不同域上的不可约多项式课件
论文题目
目录
1、前言 (1)
2、因式分解定理及唯一性定理 (1)
3、复系数多项式 (1)
4、实系数多项式 (2)
5、有理系数多项式 (2)
5.1 艾森斯坦（Eisenstein）判别法 (2)
5.2艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式 (3)
5.3艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理 (4)
5.4多项式的复根与其不可约性 (5)
5.5n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性 (7)
6、有限域上的不可约多项式 (7)
6.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法 (8)
q阶有限域上的不可约多项式 (9)
6.2
致谢 (10)
参考文献 (11)
不同域上的不可约多项式
摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式
中图分类号：O151
Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.
Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials
不同域上的不可约多项式
1、前言
一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
2、因式分解定理及唯一性定理
定理[]11 数域P 上每个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成 域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式
1212()()()()()()()s t f x p x p x p x q x q x q x ==
那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,
,i i i p x c q x i s ==， 其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.
因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。
3、复系数多项式
定理[]12（代数基本定理） 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至少有一根。
定理[]13（复系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在
复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。
4、实系数多项式
定理[]14（实系数多项式因式分解定理） 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。
5、有理系数多项式
每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。
5.1 艾森斯坦（Eisenstein ）判别法
定理[]15（Eisenstein 判别法） 设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++
++是
一个整系数多项式，如果存在素数p 使得
011(1),,,;n p a p a p a - (2)p |/n a ；
2)3(p |/
0a 那么()f x 在Q 上不可约
证明：若()f x 在有理数域上可约，则()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式
01(),k k g x b b x b x =+++ 01(),l l h x c c x c x =+++
使得 ()()(),f x g x h x =其中 ,,.k l n k n l n +=<<
因为200000,|,|,a b c p a p a =/所以0b 与0c 不能同时被p 整除
不妨设00|,|.p b p c /因为,|n k l n a b c p a =/，所以|k p b /.设
011|,|,,|,|(1).s s p b p b p b p b s k -≤≤/考察等式
011110.s s s s s a b c b c b c b c --=++++
由于01111|,|()s s s s p a p b c b c b c --+++，所以0|s p b c ，这与0|,|s p b p c /矛盾，故()f x 在()Z x 中不可约，因而在[]Q x 中不可约（证毕）
对任意正整数,2n n x +都是Z 上不可约多项式，从而[]Z x （及[]Q x ）中
存在任意次数的不可约多项式.
5．2艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的变式
一般地对()()f x Z x ∈，常作变换x ay b =+,则()()()f x f ay b f y =+=,很显然()f x 与()g y 在[]Q x 上具有相同的可约性.
有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein 判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。
例如：设P 是一个素数，多项式12()1p p f x x x x --=++
++叫做一个分
圆多项式，证明()f x 在[]Q x 中不可约。
证明：因为011n a a a ====，所以不存在这样的素数P 满足
Eisenstein 判别法的条件，但是如果我们
令1x y =+，则由于(1)()1n x f x x -=-
111(1)(1)1p p p p p p yf y y y C y C y --+=+-=+++
令()(1)g y f y =+，于是
1121()p p p p p
g y y C y C ---=+++ 由Eisenstein 判别法，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 也在有理数域上不可约。
5．3艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的等价定理
定理[]26 假如2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈是整系数多项式，如果存在一个素数P ，使得；2011)|;2),|,
