专题01 运动学问题的两大破解支柱——运动示意图和运动图像(解析版)

“强基计划”尖子生的自我修养系列

运动学问题的两大破解支柱——运动示意图和运动图像

运动学问题单独考查的命题概率较小，更多的是与其他知识相结合，作为综合试题的一个知识点加以体现。如果单独作为考查点命制计算题，则往往涉及两个物体的运动关系问题，或者是一个物体的多过程、多情景的实际问题。

对于这类问题，分析物理过程，作好运动示意图或运动图像，弄清运动物体运动过程中各阶段运动量间的联系，是寻找解题途径的关键。

运动示意图

运动示意图就是根据文字叙述而画出的用以形象描述物体运动过程的一种简图(或草图)。同时在图上标明物体运动的速度、加速度等状态量和位移、时间等过程量。

运用运动示意图解题时，要分过程恰当选取运动学规律列方程，同时注意各过程间的位移关系、时间关系及速度关系，列出相应的辅助方程，再将各式联立求解，便可得出结果。 [例1] 一个气球以4 m/s 的速度匀速竖直上升，气球下面系着一个重物，当气球上升到下面的重物离地面217 m 时，系重物的绳子断了，不计空气阻力，问从此时起，重物经过多长时间落到地面？重物着地时的速度多大？(g 取10 m/s 2)

【解析】绳子未断时，重物随着气球以4 m/s 的速度匀速上升，当绳子断后，由于惯性，物体将在离地面217 m 处，以4 m/s 的初速度竖直上抛。运动示意图如图所示：

重物由O →A 做匀减速直线运动， h 1＝v 02

2g ＝0.8 m

t 1＝v 0

g

＝0.4 s

重物由A →B 做自由落体运动， h 1＋h ＝1

2gt 22

可解得：t 2＝

2(h 1＋h )

g

＝6.6 s ， 故从绳子断到重物落地的总时间

t ＝t 1＋t 2＝7 s

重物落地时的速度v ＝gt 2＝66 m/s 。 【答案】7 s 66 m/s

[例2] (2020·武汉模拟)甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L 1＝11 m 处，乙车速度v 乙＝60 m/s ，甲车速度v 甲＝50 m/s ，此时乙车离终点线尚有L 2＝600 m ，如图所示。若甲车加速运动，加速度a ＝2 m/s 2，乙车速度不变，不计车长。求：

(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少。 (2)到达终点时甲车能否超过乙车。

【解析】(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即 v 甲＋at 1＝v 乙，

得t 1＝v 乙－v 甲a ＝60－502 s ＝5 s ；

甲车位移x 甲＝v 甲t 1＋1

2at 12＝275 m ，

乙车位移x 乙＝v 乙t 1＝60×5 m ＝300 m ， 此过程中，甲、乙两车运动示意图如图所示：

故此时两车之间的距离

Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m。

(2)乙车匀速运动到达终点共需时间

t2＝L2

v乙

＝10 s，

此过程中甲车的位移

x甲′＝v甲t2＋1

2at2

2＝600 m，

运动示意图如图所示：

此时甲、乙两车之间的距离

Δx′＝L1＋L2－x甲′＝11 m，

故乙车到达终点时，甲车没有超过乙车。【答案】(1)5 s36 m(2)不能

[应用领悟]

由以上两例可以看出，对于较复杂的物体运动过程，画出运动过程示意图，综合分析物理过程，寻找物体运动位移关系等带来极大方便。在平时的练习中应尽量养成画运动示意图的好习惯。

运动图像

图像作为表示物理规律的方法之一，可以直观地反映某一物理量随另一物理量变化的函数关系，以形象地描述物理规律。

在运动学中，作为分析物理问题的一种途径，常用的运动图像为v -t 图像。v -t 图像的物理意义主要通过“点”“线”“面”“斜”“截”五个方面体现出来，应用图像时应从这五个方面入手，予以明确后才能准确表达物理过程及物理量变化的对应关系。

