题来讲解。有两种溶度浓度的溶液A、B，其浓度为x、y，现将这些溶液混合到一起得到浓度为r的溶液，那么这两种溶液的浓度之比为多少？假设A溶液的质量为X，B溶液的浓度为Y，则有： Xx+Yy=（X+Y）r，整理有X（x-r）=Y（r-y）；所以有X：Y=（r-y）：（x-r）上面的计算过程就抽象为： X x r-y r Y y x-r ******************************************************************************十字相乘法使用时要注意几点：第一、用来解决两者之间的比例关系问题。第二、得出的比例关系是基数的比例关系。

十字交叉法在平均数问题中的应用

十字交叉法在平均数问题中的应用上一节内容我们学习了“十字交叉法”如何解决溶液混合的问题，本节内容我们学习下“十字交叉法”在平均数的相关题型中的运用。由于平均数的相关题型数量关系复杂，列方程做比较繁杂，十字交叉法能轻松解决这一问题。下面我们通过例题来看一下十字交叉法在平均数相关题型中的应用。【例1】某单位共有职工72人，年底考核平均分数为85分，根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少?( ) A.12 B.24 C.30 D.42 【解析】本题相当于是优秀职工的平均分与其他职工的平均分混合，我们利用“十字交叉法”，易知所以优秀员工共有30人，选择C. 【例2】某工厂共有160名员工，该厂在7月的平均出勤率是85%，其中女员工的出勤率为90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人?( ) A.40 B.50 C.70 D.120 【解析】运用“十字交叉法”，易知所以男员工共有40人，选择A。

【例3】某单位共有ABC三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁?( ) A34 B36 C35 D37 解析：运用“十字交叉法”，易知所以ABC三个部门的人数比为3:4:5，假设ABC三个部门的人数分别为3、4、5人，总平均=(3×38+4×24+5×42)÷(3+4+5)=35岁，选C。以上就是我们的十字交叉法在平均数相关题型中的应用，做题中遇到类似这样的题目，解答起来就比直接列方程要省时省力一些。

浓度问题完整讲义

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第一讲浓度问题（一）数量关系：以盐水为例，盐溶于水得到盐水，其中盐叫溶质，水叫溶剂，，盐水叫溶液，盐占盐水的百分比就是盐水的浓度。（1）浓度=溶质÷溶液；（2）溶剂=溶液-溶质；（3）溶液=溶质质量÷浓度；（4）溶质=溶液×浓度。常见溶液：盐水、酒精溶液、糖水；其它：农药、硫酸溶液、果汁等。（二）解决溶液配制的主要方法 1.抓不变量：（1）加水则盐不变，新盐水=盐的质量÷新盐水浓度；（2）加盐则水不变，新盐水=水的质量÷水占新盐水的百分比。 2.十字交叉法浓度低的溶液+浓度高的溶液，混合形成新的溶液，新溶液浓度在两种溶液浓度中间。 3.方程法预热题： 1.一杯盐水的浓度是30%，含盐60克，这杯盐水有多少克？含水多少克？ 2.一种盐水含盐20%，这样的盐水150克中，盐有多少克？水有多少克？ 3.往100克水中加入20糖，这种糖水的浓度是多少？ 4.有浓度为20%的糖水30克，如何可以得到40%的糖水？例题精讲例1有8%的食盐水600克，要蒸发多少克水，才能得到15%的食盐水？演练1现在有浓度为20%的糖水300克，要把它变成浓度为40%的糖水，需要加多少克糖？

例2有甲、乙两种酒精溶液，甲种溶液的浓度为95%，乙种溶液的浓度为80%，要想得到浓度为85%的酒精溶液270克，应从甲、乙两种酒精溶液中各取多少克？演练2配制浓度为25%的糖水1000克，需用浓度为22%和27%的糖水各多少克？例3一容器内盛有浓度为45%的硫酸，若再加入16千克的水，则浓度变为25%，这个容器内原来含有纯硫酸多少千克？演练3一容器内有浓度15%的盐水，若再加入20千克的水，则盐水的浓度变为10%，问这个容器内原来含水多少千克？例4两个杯中分别装有浓度为40%与20%的食盐水，倒在一起后混合盐水浓度为25%，若再加入200克35%的食盐水，则浓度变为30%，那么原有40%的食盐水有多少克？演练4一容器内装有50升纯酒精，倒出5升后，用水加满，再倒出5升，再用水加满；然后再倒出5升，用水加满，这时容器内的酒精浓度为多少？例5已知甲种酒精含纯酒精40%，乙种酒含酒精36%，丙种酒含酒精35%，现在将这三种酒混合在一起得到含纯酒精38.5%的酒11千克，乙种酒比丙种酒多3千克，问：甲种酒有多少千克？演练5大容器内装有浓度为50%的酒精溶液400克。现在往里面分别倒入A、B两种溶液，将其配成浓度为25%的酒精溶液1000克。已知A、B两种溶液浓度之比是2:1，用量之比也是2:1，求A溶液的浓度。 2012大联盟附加题：一个容器正好装满10升纯酒精，倒出3升后用水加满，再倒出4.5升后，再用水加满，这时容器中溶液的浓度是多少？（6分） 2011大联盟附加题：20分实验室里有盐和水：（1）请你配只含盐率5%的盐水500克，你需要取盐和水各多少千克进行配制？