天津市河西区19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)

天津市河西区19-20学年高二上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）

1. 三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA ????? =a ? ，CB ????? =b ? ，CC 1??????? =c

? ，则CN ?????? =( )

A. 1

2(a ? +b ? ?c ? ) B. 1

2(a

? +b ? +c ? ) C. a ? +b ? +1

2c ? D. a

? +1

2(b ? +c ? ) 2. 设P 是椭圆

x 25+

y 23

=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )

A. 2√2

B. 2√3

C. 4√2

D. 2√5

3. 抛物线y 2=16x 的准线方程为( )

A. y =4

B. y =?4

C. x =?4

D. x =4

4. 焦点在x 轴上的椭圆

x 2m

+

y 24

=1的焦距等于2，则m =( )

A. 8

B. 6

C. 5

D. 3

5. 在三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，D 是CC 1的中点，F 是A 1B 的中点，且DF ????? =

αAB ????? +βAC ????? ，则( )

A.

B. C. D.

6. 抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2?

y 24

=1的渐近线的距离是( )

A. 1

2

B. √3

2

C. 1

D. 2√55

7. 已知向量AB ????? =(0,2,1)，，则平面ABC 的一个法向量可以是( )

A.

B. (?4,2,2)

C. (5,1,?2)

D.

8. 已知抛物线C ：x 2=8y 的焦点为F ，O 为坐标原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A

在抛物线C 上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为( )

A. 4√2

B. 2√13

C. 3√13

D. 4√6

9. 设F 1,F2分别为双曲线C:x 2

a

?y

2

b

=1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F2为

直径的圆交双曲线某条渐过线M 、N 两点，且满足∠MAN =120°，则该双曲线的离心率为( )

A. √213

B. √19

3

C. 2

3

D. 7√3

3

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10. 已知向量a ? =(2,?1,2)，b ? =(1,m,n)，若a ? //b ? ，则m +n = ________ ． 11. 已知双曲线x 2

25

?y 2

144=1左支上一点P 到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为______． 12. 若方程

x 2a

2+

y 2a

=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．

13. 在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 是B 1C 1的中点，则异面直线DC 1与BE 所成角的余弦值为

______ ．

14. 已知过点M(1,0)的直线AB 与拋物线y 2=2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜

率之和为1，则直线AB 方程为________．

15. 已知OA ????? =(1,2,3)，OB ????? =(2,1,2)，OC ????? =(1,1,2)，点M 在直线OC 上运动，当MA ?????? ?MB

?????? 取最小值时，点M 的坐标为_________． 三、解答题（本大题共3小题，共34.0分） 16. 已知点(2,3)在双曲线C ：

x 2

a 2

?y 2

b 2=1(a >0,b >0)上，双曲线C 的焦距为4.求 (Ⅰ)双曲线的标准方程；

(Ⅱ)双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

17.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA垂直于底面，E，F分别为AB、

PC的中点，PA=AD=2，AB=1．

①求证EF//面PAD；

②求二面角E?FC?B的平面角的余弦值．

18.已知点A(0,?2)，椭圆E:x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√3

2

，F是椭圆的焦点，直线AF的斜

率为2√3

3

，O为坐标原点．

(I)求E的方程；

(II)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：

本题考查了空间向量的三角形法则、平行四边形法则、向量相等，属于基础题． 利用向量的三角形法则、平行四边形法则、向量相等即可得出． 解：CN ?????? =CB ????? +BN ?????? =CB ????? +12

BA 1???????? =CB ????? +1

2(BA ????? +AA 1??????? )

=CB ????? +12(CA ????? ?CB ????? +CC 1??????? ) =b ? +12

(a ? ?b ? +c ? )

=12(a ? +b ? +c ? )，

故选B ．

2.答案：D

解析：

本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．解题时判断椭圆长轴(焦点坐标)所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可 解：椭圆x 25

+y 23

=1的焦点坐标在x 轴，a =√5，

P 是椭圆

x 25

+

y 23

=1上的动点，

由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =2√5． 故选D ．

3.答案：C

解析：解：由抛物线y 2=2px(p >0)的准线方程为x =?p

2， 则抛物线y 2=16x 的准线方程为x =?4． 故选C ．

由抛物线y 2=2px(p >0)的准线方程为x =?p

2，则抛物线y 2=16x 的准线方程即可得到． 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．

4.答案：C

解析：解：焦点在x 轴上的椭圆

x 2m

+

y 24

=1的焦距等于2，

可得2√m ?4=2，解得m =5． 故选：C ．

求出椭圆的焦距，列出方程求解即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．

5.答案：A

解析：

本题主要考查了空间向量加法的多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．

根据向量加法的多边形法则可得，DF ????? =12AB ????? ?AC ????? ，从而可求α，β． 解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，

DF ????? =DC ????? +CB ????? +BF ????? =1C 1C ??????? +CB ????? +1

BA 1

???????? =12A 1A ??????? +AB ????? ?AC ????? +12BA ????? +1

2AA 1

???????

