大学高等数学第五章 定积分及其应用答案
第五章 定积分及其应用
习 题 5-1
1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）
?
-x x d 1
1, （2）?--x x R R R d 22, （3）?x x d cos 02π, （4）?-x x d 1
1
.
解：若[]?
≥∈x x f x f b a x a
b d )(,0)(,,则
时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线
b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，?≤x x f x f a
b d )(,0)(则在几何
上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=?-A A x x .
（2）由上图（2）所示，2
πd 2
22
2
R A x x R R R
==-?
-.
（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π
20=--++=+-+=?A A A A
A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112
1
22d 61
1=???
==?-A x x . 2. 设物体以速度
12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.
( 2 )
( 1 )
( 3 )
(4)
解：=
s ?
+t t d )12(0
5
3. 用定积分的定义计算定积分
?b
a
x c d ,其中c 为一定常数.
解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -
)2,1(n i =，小区间长度记为x ?i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-
上任取一点i ξ作乘积i i x f ??)(ξ的和式：
∑∑==--=-?=??n i n
i i i
i
i
a b c x x
c x f 1
1
1)()()(ξ,
记}{max 1i n i x ?=≤≤λ, 则
)()(lim )(lim d 0
a b c a b c x f x c n
i i i b a
-=-=??=∑?
=
→→λλξ.
4. 利用定积分定义计算
1
20
d x x ?
.
解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i n
i
x ξ;1,,2,1,-==
取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===?=?=?n
i i i n
i i i n
i i i x x x x f 12
121)(ξξ=∑∑===n
i n
i i
n n n i 1
2
3
2
1
11)(
=
311(1)(21)6n n n n ?++ =)1
2)(11(61n
n ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 12
0d x x ?=3
1．
5. 利用定积分的估值公式，估计定积分
?
-+-11
34)524(x x x d 的值.
解：先求524)(3
4
+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由
0616)(2
3=-='x x x f , 得0=x 或8
3=
x . 比较 35093(1)11,(0)5,
(),(1)781024
f f f f -====的大小，知
min max 5093
,111024
f f =
=，
由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11
34min --?≤+-≤--??
-f x x x f ,
即
14315093
(425)d 22512
x x x -≤-+≤?. 6. 利用定积分的性质说明
?
1
d x
e x
与?1
d 2
x e x ，哪个积分值较大？
解：在[]0,1区间内：2
2
x
x x x e e ≥?≥ 由性质定理知道：
?
1
d x
e x
≥?1
d 2
x e x
7. 证明：?
-
--
<<21
2
12
12d 22
x e e
x 。
证明：考虑?
?
???
?-
21,
2
1上的函数2x e y -=，则2
2x xe y --='，令0='y 得0=x 当??? ?
?-
∈0,21
x 时，0>'y ，当??? ?
?∈21,0x 时，0<'y ∴2
x e
y -=在0=x 处取最大值1=y ，且2
x e
y -=在2
1±
=x 处取最小值2
1-
e
.
故
?
?
?
----
-
<<212
1212
121
2
12
1d 1d d 2
x x e x e x ，即?
-
--
<<21
2
12
12d 22
x e e
x 。
8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.
解：平均值?-=??=---=1122
4
π21π21d 1)1(11x x μ
9. 设)(x f 在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(∈a 有?
?≥a
x x f a x x f 0
1
d )(d )(.
证明：
?
?-a
x x f a x x f 0
10
d )(d )(=--??a a
x x f a x x f 0
d )(d )(?1d )(a
x x f a
??
--=1
d )(d )()
1(a
a
x x f a x x f a =)()1()()1(βαaf a af a ---
)]()([)1(βαf f a a --=，其中 1,0≤≤≤≤βαa a
又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥，故原式得证.
习 题 5.2
1. 计算下列定积分 （1）
?
-4
d 2x x ; （2）?-12
2d ||x x x ; （3）?π20
d |sin |x x ; (4) x x x d }1,max{1
?-.
解：（1）
x x x x x x d )2(d )2(d 24
22
04
???
-+-=-4)221
()212(4
2
2202=-+-=x x x x
（2）
?
-12
2d ||x x x =?--02
3d )(x x +?1
3d x x =1
40
2
44
4
x x
+
-
-=4+
4
1741=.
（3）
?
π20
d |sin |x x =
?
π0
d sin x x +
?
-π
2π
d )sin (x x =π2π
π
0cos )cos (x
x +-=2+2=4.
