2020年高考文科数学易错题《平面向量》题型归纳与训练

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2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 平面向量的基本定理 例1给出下列命题：

（1）向量AB uuu r 与向量BA u u u r

是共线向量，不是平行向量； （2）若向量a r 与向量b r 都是单位向量，则a b =r r

； （3）若AB DC =u u u r u u u r

，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；

（4）,l m 为实数，若a b l m =r r

，则a r 与b r 共线．其中错误的命题的序号是 ．

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同；（3）是错误的，当A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形；（4）是错误的，当==0

l m 时，a r 与b r

可以共线可以不共线

【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若AB DC =u u u r u u u r

，则A 、B 、C 、D

四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。==0l m ，若a b l m =r r

，则a r 与b r 不一定共线。

【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：

（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．

例2 已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r

且a r ∥b r ,则x = ．

【答案】34

-

【解析】根据a r ∥b r 有01221=-y x y x ,可知022)3(1=?--?x ,得4

3

-=x

【易错点】（1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了12120x x y y -=．（2）||a b r r

12210x y x y ?-=，

不是12120x x y y -=，可以记为“斜乘相减等于零”．12120a b x x y y ^?=r r

，可以记为“竖乘相加等于

零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢． 【思维点拨】

1．平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． 2．几个重要结论

（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； （2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； （3）向量平行与起点的位置无关．

题型二 平面向量的线性运算

例1在ABCD Y 中，错误的式子是（ ）

A ．AD A

B BD -=u u u r u u u r u u u r B ．AD AB DB -=u u u r u u u r u u u r

C ．=+

D ．AC AB AD =+

【答案】D ．

【解析】根据平行四边形法则知，错误的为B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如=+，在向量的减法运算中，两向

量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如AD AB BD -=u u u r u u u r u u u r

，对于D 选项，利用平行四

边形法则结合图像可得AC AB AD =+．

【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。

【思维点拨】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．

3

题型三 平面向量的数量积及其应用

例1为单位向量，当的夹角为

时，在上的投影为（ ） A ． B

． C D

【答案】B ．

【解析】在上的投影为

2cos ,41cos 23a e a e a a e a a e e

π????===??=-r r r r

r r r r r r r ,所以选择B ． 【易错点】（1）对a r 在b r 上的投影的概念和公式理解不透彻．（2）a r 在b r

上的投影为||cos ,a a b <>r r r ，由于||0,1cos ,1a a b ??>?r r r ，所以a r 在b r 上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把a

r 在b r

上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．

【思维点拨】1．对两向量夹角的理解

（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．

（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π． （3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．向量运算与数量运算的区别

（1）若a ，b ∈R ，且a ·b ＝0，则有a ＝0或b ＝0，但a·b ＝0却不能得出a ＝0或b ＝0． （2）若a ，b ，c ∈R ，且a ≠0，则由ab ＝ac 可得b ＝c ，但由a·b ＝a·c 及a ≠0却不能推出b ＝c ．

（3）若a ，b ，c ∈R ，则a （bc ）＝（ab ）c （结合律）成立，但对于向量a ，b ，c ，而（a·b ）·c 与a ·（b·c ）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．

（4）若a ，b ∈R ，则|a ·b |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．

例2已知向量,a b r r 满足：2a b +r r 与54

a b -r r 垂直，且||1,||1a b ==r r

，则a b r r 与的夹角为 ．

【答案】

3

π

．

【解析】由已知得（2a b +r r ）．（54a b -r r ）=0，故1

2a b ?=r r ，则cos a b a b a b

?=?r r

r r r r ＝12，又因为[0,]a b π∈r r ，

故a r 与b r 的夹角为3

π

．

e a ,a e 22-a e

【易错点】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清．（2）两个向量的夹角q 的范围是[0,]q p ?，不是[0,2]q p ?，所以本题只有一个答案． 【思维点拨】

1．求两非零向量的夹角时要注意： （1）向量的数量积不满足结合律；

（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．

2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．

【巩固训练】

题型一 平面向量的基本定理 1． 给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则＝是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥．

又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．

反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB =DC 且与方向相同，因此＝．

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．

2． 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0．上述命题中，假命题的个数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

AB u u u r DC u u u r

AB u u u r DC u u u r AB u u u r DC u u u r AB u u u r DC u u u r

AB u u u r DC u u u r AB u u u r DC u u u r

5

【答案】D

【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．

3．已知a ，b 不共线，＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝

t （a ＋b ），是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．

【答案】见解析

【解析】解：由题设知，＝d －c ＝2b －3a ，＝e －c ＝（t －3）a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上

的充要条件是存在实数k ，使得＝k ，即（t －3）a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，

整理得（t －3＋3k ）a ＝（2k －t ）b ．

因为a ，b 不共线，所以有?