,|;3)|n n p a p R p a p a p a ∈//，则()f x 在[]Q x 上不可约。
定理[]37 设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈为次数大于3的整系数多项式，且()f x 无有理根存在，如有整数P 使得
1）200||P a a /，P ；
2）122||,
,|n P a p a p a -，；
3）1|n p a -/
则()f x 在整数环上一定不可约
证明：这里仅考虑()f x 为本原多项式的情形反设()f x 在整数环上可约，其分解式为：110101()()()l l m m m m l l f x b x b x b c x c x c ----=++++++
其中 110()l l l l g x b x b x b --=+++
110()m m m m h x c x c x c --=+++ 均为本原多项式，且,,l m n m l n <+=，从而111n l m l m a b c b c ---=+，000a b c =
由已知000|p a b c =，而20|p a /，所以不妨设：0|p b ，而0|p c /
，又因为1|n p a -/，所以p 不能同时整除l b 及1l b -，不妨设01,,
,l b b b 中第一个不能被p 整除的数是k b ，即011|,,
,k p b b b -，而|k p b / 其中1k l n ≤≤<
下面分两种情况讨论：
1）当1k l n ==-时
可证1m =从而1212010()()()n n n n f x b x b x b c x c ----=++++
可得()f x 有有理根，此题与题设矛盾，同理可证1k ≠
2） 当11k n <<-时
考虑()f x 中k x 的系数： 0110k k k k a b c b c b c -=+++
由设011|,|,,,k k p a p b b b -及，所以0|k p b c ，而0|,|k p c p b /
/，所以0|k p b c ，这是一个矛盾！
另当00|,|p c p b /
时，同理可证矛盾！ 所以()f x 在整数环上不可约，证毕。
5.4多项式的复根与其不可约性
由代数基本定理，[]Z x 中n 次多项式在复数域中有n 个根，通过系数多项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不可约性。
定理[]48 设1110()...[]n n n n f x a x a x a x a Z x --=++++∈满足
10...1,n n a a a a ++<<+ （1）
则()f x 在Z 上不可约(从而在Q 上不可约)．
证明：()f x 的复根的模均大于1。
实际上，设()f x 有根α满足1α≤，则
011......n
n n a a a a a αα≤++≤++，与（1）矛盾。
现在假设()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式 1110()...r r r r g x b x b x b x b --=++++
1110()...s s s s h x c x c x c x c --=++++
使得()()()f x g x h x =，则000a b c =
另一方面，记()g x 的复根为12,,......,r ααα它们都是()f x 的根，故1(1,2,...,)j j r α≥=。结合韦达定理得出
01...r r r b b a a b =?>，即01r b b ≥+。 同理，01s c c ≥+，于是
000(1)(1)r s a b c b c =≥++
11r s r s r s b c b c b c =+++≥+
1n a =+
与（1）矛盾，故()f x 在Z 上不可约。 令1()()n F x x f x
=，则()f x 在Z 上可约显然等价于()F x 在Z 上可约。因此
定理8中0a 与n a 是对称的。定理8表明，只要多项式的首项系数与常数项的绝对值足够大时，它在Z 上就不可约。
5.5、n 次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性
定理[]59 设111()...n n n n f x x a x a x a --=++++为整系数多项式,若()1f x +有n 个两两不同的整数根,则()f x 在有理数域Q 上不可约。
证明: (反证法) 设()1f x +的n 个两两不同的整数根为12,,...,,n c c c 则有
()10i f c +=，()1(1,2,...)i f c i n =-=
假设()f x 在有理数域Q 上不是不可约多项式,因为()1,f x n ?=>所以()f x 在有理数域Q 上可约,也即是()f x 在整数环Z 上可约,所以存在整系数多项()h x 和()g x ，使得 ()()()f x h x g x =
其中 ()()h x f x n ?>?=，()()g x f x n ?
所以 (()())h x g x n ?+<，
所以由 ()1i f c =-,得 ()()1i i h c g c =-，
因此 ()()0(1,2,...,)i i h c g c i n +==
所以 ()()0h x g x +=
即有 2()(),()(),g x h x f x h x =-=-
所以()f x 首项系数为负数与1矛盾，
所以()f x 在有理数域Q 上不可约。
6、有限域上的不可约多项式
对于一般数域上的多项式，普遍可行的分解方法是不存在的。但是对于有限域，普遍可行的方法确实存在的，但是这也只适合低次多项式。
定理[]1110 设F 是一个有限域，(),()(),()0f x g x F x g x ∈≠则存在唯一的(),()[]q x r x F x ∈,使()()()()f x g x q x r x =+，其中()0r x =或(())(())f x g x ?
像在数域上一样，该定理给出了在有限域上判断整除性的方法。
例：425(),()[],()3432f x g x Z x f x x x x ∈=-++，()2g x x =-，问是否有()|()g x f x ？
解：作带余除法
()g x ()f x ()q x
2x - 423432x x x -++ 32321x x x +-- 433x x -
32432x x x -++
322x x -
2232x x -++
224x x -+
2x -+
2x -+
()0r x =
所以()|()g x f x
6.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法
设F 是一个有限域，()[]f x F x ∈，(())0f x n ?=>
若()f x 在F 上可约，则存在12(),()[]f x f x F x ∈，且
12(()),(())f x n f x n ?