(4)
x x x d }1,max{10
?
-=11
210
2
3(1)d d 4
x x x x -+=??.
2. 计算下列各题： （1）
?
10
100d x x ， （2）?
4
1
d x x ， （3）?1
d e x x , （4）x x
d 10010?,
（5）x x d sin 2π
0?, （6）x x x
d e 2
10?, （7）x x d )π2sin(2π0
+?,
（8）
x x x d )1(1
+?
,（9）x x
x d 2ln e 1
?
, （10）?+102100d x x , （11）?4π
02d cos tan x x x 解：（1）?1
0100
d x x =10111011
0101=x . （2）?41d x x =3
14
3
24
1
2
3=
x . （3）1e e d e 1010-==?x x x . （4）x x
d 10010?=100
ln 99100ln 1001
0=x .
（5）1cos d sin 2π0
2π0
=-=?x
x x . （6）2
1
e 2
e
)(d e 21d e 1
21010
2
2
2
-=
=?=?x x x x x x . （7）x x d )π2sin(2π0
+?=
)π2(d )π2sin(212π
++?x x =2
π0
)π2cos(21
+-x =1-. (8)
x x x d 2ln e 1
?
=)d(ln ln 21e 1x x ?=41ln 41e
1
2=x . (10) ?+1
02100d x x
=
?+10
2)
10
(1d 1001x x =1
010arctan 101x =101
arctan 101.
（10）
?
4π0
2d cos tan x x x =?4π0
)tan d(tan x x =4
π0
22
)
(tan x =
2
1. 3. 求下列极限
（1） x t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+?→. （2）(
)2
arctan d lim
x
x t t
解：（1）此极限是“0
”型未定型，由洛必达法则，得
x
t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+?
→=)πcos 1()d πsin (lim
1
1
'
+'
?→x t t x
x =π
1
)π1(lim πsin ππsin lim
11-=-=-→→x x x x
（2）(
)
()
()2
2
12
2arctan d arctan lim
lim
1122
x
x t t
x x x ∞
→+∞
-+
型)
2
arctan lim
x x x
→+∞
=
lim
x →+∞
=)22lim arctan 4x x π==
4. 设?
-=
x
t t y 0
d )1(，求y 的极小值
解： 当10y x '=-=，得驻点1x =，''10.1y x =>=为极小值点，
极小值?=-=10
2
1
-dx )1()1(x y 5. 设()???
??>≤+=1,2
11
,12x x x x x f ，求()?20d x x f 。
解：
()()?
??++=21
210
20
d 21d 1d x x x x x x f 3
861212
13102=+???
??+=x x x 6. 设()?????≤≤=其它,
00,sin 21
π
x x x f ，求()()?=x t t f x 0
d ?。
解：当0 ()()0d 0d 0 0===??x x t t t f x ? 当π≤≤x 0时，()2 cos 1d sin 210x t t x x -== ?? 当π>x 时，()()()()1d 0d sin 2 1 d d d 0 0=+=+==?? ?? ?x x x t t t t t f t t f t t f x πππ π?， 故()()0, 011cos ,02 1, x x x x x ?ππ =-≤≤??>?? 7. 设()x f 是连续函数，且()()?+=1 d 2t t f x x f ，求()x f 。 解：令()A t t f =? 10 d ，则()A x x f 2+=，从而()()A x A x x x f 22 1 d 2d 1 01 0+= +=?? 即A A 221+= ，2 1 -=A ，∴()1-=x x f 8．() 22 21lim n n n n n +++ ∞→ 。 解：原式1lim n n →∞=?+ 112lim 3n n i x n →∞==?=? 9．求由 0d cos d 0 =+?? x y t t t t e 所决定的隐函数y 对x 的导数 x y d d 。 解：将两边对x 求导得y e x y d d 0cos =+x ， ∴x y d d y e x cos -= 习 题 5.3 1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （1） x x x d cos cos 2π 2 π3 ?--=x x x d sin )(cos 2π2 π2 1?-=)cos d()(cos 2π2 π2 1x x ?-- =0cos 3 2 2π2 π23 =--x . （2） ? ? ---=-1 1 1 12 2 )sin d()(sin 1d 1t t x x =?-?1 1 d cos cos t t t =?-1 1 2 d )(cos t t =2?1 2d )(cos t t =2 2sin 2 11)2sin 21(d 22cos 11 01 0+=+=+?t t t t . 答：（1）不正确，应该为： x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 2 12π 2 π2π0 3??-=- =3 43 cos 4)cos )(cos 2 2 2 320 2 1= - =-? ππ d(x x x （2）不正确，应该为： ? ? ?---=-=-1 1 2π2π2π2 π22 2 d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x =2 =+=+=?? 2 π0 2π0 2π0 2)2sin 21 (d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π. 2. 