????

t －3＋3k ＝0，

t －2k ＝0，

解之得t ＝6

5

．

故存在实数t ＝6

5使C ，D ，E 三点在一条直线上．

4．下列说法正确的是

A ．向量A

B uuu r 与向量CD uuu r

是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一条直线上 B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C ．长度相等的向量叫做相等向量

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】D

【解析】对于A ，若向量AB uuu r 与向量CD uuu r

是共线向量，则AB CD ∥或点A B C D ,,,在同一条直线上，故A 错误；对于B ，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B 错误；对于C ，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C 错误；对于D ，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D 正确.故选D ．

5．已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是（ ） A ．λ＝0

B ．e 2＝0

C ．e 1∥e 2

D ．e 1∥e 2或λ＝0

OA u u u r OB u u u r OC u u u r OD u u u r OB u u u r

CD u u u r CE u u u r

CE u u u r CD u u u r

【答案】D

【解析】选D 。若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1.因此a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b .若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则 e 1＋λe 2＝μ·2e 1，因此λ＝0,1－2μ＝0.

题型二 平面向量的线性运算

1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且＝2，点Q 是AC 的中点，若＝（4,3），＝（1,5），则等于（ ） A ．（－2,7） B ．（－6,21）

C ．（2，－7）

D ．（6，－21）

【答案】B

【解析】＝3＝3（2－）＝6－3＝（6,30）－（12,9）＝（－6,21）．

2．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，·＝1，则BC ＝（ ）

A ．3

B ．7

C ．22

D ．23

【答案】A

【解析】∵·＝1，且AB ＝2，∴1＝||||cos （π－B ），∴||cos B ＝－1

2

．在△ABC 中，AC 2

＝AB 2＋BC 2－2AB ·BCcos B ，即9＝4＋BC 2－2×2×????－1

2．∴BC ＝3．

3．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：

①AB CD BC DA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，②AC BD BC AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，③AC BD DC AB -=+u u u r u u u r u u u r u u u r

．

其中正确的有 A ．3个 B ．2个

C ．1个

D ．0个

【答案】B

【解析】①AB CD BC DA +=+u u u r u u u r u u u r u u u r 的等价式是AB DA -u u u r u u u r =BC -u u u r CD uuu r ，左边=AB uuu r +AD u u u r ，右边=BC uuu r +DC u u u r

，

不一定相等；

②AC BD BC AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r 的等价式是AC -u u u r AD u u u r =BC -u u u r BD uuu r ，左边=右边=DC u u u r

，故正确； ③AC BD DC AB -=+u u u r u u u r u u u r u u u r 的等价式是AC AB -u u u r u u u r =BD uuu r +DC u u u r ，左边=右边=BC uuu r

，故正确.

所以正确的有2个，故选B ．

BP u u u r PC u u u r PA u u u r PQ u u u r BC

u u u r

BC u u u r PC u u u r

PQ u u u r PA u u u r PQ u u u r PA u u u r AB u u u r BC u u u

r AB u u u r BC u u u r AB u u u r BC u u u r BC u u u r

7

4．设D 为△ABC 所在平面内一点，4BC CD =u u u r u u u r

，则（ ）

A ．1433AD A

B A

C =-+u u u r u u u

r u u u r

B ．1544AD AB A

C =-+u u u r u u u

r u u u r

C ．1455

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r

D ．4133

AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r

【答案】B

【解析】()

55154444

AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+

-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ,故选B ．

5．已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，设AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CA =u u u r

c .

（1）求33+-a b c ；

（2）求满足m n =+a b c 的实数m ，n .

【解析】（1）由已知得(5,5)=-a ，(6,3)=--b ，(1,8)=c ，

则33+-=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42)a b c . （2）∵(6,38)m n m n m n +=-+-+b c ，

∴65

1385

m n m n m n -+=??==-?

-+=-?.

题型三 平面向量的数量积及其应用

1．对于非零向量,，下列命题正确的是（ ）

A ．?=?0b a 00a b ==r r r r

或

B ．?//a b r r 在上的投影是||a r

C ．?⊥2

)(?=? D ．=??=?

【答案】C ．

【解析】对于选项A ,0||||cos ,00=0a b

a b a b a

b r r

r r r r r r r r 或??>=?，,=2

a b r r 或p

<>,故A 错误；

对于B ，a b r r 在上的投影是||cos ||a a r r q =?，所以B 错误．对于D ，a c b c →→→→?=?Q ||||cos ||||cos a c b c αα∴=r r r r

不能

推出;a b r r

所以D 错误，排除法选C ．故选C ．

2．已知a ＝（1,2），b ＝（－2，n ），a 与b 的夹角是45°． （1）求b ；

（2）若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c ． 【答案】见解析

【解析】解：（1）∵a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝

2n －25·n 2＋4

＝2

2

， ∴3n 2－16n －12＝0（n >1）．

∴n ＝6或n ＝－2

3（舍）．∴b ＝（－2,6）．

（2）由（1）知，a ·b ＝10，|a |2＝5． 又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb （λ>0）． ∵（c －a ）·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0．∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝1

2

． ∴c ＝1

2

b ＝（－1,3）．

3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝（ ） A ．2 B ．23 C ．4 D ．43

【答案】B

【解析】由a ·(a －b )＝0，可得a ·b ＝a 2＝1，由|a －b |＝3，可得(a －b )2＝3，即a 2－2a ·b ＋b 2＝3，解得b 2＝4.故(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝12，故|2a ＋b |＝2 3.

4．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为（ ） A ．27 B ．25 C ．2 D ．6

【答案】A

【解析】由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2

|cos 60°＝28，因此，|F 3|＝27.