[例3] 甲、乙两辆汽车，在同一条平直的公路上同向行驶，汽车甲在前，速度v 甲＝10 m/s ，汽车乙在后，速度v 乙＝30 m/s 。由于天气原因，当两汽车的距离为x 0＝75 m 时，乙车的司机发现前方的汽车甲，立即以最大的加速度刹车，但汽车乙需行驶180 m 才能停下。 (1)通过计算判断如果甲车仍以原来的速度行驶，两车是否会发生碰撞？

(2)通过(1)问中的计算，如果两车会相碰，则乙车刹车的同时马上闪大灯提示甲车，甲车的司机经过Δt ＝4 s 的时间才加速前进。则为了避免两车相碰，甲车加速时的加速度至少为多大？

【解析】(1)乙车刹车至停下来的过程中，有 0－v 乙

2＝2a

乙x ，解得a 乙＝－v 乙2

2x

＝－2.5 m/s 2

画出甲、乙两辆汽车的v -t 图像如图所示，根据图像计算出两辆汽车速度相等时的位移分别为

x 甲＝10×8 m ＝80 m ， x 乙＝30＋102×8 m ＝160 m

因x 乙>x 0＋x 甲＝155 m ， 故两车会相撞。

(2)设甲车的加速度为a 甲时两车恰好不相撞，则两车速度相等时，有v 乙＋a 乙t ＝v 甲＋a 甲(t －Δt )

此时乙车的位移x 乙＝v 乙t ＋1

2a 乙t 2

甲车的位移x 甲＝v 甲t ＋1

2a 甲(t －Δt )2

为使两车不相撞，两车的位移关系应满足 x 乙≤x 0＋x 甲 联立以上各式解得 a 甲≥0.83 m/s 2

即甲车的加速度至少为0.83 m/s 2。 【答案】(1)会相撞 (2)0.83 m/s 2

[例4] 一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB ，右侧面是曲面AC ，如图所示。已知AB 和AC 的长度相同。两个小球p 、q 同时从A 点分别沿AB 和AC 由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间( )

A ．p 小球先到

B ．q 小球先到

C ．两小球同时到

D ．无法确定

【解析】

可以利用v -t 图像(这里的v 是速率，曲线下的面积表示路程s )定性地进行比较。在同一个v -t 图像中做出p 、q 的速率图线，如图所示。开始时q 的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即两图线末端在同一水平图线上。为使路程相同(图线和横轴所围的面积相同)，显然q 用的时间较少。 【答案】B

[提能增分集训]

1．[多选]汽车由静止开始从A 点沿直线ABC 先做匀加速直线运动，第4秒末通过B 点时关闭发动机，再经过6秒到达C 点时停止，BC 间的运动可视为匀减速直线运动，已知AC 的长度为30 m ，则下列说法正确的是( ) A ．通过B 点时，速度是3 m/s B ．通过B 点时，速度是6 m/s C ．AB 的长度为12 m

D ．汽车在AB 段和BC 段的平均速度相同 【解析】选BCD

由题意作出汽车运动的v -t 图像，如图所示，前4秒内汽车做匀加速直线运动，后6秒做匀减速直线运动，10秒末速度减为0，位移为30 m ，即图线与t 轴所围的面积，而三角形的高即为汽车通过B 点时的速度。由此可求得汽车通过B 点时速度为6 m/s ，AB 的长度为12 m ，汽车在AB 段和BC 段的平均速度相同。所以选B 、C 、D 。

2．[多选]物体以速度v 匀速通过直线上的A 、B 两点需要的时间为t 。现在物体从A 点由静止出发，先做加速度大小为a 1的匀加速直线运动到某一最大速度v m 后立即做加速度大小为a 2的匀减速直线运动至B 点恰好停下，历时仍为t ，则物体的( ) A ．最大速度v m 只能为2v ，无论a 1、a 2为何值 B ．最大速度v m 可以为许多值，与a 1、a 2的大小有关