计算下列定积分: (1) x x d 1640 2 ? -, (2)?+1 2d 41x x . （3）?203cos sin π xdx x ； （4） x x x d ln e 1 2? ； （5）x e x d 12ln 0?-； （6）?--1145d x x x ； （7） ? +4 11 d x x ； （8） x x d sin 20 3 ? π ； （9）? +2 1 ln 1d e x x x ； (10) ?-++0 2222d x x x ； (11) x x d 2cos 10 ?+π ；（12）?-102 2d 1x x x 。 解：（1）令x =t sin 4,则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0；当x = 4 时， 2 π = t ，于是 x x d 1640 2 ? -=π4) 2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π0 2π0 20 =+=+=???t t t t t t t π （2）?+1 02 d 41x x =?+1 2 )2d()2 (1121x x =21 arctan 212arctan 211 0=x . (3) ? 20 3cos sin π xdx x 41 cos 41dcos cos 20 4203=-=-=?π π x x x (4) )d(ln ln d ln e 12e 1 2x x x x x ?? = 31 ])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e 1 3=-==x (5)令t e x =-1，() 1ln 2 +=t x ，t t t x d 1 2d 2 += ，0=x 时0=t ；2ln =x 时，1=t . 于是 t t t t t x e x d 1112d 12d 110 21 0222 ln 0 ??? ??? ???+-=+=-[]102arctan 214t t π?? =-=- ??? (6) 令u x =-45，则4 452 u x -=，u u x d d 2-=.当1-=x 时，3=u ，当1=x 时， 1=u . 原式() 6 1d 5811 32 =-= ?u u . (7) 令t x =，t t x d 2d =.当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t . 原式????? ?+-=+= ??? 212 121 1d d 21d 2t t t t t t ()[] 32ln 221ln 22121+=+-=t t (8) 因为 x x d sin 2 3 ? π =x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20 220 20 2 ???-=-πππ 1cos d sin 20 2 =-=? π π x x x 31cos 31dcos cos d sin cos 20320 2 20 2 =??????-=-=?? π π πx x x x x x 从而 x x d sin 2 3? π = 3 2. (9) 原式()? ? ++=+= 221 1 ln 1d ln 11ln d ln 11e e x x x x 232ln 1221 -=+=e x (10) 原式() ()? --+=++= 02 22 111d x arctg x x ()2 4 4 11π π π = + = --=arctg arctg (11) 原式?? == π π 2 d cos 2d cos 2x x x x ()??-+=ππ π 2 20 d cos 2d cos 2x x x x 22sin sin 2220=????? ?-=πππ x x （12）设2 0(,sin π ≤ ≤=t t x ，t t x d cos d =，于是 ?-1 2 2 d 1x x x =t t t t t d 2sin 41 d cos sin 20 22 202 ??=π π 16 )4sin 41(81d 2cos4t 141202020ππ ππ =-=-=?t t t 3. 计算下列定积分： （1） x x x d e )15(405?+； （2）x x d )1ln(1 e 0 ? -+； （3）x x x d πcos e 1 π?； （4） x x x x x d ) e 3(10 33 ? ++； (5)?3 4 2d sin π πx x x ； (6)?41d ln x x x ； (7)10 arctan d x x x ?； (8) ? 2 2 d e x x x ； （9）?e e 1d ln x x ； （10）?π 20 d sin x x x 。 解：（1）x x x d e )15(4 05?+=5e d )15(54 0x x ?+=4 55400 e e (51)d(51)55x x x x +-+? =4 205200 21e 1e 4e 55x -- =. (2) x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 0 1e 01e 0 ? ? ---+-+=+ =x x d )1 1 1(1e 1e 0?-+--- =1e 0 )]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1 (3) x x x d πcos e 10 π? =ππsin d e 1 0πx x ?x x x x πde π πsin πsin e π11010π?-= x x x d πsin e 01 0π?-==)ππcos d(e 1 0πx x - -?x x x x πde π πcos πcos e π1101 0π?-= -+-=)1e (π 1π x x x d πcos e 10π? 移项合并得x x x d πcos e 10π?)1e (π 21π +- =. （4）x x x x x d ) e 3(1 033 ?++)e 3 13ln 34( d 31 04x x x x ++=? ?