有1(())f x ?[]2n ≤或者2(())f x ?[]2
n ≤，即()f x 必有次数大于0而不超过[]2n 的因式。而F 是有限域，只有有限个元素，从而F 上次数大于0而不超过[]2
n 的多项式只有有限个。因而只需找出F 上次数大于0而不超过[]2
n 的首项系数为1的多项式12(),(),,()i g x g x g x ，用它们逐个试除()f x ，若某个
()|()
i g x f x ，则()f x 可约。否则()f x 不可约，若()f x 可约，对所做的分解式重复以上做法，最终可得()f x 在F 上的因式分解。
例：在2Z 上，证明多项式24321)()1,2)()1f x x x g x x x x x =++=++++均为不可约多项式。
证明：1）()f x 为2次多项式，且(0)1,(1)1,f f ==()f x 在2Z 上无根，从而没有一次因式，故()f x 在2Z 上不可约
2）2,[]22
n n ==，2Z 上次数大于0而不超过2的首项系数为1的全部多项式为22212345(),()1,(),(),(g x x g x x g x x g x x x g x
==+==+=+，26()1g x x x =++，且任一()i g x 均不能整除()g x ，故()g x 在2Z 上也不可约。
但是当多项式的次数很高时，用带余除法判断就不实用，接下来我们将讨论几个定理来说明有限域上不可约多项式的状况。
6.2 q 阶有限域上的不可约多项式
定理[]1211 设()p x 为q 阶有限域F 上的一个k 次不可约多项式，则()p x 必为F 上多项式1k
q x -的一个因式。
证明：因为
()p x 是q 阶有限域F 上的一个k 次不可约多项式，则()p x
为多项式环[]F x 的一个极大理想，从而以()p x 为模的剩余类域[]/()F x p x 是一个阶为k q 的有限域，而其全体单位（即可逆元）共有1k q -个，它作为
一个阶为1k q -的循环群，此即k q 阶有限域[]/()F x p x 的单位群，因此，x 作为此单位群（即1k q -阶循环群）中的元素，必有11k q x
-=或110k q x --=，这就是说，对模()p x 来说，多项式11k q x --与0同余，即()p x 整除多项式11k q
x --，亦即()p x 是多项式11k q x --的一个因式。
致 谢
时间过得真快，在、的四年学习时间即将过去。虽然这四年时间不算长，但是在这四年我成长了很多，不管是自己的综合素质还是能力都有很大的进
步，这是承受师恩、增长才干、提高学识的四年。很感激那些曾经帮助过我的老师和同学们，因为有他们的帮助才让我少走了很多弯路，才让我一人在外求学的道路走得不那么艰辛。在此，我要特别感谢老师在我大学最后的学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，为了指导我们小组的毕业论文，他常常放弃自己的休息时间，他这种无私奉献的敬业精神令人敬佩，在整个过程中也始终感受着导师的精心指导与无私的关怀。他扎实的学术功底，对论文的钻研精神，对待学术的严格要求让我们小组的每个人都受益匪浅，在此向余老师表示深深的感谢和崇高的敬意。
参考文献
[1]王咢芳,石生明.高等代数.第三版.北京：高等教育出版社,2003:18-29
[2]罗永超.推广Eisenstein判别法判定整系数多项式有理根的存在性[J].大学数
学.2007(5):63-69
[3]王立志.整系数多项式在整数环上不可约性的探讨.工科数学.1994(3):60-62
[4]钱展望，朱伟华.湖北：奥林匹克数学高三分册,2002：85-98
[5]席小忠.整系数多项式有理根的特征[J].宜春学院学报.2006(2):37-38
[6]张小红,任耀文.整系数多项式不可约性的新判别法.咸阳师专学报[J].2001(2):
12-14
[7]罗永超.整系数多项式无有理根的一个判别法.贵州师范大学学报[J].1993(3):
19-21
[8]罗永超.整系数多项式是否存在有理根的几种判别法及应用[J].贵州师范大学学
报.1994（4）:21-30
[9]张禾瑞，郝炳新.高等代数.北京:高等教育出版社,1983:69-74
[10]卫东舟.Eisenstein定理的一种推广.数学通报[J].1992(8):24-25
[11]徐少贤.浅谈有限域上的一元多项式.南都学坛.15（3）：97-99
[12]杨德平.有限域上的不可约多项式.聊城师院.1999(1):15-17
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用 摘 要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 2. 不可约多项式的概念及性质 2.1 整除的概念 设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得 ()()()()f x q x g x r x =+ 成立，其中(())(())r x g x ?