C ．a 1、a 2的值必须是一定的，且a 1、a 2的值与最大速度v m 有关

D ．a 1、a 2必须满足a 1a 2a 1＋a 2＝2v t

【解析】选AD 画出符合题意的v -t 图像如图所示，由题意：匀速运动和先加速再减速运动(OAC )位移相等，时间相等，故vt ＝v m t

2，可得出v m ＝2v ，虚线OBC 表示加速度值不同的

先加速再减速运动，由图可知A 正确，B 、C 错误；由v m ＝a 1t 1＝a 2(t －t 1)，v m ＝2v ，联立解得

a 1a 2a 1＋a 2＝2v

t

，故D 正确。

3．一跳水运动员从离水面10 m 高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45 m 达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在

此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)。从离开跳台到手触水面，求他可用于完成空中动作的时间。(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10 m/s2，结果保留两位有效数字)

【解析】运动员的跳水过程在空中的运动时间，由竖直方向的运动决定，因此忽略运动员的动作，把运动员当成一个质点，同时忽略他的水平方向的运动。把他的运动过程当作质点作竖直上抛运动的物理模型，如图所示，上升高度h，即题中的0.45 m；从最高点下降到手触到水面，下降的高度为H，由图中H、h、10 m三者的关系可知H＝10.45 m。

由于初速度未知，所以应分段处理该运动。

运动员跃起上升的时间为：

t1＝2h

g＝

2×0.45

10s＝0.3 s。

从最高点下落至手触水面，所需的时间为：

t2＝2H

g＝

2×10.45

10s≈1.4 s。

所以运动员可用于完成空中动作的时间约为：

t＝t1＋t2＝1.7 s。

【答案】1.7 s

4.长为L＝5 m的一木杆AB自然下垂悬挂在天花板上，放开后，木杆做自由落体运动。在木杆的下方，有一高为h＝15 m的窗户CD，窗户的上方C距A点高h1＝25 m。求木杆全部通过窗户所经历的时间。

【解析】木杆AB向下运动的过程示意图如图所示。

设B 点到达C 点所用的时间为t 1，A 点到达D 点所用的时间为t 2。则木杆全部通过窗户经历的时间为Δt ＝t 2－t 1。由自由落体运动的规律得： 从B →C ：h BC ＝h 1－L ＝1

2gt 12，

从A →D ：h AD ＝h ＋h 1＝1

2gt 22，

解得Δt ＝(22－2)s 。 【答案】(22－2)s

5．(2020·九江模拟)校车交通安全近年已成为社会关注的热点，国务院发布的《校车安全管理条例》将校车安全问题纳入法制轨道。若校车以v 0＝72 km/h 的速度行驶，司机发现在x ＝33 m 远处行人开始横穿马路，立即采取刹车措施。已知司机的反应时间为t 1＝0.75 s ，刹车的加速度大小为4 m/s 2。

(1)司机从发现情况至汽车走完33 m 距离，经过多长时间？此时车速多大？ (2)如果行人横穿20 m 宽的马路，横穿速度为5 m/s ，行人是否有危险；

(3)《校车安全管理条例》规定：校车运行中，如遇到意外情况，驾驶员按下安全按钮，校车速度会迅速降至7.2 km/h 以下，如果按(2)中条件，此时行人横穿马路是否会发生事故？ 【解析】(1)在0.75 s 的反应时间内，校车行驶x 1＝v 0t 1＝15 m 之后校车匀减速行驶，设所用时间为t 2，加速度大小a ＝4 m/s 2

设校车减速的位移为x 2，运动过程示意图如下：

则x 2＝x －x 1＝33 m －x 1 由x 2＝v 0t 2－1

2at 22

可得t 2＝1 s

此时校车速度v 1＝v 0－at 2＝16 m/s

校车走完33 m 距离，一共用时t ＝t 1＋t 2＝1.75 s 。

(2)校车行驶33 m 正好到达路口时，行人距路边L ＝v 人t ＝8.75 m 行人接近马路中心，车以16 m/s 的速度行至路口，故行人有危险。 (3)校车在0.75 s 的反应时间内前进x 1＝v 0t 1