++-++=10341 34d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x x x x x 4514 e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 34132 1 3253++-=++-++=x x x （5）?34 2d sin π πx x x 34d cot x x ππ=-?3344cot cot d x x x x πππ π=-+?34sin ln 9341πππx +???? ??-= 22ln 23ln 9341-+???? ??-=π23ln 219341+??? ? ??-=π （6） ? 4 1 d ln x x x ?=41d ln 2x x ??????-=?4 141ln d ln 2x x x x ????? ? -=?41d 12ln 42x x x ?--=4 1 2 1 d 22ln 8x x 42ln 8-= （7）1 0arctan d x x x ?12 01arctan d 2x x =?21122001arctan d 21x x x x x ??=-??+?? ? ??++-=102101d 21d 218x x x π 11 00 11 arctan 822x x π=-+214-=π （8） 44e 4e 4e 4e 4d e 2e 2d e 20 22 02 20 22 2 =+-=-=-=??x x x x x x x x （9） ??? +-=e 1 1 e 1e e 1d ln d ln d ln x x x x x x 而 ??-=1e 11 e 11 e 1d ln d ln x x x x x x x 1e 2e 11e 1-=+-= 11e e d ln d ln e 1 e 1e 1=+-=-=?? x x x x x , 故 e 221e 21d ln d ln d ln e 1 1e 1e e 1 -=+- =+-=???x x x x x x . （10） 1sin d cos cos d sin 20 20 20 20 ==+-=ππππ?? x x x x x x x x 4. 利用函数的奇偶性计算下列积分： （1） x x x d )1(11 2 2? --+; (2) x x d cos 422 4?-π π； (3)?-++5 52423d 12sin x x x x x ; （4）?-+-a a x x x x d )2sin 5cos (. 解：(1) x x x d )1(11 22? --+=202d 12d 111 21 1 =+=-+??--x x x x (2) 原式()? ? ==2 2 2 2 4 d cos 22d cos 42 π πx x x x () ()?? ++=+=20 220 2 d 2cos 2cos 212d 2cos 12π π x x x x x ()? ?+++=2 20 20 d 4cos 1d 2cos 22πππ x x x x x ?+ + +=20204d 4cos 412 2sin 2π π π πx x x πππ 23 4sin 412320 =+=x (3) ∵12sin 2423++x x x x 为奇函数，∴0d 1 2sin 552423=++?-x x x x x （4） 利用定积分的线性性质可得原式??? ---+-= a a a a a a x x x x x x d 2d sin 5d cos ，而前两个积 分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0， 原式?? --=== a a a a a x l x 4d 2d 2 5. 如果0>b ，且 ?=b x x 1 ,1d ln 求b 解： ?? ?-=b b x x x x x dx b 11 d 1 ln ln 11ln )1(ln +-=--=b b b b b b 由已知条件得 11ln =+-b b b 0ln =-b b b ，即b b b =ln 0≠b ，∴1ln =b ， 即得e b =。 6.若)(x f 在区间]1,0[上连续,证明 (1) ? 20 d )(sin πx x f =?20 d )(cos π x x f (2) ? π d )(sin x x xf = ? π π d )(sin 2 x x f ,由此计算 ? +π 2 d cos 1sin x x x x 证明：（1）设t x t x d d ,2 -=-= 则π .且当0=x 时，2 π = t ；当.0,2 == t x 时π 故 ? 2 d )(sin π x x f t t f ??? ? ?????? ??--=0 2 d 2sin π π()?-=02d cos πt t f ?=20d )(cos π x x f （2）设t x -=π， ? π d )(sin x x xf ?---=0 )(d )[sin()(π ππt t f t ? -= π π0 d )(sin t t f ?π d )(sin t t tf ∴ ? π d )(sin x t xf = ?π π d )(sin 2t t f 利用此公式可得 20 sin d 1cos x x x x π +? =20sin d 21cos x x x ππ+?=201 dcos 21cos x x ππ-+? =[]0arctan(cos )2x π π - =4 2 π. 7. 设()x f 在[]a 2,0上连续，证明 ()()()[]?? -+=a a x x a f x f x x f 0 20 d 2d 。 证明 ()()()???+=a a a a x x f x x f x x f 2020d d d .令u a x -=2，u x d d -=，则 ()()()??? -=-=a a a a x x a f u u a f x x f 0 2d 2d 2d 故 ()()()[]?? -+=a a x x a f x f x x f 0 20d 2d . 8. 设()x f 是以π为周期的连续函数，证明： ()()()()??+=+π ππ020d 2d sin x x f x x x f x x 。 证明 ()()x x f x x d sin 20 ? +π ()()()()??+++= π ππ20 d sin d sin x x f x x x x f x x . 令u x +=π，则 ()()()[]()??++++=+π π ππππ02d sin d sin u u f u u x x f x x ()()?-+=π π0 sin du u f u u (∵()x f 以π为周期) 故 ()()()()??+=+π π π020d 2d sin x x f x x x f x x 9. 