=1

2

AB ????? ?AC ????? ， ∴α=1

2，β=?1， 故选A ．

6.答案：D

解析：

求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可． 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 解：抛物线y 2=4x 的焦点(1,0)， 双曲线x 2?

y 24

=1的渐近线y =±2x ，

抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2?y 24

=1的渐近线的距离是：d =2=

2√5

5

． 故选：D ．

7.答案：C

解析：

本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审，注意法向量的性质的合理运用． 设平面ABC 的一个法向量n ? =(x,y ，z)，由向量AB ????? =(0,2,1)，AC ????? =(?1,1,?2)，列出方程组，能求出结果．

解：设平面ABC 的一个法向量n ? =(x,y ，z)， ∵向量AB ????? =(0,2,1)，AC ????? =(?1,1,?2)， ∴{

AB ????? ?n ? =2y +z =0

AC ????? ?n ? =?x +y ?2z =0

，取y =1，得n

? =(5,1，?2)． 故选C ．

8.答案：B

解析：

本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．

求出A 点坐标，做出O 关于准线的对称点M ，利用两点之间线段最短得出|AM|的长为|PA|+|PO|的最小值．

解：抛物线的准线方程为y=?2，

∵|AF|=4，∴A到准线的距离为4，故A点纵坐标为2，

把y=2代入抛物线方程可得x=±4．

不妨设A在第一象限，则A(4,2)，

点O关于准线y=?2的对称点为M(0,?4)，连接AM，

则|PO|=|PM|，于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|

故|PA|+|PO|的最小值为|AM|=√42+62=2√13．

故选：B．

9.答案：A

解析：不妨设圆与y=b

a

x相交且点M的坐标为(x0,y0)(x0>0)，则N点的坐标为(?x0,?y0)，联立y0=

b a x0，x

2+y02=c2得M(a,b)，N(?a,?b)，又A(?a,0)且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=(2a)2+

b2+b2?2√(2a)2+b2?b?cos120°，化简得7a2=3c2，求得e=√21

3

.

10.答案：1

2

解析：

本题考查了向量共线定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．a?//b? ，则存在实数k使得a?=k b? ，即可得出．

解：∵a?//b? ，∴存在实数k使得a?=k b? ，

∴{2=k

?1=km

2=kn

，解得k=2，m=?1

2

，n=1．

∴m+n=1

．

2

．

故答案为：1

2

11.答案：10

解析：

根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；由双曲线的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，计算可得双曲线的离心率，由双曲线的定义可得d′的值，进而由双曲线的第二定义可得

d′

d

=

13

5

，解可得d的值，即可得答案．

解：根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；

双曲线的方程为

x?2

25

?

y?2

144

=1，

其中a=5，b=12，

则c=√52+122=13

则双曲线的离心率e=

c

a

=

13

5

，

若双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则P到右焦点的距离d′=16+2a=26，

又由双曲线的离心率e=

c

a

=

13

5

，

则有

d′

d

=

13

5

，

解可得：d=10，即点P到右准线的距离为10；

故答案为10．

12.答案：(0,1)

解析：

本题考查椭圆的标准方程及二次不等式的解法，由题意得a>a2>0，求解即可，属于基础题．

解：因为方程x2

a2+y2

a

=1表示焦点在y轴上的椭圆，

所以a>a2>0，解得0

13.答案：√105

解析：解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则 D(0,0，0)，C 1(0,2，2)，B(2,2，0)，E(1,2，2)， ∴BE ????? =(?1,0，2)，DC 1??????? =(0,2，2)， ∴异面直线DC 1与BE 所成角的余弦值为√5?2√

2

=√10

5

． 故答案为：√10

5．

建立坐标系，设正方体的棱长为2，求出BE ????? =(?1,0，2)，DC 1??????? =(0,2，2)，利用向量的夹角公式，即可求出异面直线DC 1与BE 所成角的余弦值．

本题考查异面直线DC 1与BE 所成角的余弦值，考查学生的计算能力，正确求出向量的坐标是关键．

14.答案：y =?2x +2

解析：

本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

解：当AB 的直线的斜率不存在时，设A(1,√2)，B(1,?√2)， k OA +k OB =√2?√2=0，不合题意，

当AB 的直线的斜率存在时，设其方程为y =k(x ?1)，A(x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， {y 2=2x

y =k(x ?1),k 2x 2?(2k 2+2)x +k 2=0， x 1+x 2=

2k 2+2k 2

,x 1x 2=1，

k OA +k OB =

y 1x 1+y 2x 2=k(x 1?1)x 1+k(x 2?1)x 2

=2k ?

k(x 1+x 2)x 1x 2

=2k ?