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。 注1: 带余除法中()g x 必须不为零。 下面介绍整除性的几个常用性质: （1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。 （2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。 （3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么 ()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++， 其中()i u x 是数域P 上任意多项式。[1] 2.2 本原多项式 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。 2.3 有理数域上多项式的等价 设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4 多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下 把49x -进行分解，可分解为 49x -()()2233x x =+-
反证法证明多项式不可约
反证法证明多项式不可约 在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别． 例 1 已知)(x p 是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式)(x f 和)(x g ，由)()(|)(x g x f x p 可以推出)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p ，则)(x p 是不可约多项式． 证明 假设)(x p 可约，则必存在次数小于))((x p ?的多项式)(x f 与)(x g ，使得)()()(x g x f x p =，即)()(|)(x g x f x p ，又由已知条件，知)(|)(x f x p ，)(|)(x g x p ，但))(())((x p x f ??x f ，所以)(x f 在整数环Z 上也可约，即有整系数多项式)(1x f 与)(2x f ，使得)()()(21x f x f x f =，其中))(())((x f x f i ?
多项式
第二章 多项式 §2.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 222)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： ! ) )...(1()1(! ) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §2.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k
特殊数域上的多项式
1.7特殊数域上的多项式 1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4 5x -; (2)3 2 423x x x +-- 在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++ 在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++ (2) 在R 上与在C 上都有:3 2 4231()(x x x x x x +--=-+ + 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根. 2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是 ()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+- 3.求下列多项式的有理根. (1)32 61514x x x -+-; (2) 32 4761x x x --- (3) 5432 614113x x x x x +---- 3 2 2 61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3 2 2 47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14 - ; (3) 5 4 3 2 4 61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4 3243211 65421210822 ()x x x x x x x x + -++=+-++ 3121682()()x x x = +-+,有理根为12 - 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4 3 2 8122x x x +++;
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译irreducible polynomial Let f(x) = f1(x)l1…fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi(x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f(x)=f_1(x)~l1…f_k(x)~lk是f(x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i(x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n, r(x)∈Z_n[x] and r(x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r(x)∈Z_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码,其中本原基本不可约多项式hm(x)是指 hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp[x]中的本原多项式. As a matter of fact, the method starts from Z_2, and there is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+1). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+1) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2出发,以Z_2上的一个不可约多项式 x~2+x+1为生成元做一个主理想(x~2+x+1),然后由近世代数的理论知 Z_2[x]/(x~2+x+1)是一个有限域,从而得到了GF(4)。 Irreducible Polynomial of Integral Coefficient 关于整系数不可约多项式 prime polynomial This paper directly proves that a prime polynomial has the radical solutionsover a finite field. 直接证明了有限域上的不可约多项式有根号解 “不可约多项式”译为未确定词的双语例句 We give a definition for n is Generalized Carmichael Number of order k modulo r(x) and denote this by n∈C_(k,r(x)). So we give another definition: C_k={UC_(k,r(x))|r(x) are all monic irreducible polynomials of degree k (k>0) over Z_n}. 本文引入n是k阶摸r(x)的Carmichael数的定义,全体这样的数记为集C_(k,r)(x),由此给出k阶Carmichael数集:C_k={∪C_(k,r)(x)|r(x)过
毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届） 题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会 学号：101010100 学院：数学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：许鸿儒 申请学位：学士学位 嘉应学院教务处制
摘要 在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。 关键词：有理数域, 可约, 因式分解
Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements. Key words： rational number field, reducible, factorization
目录 1 有理数域上的多项式基本内容 (i) 1.1 多项式因式分解的基本概念 (1) 1.2 本原多项式 (2) 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5) 2 多项式的有理根及因式分解 (7) 2.1多项式在有理数域上的性质 (7) 2.2多项式有理根的判定 (8) 2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10) 2.4因式分解的特殊解法 (12) 参考文献................................................... 错误！未定义书签。
有理数域的认识
对有理数域的认识 1.有理数的认识 数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比（ratio），通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο?，原意为“成比例的数”（rational number），但并非中文翻译不恰当。 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国明代传入日本时，出现错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（即“logos”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。 清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数” 和“无理数”的说法 可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 不是有理数的实数遂称为无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。 定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数（rational number）。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 分类：有理数可分为整数和分数。 也可分为三种：一；正数，二；0，三；负数。 以下都是有理数： (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。