设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([d )(a f a f a b f b f b x x f x b a -'--'=''? 证明 利用分部积分法， ?? ?'-'='=''b a b a b a b a x x f x f x x f x x x f x d )()]([)(d d )(=b a x f a f a b f b )()()(-'-' )]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'= 习 题 5.4 1. 下列解法是否正确？为什么？ 2ln 1ln 2ln ||ln d 1 2 12 1=-==--?x x x . 答：不正确.因为 x 1 在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ， ?-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上， ?-21d 1x x ?-=01d 1x x +=?20d 1x x ?--→+1110 d 1lim εεx x +?+→2022d 1 lim εεx x []1110)ln(lim ε ε--→-=+x +[]2 022ln lim εεx +→10ln lim 1εε+→=+-2ln 20 2lim εε+→不存在, 故 ?-2 1d 1 x x 发散. 2. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值. （1） ? ∞+0 2d 1x x ； （2）x x d e 1100?∞+- ； （3）20e d x x x +∞-?； （4） x x d )1(1 1 3 ? ∞ ++ （5）?∞++02100d x x ； （6）?∞+0d ln 1x x x ； 解：（1） ? ∞+0 2d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞ +x x x x x 1 lim 1lim )1(00,∴ ? ∞+0 2 d 1 x x 发散. （2） x x d e 1 100? ∞ +-=100 1001 100e 100 1)100e (0100 e --+∞ -=--=- x （3）2220 1 1e d ( e e d )2 4 x x x x x x x +∞ +∞+∞---=--= ? ? （4） 81])1(21[d )1(11 2 1 3 -=+-=++∞ -∞ +? x x x （5） ? ∞++0 2100d x x =20 π10arctan 1010= +∞ x . （6）+∞===∞ +∞+∞+?? e x x x x x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e ，发散 3.下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值. （1） x x d )4(60 3 2? - - （2） () ? -1 d 1arcsin x x x x （3）? -10 2 d 1arcsin x x x 解：（1） x x d )4(60 3 2?-- =x x d )4(6 4 3 2?--+x x d )4(4 3 2?-- =)42(3430023) 4(3) 4(3333340 316 4 31+=--+-?=-+-x x (2) 令t x =arcsin ，x x x dt 2d 11 ? -= 于是 2 2220 2d 4 x t t t πππ=== ? ? (3) x x x d 1arcsin 1 2 ? -??-+→-+→=-=ε εε ε10 102 )(arcsin d arcsin lim d 1arcsin lim x x x x x 0120)(arcsin 21lim εε-+→=x 8 )]1[arcsin(21lim 22 0πεε=-=+→。 4.证明广义积分 ? -b a q a x x ) (d 当1 时=q []+∞=-=-? b a b a a x a x x )ln(d ，发散； 当, 1时≠q ? -b a q a x x )(d =?? ? ??>∞+<--=???? ??----1,1,1)(1)(11q q q a b q a x q b a q 。 5.已知?∞+-+∞→=?? ? ??+-a x x x x e x a x a x d 4lim 22，求常数a 解：左端a x x e a x a 221lim -+∞ →=?? ? ??+-= 右端()()? ?∞ +-∞ +--=--= a x a x de x x d e x 2222222?? ? ??--=? ∞+-∞+-a x a x dx xe e x 22222 ? ∞ +---=a x a xde e a 22222?? ? ? ?--=? ∞+-∞+--a x a x a dx e xe e a 2222 22 () a e a a 22122-++= ∴() a a e e a a 222122--=++ ， 解之0=a 或1-=a 。 习 题 5.5 1、求由下列曲线围成的平面图形的面积： （1）x y 1 = 及直线0,2,===y x x y ； 解：如图，解方程组?????== x y x y 1，得交点)1,1(，所求面积为 2ln 2 3]ln 2[d )1(2 122 1 -=-=-=? x x x x x A . （2）2 2 x y =与822=+y x （两部分均应计算）； 解：如图，解方程组?????=+= 8 2222y x x y ，得交点)2,2(-、)2,2(， 所求上半部分面积为 3 4 π2d )28(222 022 1+=--==?x x x A A 上. 所求下半部分面积为 3 4 π6)34π2(π8-=+-=-=上圆下A S A （3）x x e y e y -==,与直线1=x ； 解：如图，解方程组???==-x x e y e y ，得交点)1,0(，所求面积为 2][d )(1 101 -+=+=-=---?e e e e x e e A x x x x . （4）y x y ,ln =轴与直线)0(ln ,ln >>==a b b y a y . 