之后速度迅速降为v 2＝2 m/s 后做匀减速运动，到停下运动了x 3

由x 3＝v 22

2a 可得：x 3＝0.5 m

即校车又经过0.5 m 停下

校车一共前进x ＝x 1＋x 3＝15.5 m 故不会发生事故。

【答案】(1)1.75 s 16 m/s (2)有危险 (3)不会发生事故

6．在水平轨道上两列火车A 和B 相距x 。A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同。两车可视为质点，要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足的条件。 【解析】方法一：利用运动示意图求解

要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度最大只能与B 车相等。

设A 、B 两车从相距x 到A 车追上B 车时，A 车的位移为x A 、末速度为v A 、所用时间为t ； B 车的位移为x B 、末速度为v B ， 运动过程示意图如图所示：

对A 车有x A ＝v 0t ＋1

2×(－2a )×t 2，

v A ＝v 0＋(－2a )×t 。 对B 车有x B ＝1

2at 2，

v B ＝at 。

两车位移关系有x ＝x A －x B ，追上时，两车不相撞的临界条件是v A ＝v B ， 联立以上各式解得v 0＝6ax 。

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0<6ax 。 方法二：利用v -t 图像求解

先作A 、B 两车的v -t 图像，如图所示。

设经过t 时间两车刚好不相撞，则对A 有v A ＝v ＝v 0－2at ， 对B 车有v B ＝v ＝at 。 解得t ＝v 0

3a

。

经t 时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x ，可用图中的阴影面积表示。 由图像可知x ＝12v 0·t ＝12v 0·v 03a ＝v 02

6a ，

解得v 0＝6ax ，

故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0<6ax 。 【答案】v 0<6ax

7．在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处。求：

(1)恒力甲作用过程中物体的加速度a 1与恒力乙作用过程中物体的加速度a 2之比； (2)恒力甲作用过程中物体的末速度v 1与恒力乙作用过程中物体的末速度v 2之比。 【解析】对应题中叙述，设A →B 过程物体做初速度为0的匀加速运动，位移为x 1，由匀变速运动位移公式和速度公式可以建立起方程。B →C →A 过程，物体先向右做匀减速运动，然后向左做匀加速运动。 下面从两个角度求解本题。

方法一：利用运动示意图求解

A →

B 过程，x 1＝1

2a 1t 2，v 1＝a 1t

B →

C 过程，x 2＝v 1t ′－1

2a 2t ′2，

0＝v 1－a 2t ′

C →A 过程，x 1＋x 2＝1

2a 2(t －t ′)2，v 2＝a 2(t －t ′)

由以上方程联立可解得： a 1a 2＝13，v 1v 2＝12

。 方法二：利用v -t 图像求解

画出v -t 图像如图所示，由A →B →C 过程的位移与C →B →A 过程的位移大小相等。

即图中S △OB ′C ′＝S △A ′QC ′得 v 12(t ＋t ′)＝v 2

2

(t －t ′) B →C 与C →A 过程加速度相同， 即图线B ′C ′与图线C ′A ′斜率相同， 可得v 1t ′＝v 2t －t ′

由以上两式可解得 t ′＝13t ，v 1v 2＝12

a 1、a 2的大小分别对应图线OB ′的斜率与图线B ′C ′的斜率，易得： a 1a 2＝t ′t ＝13

。 【答案】(1)13 (2)1

2

8．(2020·郑州质检)高铁列车上有很多制动装置。在每节车厢上装有制动风翼，当风翼完全打开时，可使列车产生a 1＝0.5 m/s 2的平均制动加速度。同时，列车上还有电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等。单独启动电磁制动系统，可使列车产生a 2＝0.7 m/s 2的平均制动加速度。所

有制动系统同时作用，可使列车产生最大为a ＝3 m/s 2的平均制动加速度。在一段直线轨道上，列车正以v 0＝324 km/h 的速度匀速行驶时，列车长接到通知，前方有一列车出现故障，

需要减速停车。列车长先将制动风翼完全打开让高速行驶的列车减速，当车速减小了1

3时，

再通过电磁制动系统同时制动。

(1)若不再开启其他制动系统，从开始制动到停车，高铁列车行驶的距离是多少？

(2)若制动风翼完全打开时，距离前车只有2 km ，那么该列车最迟在距离前车多远处打开剩余的制动装置，才能保证不与前车相撞？ 【解析】(1)由题意可得v 0＝324 km/h ＝90 m/s