趣味探究有理数域(系)构成与扩充
趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。 一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。 小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑
推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。表面上枯燥乏味的数学知识，其实背后的故事也是血泪斑斑，可歌可泣，数学绝对不仅仅是一些公式、定理、符号的记录，它还是人与人、人与自然的斗争史。 小学数学范围内主要要研究是的“有理数”，它包括整数和分数，下面是有理数分类的图解： 我们通常说的自然数是正整数和零的统称，即像0、1、2、3、4…的数是自然数。正数前面加上负号就是负数，例如-1、-2、-3、-4…。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数，例如、、…。小学数学中小数的比例占的也比较多，但是因为分数
有限域上的多项式理论
有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields
摘要 域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。 当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。 正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。 本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。 关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码
Abstract With the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems. Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters. Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code
不同域上的不可约多项式
论文题目
目录 1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。 2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。 3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。 4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。 5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。 艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。 艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。 艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。 多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。 n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。 6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。 判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法错误!未定义书签。 q阶有限域上的不可约多项式.................................... 错误!未定义书签。致谢.......................................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
数域的判定
题目：数域的判定 研究问题：数域 方法：定义法 例题： 例1.证明两个数域之交是一个数域 设A和B是两个数域，若存在两个数x,y∈A∩B,且y≠0, 则由于x,y∈A,x/y∈A;x,y∈B,x/y∈B,所以x/y∈A∩B.即A∩B是一个数域. 例2.证明两个数域“之并”未必是数域. 如： A={x|x=a+b√2,a,b∈Q} B={x|x=a+b√3,a,b∈Q} 看它们的并集中分别取A、B中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域 例3.判断下列说法是否正确。 （1）自然数集N及整数集Z都不是数域。 解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元a*a（-1）=1 不满足这一条。 （2）奇数集不是数域。 解：对的 例4.证明多项式f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)……(x-n)在有理数域上不可约。 方便起见,不妨改为证明f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)-1不可约. 用反证法,假设f(x) = g(x)h(x),其中g(x),h(x)都是次数不小于1的有理系数多项式. 由Gauss引理,不妨设g(x)与h(x)都是首1的整系数多项式. 依次带入x = 1,2,...,n,可知g(k)h(k) = f(k) = -1,对k = 1,2,...,n. 而g(k)与h(k)都是整数,可知g(k)和h(k)只能是±1. 且g(k) = 1时h(k) = -1,而g(k) = -1时h(k) = 1. 因此总有g(k)+h(k) = 0,对k = 1,2,...,n. 多项式g(x)+h(x)有n个不同的根,但其次数 < n (g(x)与h(x)的次数都小于n), 于是g(x)+h(x)恒等于0,但这与g(x),h(x)的最高次项系数为1矛盾. 所以f(x)不可约. 例5.设A为数域P上的n阶矩阵,数a为A的n重特征值,证明A=aE为数量矩阵 由已知,存在可逆矩阵Q满足 Q^-1AQ = diag(a,a,...,a) = aE 所以 A = Q(aE)Q^-1 = aQQ^-1 = aE
第三节 实数域和复数域
第三节实数域和复数域 1．实数和实数域 前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)． 但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致． (1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数． 如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域． 事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|． 1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a． 因此，R是阿基米德序域． 反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使 有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是 即 lima n＝a 即R中任意数a都是有理数基本列的极限． 若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限． 现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若lima n=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′． 易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的． (2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下： 对任意｛a n｝，｛b n｝∈M． 1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当lim(a n－b n)=0；
2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝； 3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝； 4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n ＞ε． 由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序． 作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下： 对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β， 1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ； 2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ； 3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β． 不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律． 若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域. (3)嵌入 设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2． 作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构． 作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋． 实数集R的若干性质． 1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b． 2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下： 在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数． 划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…． 这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．