解：选为y 积分变量，如图，所求面积为 a b e y e A b a y b a y -===?ln ln ln ln ][d 2.求二曲线θsin =r 与θcos 3=r 所围公共部分的面积 解： 当θ等于0和3 π 时，两曲线相交，所围公共部分的 面积为 4 324π5d θθcos 321d θθsin 212π 3 π2 3π0 2-=+ = ?? A . 3、求由0,2,3===y x x y 所围成的图形，绕x 轴及y 轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积. 解：如图，绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为 π7 128]π71[d πd π2 072 062 02 ====??x x x x y V x 绕y 轴旋转所得的旋转体的体积为. y y y x V y d ππ32d π8π22 3 28 2 2 ??-=-??= π5 64 ]π53[π3280 35 =-=x 4、有一立体，以长半轴10=a 、短半轴5=b 的椭圆为底， 而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积. 解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为 15 1022 2 2=+y x 垂直于x 轴的截面为等边三角形，对应于x 的 截面的面积为 )10(4 3 )(22x x A -= 于是所求立体体积为 310103210 10 2 2103 3]310[43d )10(43?=-=-=--? x x x x V 5、计算曲线x y ln =相对应于3=x 到8=x 的一段曲线弧长. o x a b y x 解：由弧长的公式得: 23 ln 211d 1d 11d 1832 83 283 2 +=+=+='+=?? ? x x x x x x y s . 6、计算1=ρθ相应于自43=θ到3 4 =θ的一段弧长. 解：由弧长的极坐标公式得: θθθθθ θθθρθρd 11 d )1 ()1 (d )()(34 4 322 34 4 32 2 2 344 32 2?? ? +=- +='+=s 2 3ln 125+= . 7、求星形线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长. 解：由弧长的参数方程公式得 : 446s t a θ===. 8、设把一金属杆的长度由a 拉长到x a +时，所需的力等于a kx ，其中k 为常数，试求将该金属杆由长度a 拉长到b 所作的功. 解：由于金属杆拉长所需的力f 与拉长的长度成正比x ，且a kx f = ，其中k 为常数。选择金属杆拉长的长度x 为积分变量，其取值范围为[]a b -,0，对于任意[]a b x -∈,0，在拉长的长度区间[]x x x d ,+上，功元素为x a kx x f W d d d = =，于是 a a b k x a k x x a k x a kx W a b a b a b 2)(2d d 2 200 -=??????===---?? 。 9.一个底半径为m R ，高为m H 的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为2 3 3 m/s 10,kg/m 10取g ）？ 解：建立如图坐标系. 取x 为积分变量, ],0[H x ∈, 任取子区间],0[]d ,[H x x x ?+， 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 x g x R W ??=水ρd πd 2 , 于是，把桶内的水全部吸出，需做功 )J (π5000π2 1 2 πd π22220 2 20 2H R H R g x R g x x R g W H H == ==? 水水水ρρρ. 10、一矩形闸门垂直立于水中，宽为m 10，高为m 6，问闸门上边界在水面下多少米时？ 它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍. 解：设所求高度为 h ，建立如图坐标系，任取小区间]d ,[x x x +， 小区间上压力元素为 x gx F d 6d ρ= 于是，由题意得： 6 6 026d 6d h h gx x gx x ρρ+=??? 6 2602]2 []2[2+=h h x x 从而3=h 。 习题5.6 200 100 200 100 ()d 8d 16008002400T f x x x x ==+=+=? ? ? （小时） 本章复习题A 1、求下列极限： （1）)21(lim 22222 n n n n n n n n ++++++∞→ ； （2）∑=∞→+n k n k n k n ne n e 1 2lim （3）x t t x x ? +→0 20 d 1lim ； （4）2 cos 1 d lim 2 x t e x t x ? → 1、解：（1）)21( lim 2 2222n n n n n n n n ++++++∞ → ))(11)2(11)1(11(1lim 222n n n n n n ++++++∞→= 401arctan d 11 ) (111lim 1021 2π==+=+∞→=?∑=x x x n k n n n k 。 （2）原式∑ =∞ →+=n k n k n k n n e e 1 211lim 11 200d arctan arctan 14x x x e x e e e π===- +?。 （3）x t t x x ?+→0 20 d 1lim 111lim 0 2 =+→=x x 。 （4）2 cos 12lim 0x x dt t e x ?→e x x x e x x x e x x 21sin 2cos lim 212)sin (2cos lim 00-=?-=-=→→。 2、求t t x G x d sin )(3 11 3? += 的导函数)(x G '。 解：332333)1sin(3)1()1sin()(x x x x x G +='++='。 3、求证下列各式： （1）2d 123 12 ≤+≤-?-x x x ； （2）??+=+x x t t t t 1 1212 1d 1d 。 证明：（1）设1 )(2 += x x x f ，先)(x f 求在]3,1[-上的最大、最小值。 ,) 1() 1)(1()1(21)(2 22222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ， 由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知 ,21)(21≤≤- x f 在]3,1[-上积分得2d 21d )(d )2 1 (2313131=≤≤-=-???---x x x f x 。 （2）????+=+-=+-=+---x x x x t t y y y y y y t t t 1 121121122 11 2 1d 1d d 11d 。 4、求下列积分： （1）?-+2 2d 1 x e e x x ； 解：?-+2 2d 1x e e x x )1ln()1ln(2 2)1ln(1)1(d 2222+-+=-+=++=--?e e e e e x x x 。 （2） x x x x d 3) 2)(1(2?-+； 解： x x x x d 3) 2)(1(21 2? -+)2ln 2611(31d )22(31212-=--+=?x x x x 。 （3） 20 1d x x -?； 解：2 1 2 1 1d (1)d (1)d x x x x x x -=-+-??? 12 2201 11 ()()122x x x x =-+-=。 （4）x x d )1ln(1 e 0? -+； 解：u u u u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0 ??? -==+-=11e e e e 1 =+-=-u 。 （5 ）0 π ?。 解：20 2 cos cos xdx xdx π π π π π===? ? ? 5．求连续函数()f x ，使它满足1 ()d ()sin ,(0)0f tx t f x x x f =+=?. 解 当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1 d d t u x =，则 1 0()d f tx t = ? ()d x f u u x ? ? 20 ()d ()sin ()d ()sin x x f u u f x x x f u u xf x x x x =+?=+? ?， 两边求导数： 220 ()d ()sin ()()()2sin cos ()2sin cos x f u u xf x x x f x f x xf x x x x x f x x x x ''=+?=+++?=--? 两边积分及(0)0f =得：()cos sin 1f x x x x =-- 6． 若2ln 26x π =?，求.x 解：令u e t =-1，则() 21ln u t +=，u u u dt d 122 += 。当2ln 2=t 时，3=u ；当 x t =时，1-=x e u ∴ 2ln 22arctan x == ? 236 ππ ?=-= ?，从而2ln =x 7．求无穷积分. （1）221d (1) x x x +∞+?； 解：22221111d 111()d arctan 1(1)14 x x x x x x x x π+∞ +∞ +∞+∞=-=--=-++?? （2）2d 45x x x +∞-∞++?. 解 2 2 d d(2)arctan(1)45(2)1 x x x x x x π+∞+∞+∞ -∞-∞-∞+==+=++++?? 8．设()1 ,011,01e x x x f x x ?≥??+=? ? (1)d f x x -?. 解：2 1 1 1 1 (1)d ()d ()d ()d f x x f u u f u u f u u ---==+???? 1011010011011e d(1+)d d d 1e 11e 1d(1+e )d(1+)ln(1e) 1e 1u u u u u u u u u u u u u -------=+=+++++=-+=+++?????? 9．设0x →时，220 ()()()d x F x x t f t t ''=-?的导数与2x 是等价无穷小，其中f 具有二阶连续 导数.试求(0)f ''. 解：依题意有22220 2 2 2 000 (()()d )(()d ()d )() 1lim lim lim x x x x x x x t f t t x f t t t f t t F x x x x →→→''' ''''' --'===??? 220 2 02()d ()() 2()d 2()1 lim lim lim (0)12 x x x x x x f t t x f x x f x f t t f x f x x →→→''''''''+-''''===?=? ? 本章复习题B 一、选择题 1．设()f x [],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上的平均值是（ ）． A ． ()() 2f b f a + B ．()d a b f x x ? C ．1()d 2b a f x x ? D ． 1()d b a f x x b a -? 2．设函数3()()d x a x f t t Φ=?，则()x 'Φ=（ ）． A ．()f x B ．3()f x C ．23()x f x D ．233()x f x 3．设()f x 是连续函数，且为偶函数，则在对称区间[],a a -上的定积分()a a f x dx -=?（ ）． A ．0 B ．02()d a f x x -? C ．0 ()d a f x x -? D ．0 ()d a f x x ? 4．利用定积分的有关性质可以得出定积分1 1121 1(arctan )(cos )d x x x -??+=? ??（ ）． A ．1 11210 2(arctan )(cos )d x x x ??+??? B ．0 C ．1 210 2cos d x x ? D ．2 5．已知函数2 d (1)x t y t =+?，则(1)y ''=（ ）． A ．12 - B ．14- C ．14 D ．12 6．设011 ()d ()22x f t t f x =-?，且(0)1f =，则()f x =（ ）． A ．2e x B ．1e 2 x C ．2e x D ．21 e 2x 7．设()f x 在[],a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则0()() lim x F x x F x x ?