打开制动风翼时，列车的加速度为a 1＝0.5 m/s 2，设当车速减小了1

3时，列车的速度为v 1，v 1

＝2

3

v 0＝60 m/s 设此过程中行驶的距离为x 1，

开启电磁制动后，列车的加速度为a ′＝a 1＋a 2 继续行驶的距离为x 2

高铁列车的运动示意图如图所示：

则在此过程中行驶的距离：x 1＝v 02－v 12

2a 1

＝4 500 m

再打开电磁制动后，列车的加速度为a ′＝a 1＋a 2＝1.2 m/s 2 在此过程中行驶的距离：x 2＝v 12

2a ′

＝1 500 m

则高铁列车从开始制动到停车行驶的总距离：x ＝x 1＋x 2＝6 000 m 。

(2)设最迟需要在距离前车Δx 处打开其他制动装置，此时列车速度为v 。由题意知，此时列车减速的加速度为最大制动加速度a ＝3 m/s 2。 设列车打开剩余的制动装置之前运动的距离为x ′， 列车的运动示意图如图所示：

则Δx ＝v 2

2a

x ′＝x 0－Δx ＝v 02－v 2

2a 1

可解得：Δx ＝1 220 m 。 【答案】(1)6 000 m (2)1 220 m

9．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16 m/s 。已知甲车紧急刹车时的加速度大小a 1＝3 m/s 2，乙车紧急刹车时的加速度大小a 2＝4 m/s 2，乙车司机的反应时间为Δt ＝0.5 s(即乙车司机看到甲车刹车后0.5 s 后才开始刹车)，为了保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大的距离？ 【解析】画出v -t 图像如图所示。

若两车速度相等时，两车不相撞，之后两车一定不会相撞。 两车速度相等时，

可得v 0－a 1t 0＝v 0－a 2(t 0－Δt )， 解得t 0＝2 s 。 由x 甲＝v 0t 0－1

2a 1t 02，

解得x 甲＝26 m ；

x 乙＝v 0Δt ＋v 0(t 0－Δt )－1

2

a 2(t 0－Δt )2，

解得x 乙＝27.5 m ， 故x 0＝x 乙－x 甲＝1.5 m 。

即甲、乙两车行驶过程中至少应保持1.5 m 的距离。 【答案】1.5 m

10．摩托车在平直公路上从静止开始启动，加速度大小为a 1＝1.6 m/s 2，稍后做匀速运动，然后以大小为a 2＝6.4 m/s 2的加速度做减速运动，直到停止，共历时130 s ，行程1 600 m 。试求：

(1)摩托车行驶的最大速度v max ；

(2)若摩托车从静止启动，a 1、a 2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？ 【解析】(1)整个运动过程分三个阶段：匀加速运动、匀速运动、匀减速运动。 可借助v -t 图像表示，如图甲所示。 利用推论公式v 2－v 02＝2ax

有：v max 22a 1＋????130－v max a 1－v max a 2v max ＋v max 2

2a 2＝1 600。

其中a 1＝1.6 m/s 2，a 2＝6.4 m/s 2。 解得：v max ＝12.8 m/s(另一解舍去)。

(2)首先要分析得出摩托车以什么样的方式运动可使得所需时间最短。借助图乙所示的v -t 图像可知：当摩托车先以a 1做匀加速运动，当速度达到v max ′时，紧接着以a 2做匀减速运动直到停止时，行程不变，时间最短，如图乙对应图线所示。 设最短时间为t min ， 则t min ＝

v max ′a 1＋v max ′

a 2

① v max ′22a 1＋v max ′22a 2

＝1 600 ②

其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。由②式解得v max′＝64 m/s，

故t min＝64

1.6s＋

64

6.4s＝50 s。

即最短时间为50 s。

【答案】(1)12.8 m/s(2)50 s