2k 2+2k

=1，

k =?2，

所以直线AB 方程为y =?2x +2． 故答案为y =?2x +2．

15.答案：(43,43,8

3)

解析：

【分析】

本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，可先设M(x,y ，z)，由点M 在直线OC 上可得M(λ,λ,2λ)，则由向量的数量积的坐标表示可求MA →

?MB →

，然后根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求M 点的坐标．

解：∵OC ????? =(1,1，2)，点M 在直线OC 上运动，设OM ??????? =λOC ????? =(λ,λ,2λ) 又∵向量OA ????? =(1,2，3)，OB

?????? =(2,1，2)， ∴MA ?????? =(1?λ,2?λ,3?2λ)，MB ?????? =(2?λ,1?λ,2?2λ)，

则MA ?????? ?MB ?????? =(1?λ)×(2?λ)+(2?λ)×(1?λ)+(3?2λ)×(2?2λ)=6λ2?16λ+10， 当λ=4

3时，MA ?????? ?MB ?????? 取得最小值． 此时M 的坐标为(43,43,8

3). 故答案为(43,43,8

3).

16.答案：解：(Ⅰ)由双曲线C 的焦距为4，则c =2，

即有a 2+b 2=4， 又4

a 2?9

b 2=1， 解得a =1，b =√3， 即有双曲线的方程为x 2

?y 23

=1；

(Ⅱ)双曲线x 2?

y 23

=1的a =1，b =√3，c =2，e =c

a =2，

则双曲线的实轴长为2，虚轴长为2√3，

焦点坐标为(?2,0)，(2,0)，离心率为2，渐近线方程为y =±√3x.

解析：(Ⅰ)由双曲线C 的焦距为4，则c =2，可得a ，b 的方程，再由点(2,3)代入双曲线方程，可得a ，b 的又一方程，解得a ，b ，即可得到双曲线的方程； (Ⅱ)求得双曲线x 2?

y 23

=1的a =1，b =√3，c =2，e =c

a =2，即可得到双曲线的实轴长和虚轴

长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的基本性质，属于基础题．

17.答案：解：①证明：取PD 的中点M ，连接AM ，FM ，

∵F 、M 为中点，∴FM//1

2CD//AE ，且FM =AE ， ∴四边形AEFM 为平行四边形，∴EF//AM ， 又AM ?面PAD ，EF ?面PAD ， ∴EF//面PAD ．

②分别以AB ，AD ，AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，E (12,0,0)， F (1

2,1,1)， 则CF ????? =(?12,?1,1)，CE ????? =(?12

,?2,0)，CB ????? =(0,2,0)， 设平面CEF 的法向量为n 1???? =(x,y,z )，平面CFB 的法向量为n 2???? =(x 1,y 1,z 1)，

∴{

?1

2x ?y +z =0?1

2

x ?2y =0,{?1

2

x 1?y 1+z 1=0

?y 1=0

, ∴可取n 1???? =(2,?12,1

2),n 2=?????????

(2,0,1)， ．

∴二面角E ?FC ?B 的平面角的余弦值为3√10

10

．

解析：本题考查线面平行的判定，二面角的求解，考查了学生的分析与计算能力，属中档题． ①取PD 的中点M ，由线面平行的判定定理，只需证明EF//AM 即可．

②建立适当空间直角坐标系，分别求出平面CEF 与平面CFB 的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值．

18.答案：解：(Ⅰ) 设F(c,0)，由条件知2c =2√33，得c =√3又c a =√3

2

， 所以a =2，b 2=a 2?c 2

=1，故E 的方程

x 24

+y 2=1．

(Ⅱ)依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y =kx ?2，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2) 将y =kx ?2代入

x 24

+y 2=1，得(1+4k 2)x 2?16kx +12=0，

当△=16(4k 2?3)>0，即k 2>3

4时，x 1,2=8k±2√4k 2

?31+4k

2

从而|PQ|=√k 2+1|x 1?x 2|=4√k

2+1?√4k 2?3

1+4k 2

又点O 到直线PQ 的距离d =√k 2+1，所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d|PQ|=4√4k 2

?31+4k 2，

设√4k 2?3=t ，则t >0，S △OPQ =4t t 2+4=4

t+4t

≤1，

当且仅当t =2，k =±√7

2

等号成立，且满足△>0，

所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x ?2或y =?√7

2x ?2．

解析：分析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．

(Ⅰ)通过离心率得到a 、c 关系，通过A 求出a ，即可求E 的方程； (Ⅱ)设直线l ：y =kx ?2，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)将y =kx ?2代入

x 24

+y 2=1，利用△>0，求出k

的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ 的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．