→+?-=? （ ） ． A ．()F x B ．()f x C ．0 D ．()f x ' 8． 若()y f x =与()y g x =是两条光滑曲线（其中[,]x a b ∈），则由这两条曲线及直线 x a =，x b =所围的平面区域的面积为（ ） ． A ．(()())d b a f x g x x -? B ．(()())d b a g x f x x -? C ．()()d b a f x g x x -? D ． (()())d b a f x g x x -? 一、选择题答案 1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C 二、填空题 1．1 lim d n n x x →+∞=? . 2．3 523 (sin 3)d x x x -+=? . 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+ 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 大一高数试题及解答 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 大学高数试卷及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是： ( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限（每小题 6分, 共18分） 一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 . 第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d （3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间， 浙江农林大学2016 - 2017 学年第 一学期期中考试 课程名称： 高等数学I 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事 项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间120分钟。 题 答 :号学 要 不 :名姓 内 线 ? ?级班 业 专 :院学 题号 -一一 二二二 -三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人 、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3分, 共21分) 1 ?下列各式正确的是: 得分 A. sin x lim 1 B. x x C. lim 1 - x e D. x x 2.当 x 0时，与 f ■- x 等价的无穷小量 是: A. \/1 V x 1 B. In --------------------- x C. 1 J x 3.设 f (x)在 x a 的某邻域有定义, A.J imhfQ ) f(a)存在 叫 H h sin x lim x 0 lim 1 D. cos 、二 则它在该点处可导的一个充分条件是: B. m o H h 叫 H h 在 x 2 3x 10 2 3. 设函数f (x)= x 2 x 在点x=2处连续，则a a x 2 4. 函数f(x)—的间断点为 ___________________ . ________ sin x 5. 函数y 2x 2 lnx 的单调减区间为 _________________ . _________ 6. 设函数 y ln tan x ，贝卩 dy _____________ . _________ x a cost 7. 椭圆曲线 _________________________________ 在t —相应的点处的切线方程为 .______________________________________ y bsi nt 4 A. 0 B ? 没有 C. 2 D. 2 9 5.函数y 1 x 2 在区间［ 1,1］上应用罗尔定理 时， 所得到的中值 () A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 6.设函数 ax e f(X ) “ 2 b(1 x x 0 处处可导，那么 )x 0 : ( ) 4.函数y 3x 3 x 在区间［0,1］上的最小值是: () A. a b 1 B . a 2,b 1 C. a 0,b 1 D. a 1,b 0 7.设x a 为函数y f (x)的极值点，则下列论述正确的是 A . f '(a) 0 B f(a) 0 C f"(a) 0 D .以上都不对 、填空题(每小题3分，共21 分) 得分 1.极限lim x x 2 cos x 1 = (x sin x)2 2.极限lim n 2 2 2 高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边 梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2 梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 （如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ， 将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区 关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020 （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 授课单元12教案 教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b?????? 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . . 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x大学高等数学上考试题库(附答案)
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