最新人教版八年级数学上册《分式》教案
第十五章 分式 15.1分式 15.1.1从分数到分式 一、教学目标 1.了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同 点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x 2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --221
(人教版)八年级数学分式方程测试题及答案
16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1.下列方程中分式方程有( )个. 2D 34 (3)22122563 x x x x x x x --=--+-。
5.解下列分式方程: 6 7.解下列关于x 的方程: (1)1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0(m ≠0).
8.解方程:2155 ()14x x x x ---= . 9 11.a 为何值时,关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误?
12.已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数,求a 的取值范围. , , . (3)根据上面的规律,可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______,方程的解是_________,?解决这个问题的数学思想是_________. ◆中考真题实战
14.解方程:31144x x x --=--; 15.解方程:54 1x x -+=0. 14.解:(1)方程两边同乘以x-2,得2x=x-2, 解得x=-2.经检验,x=-2是原方程的解. (2)方程两边同乘以x (x+1),得(x+1)2+5x 2=6x (x+1),即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x , 解得x=1 4.经检验,x=14 是原方程的解.
(3)方程两边同乘以(x-2)(x-3), 得x(x-3)-(1-x2)=2x(x-2), 解得x=1.经检验,x=1是原方程的解. 5.解:(1)方程两边同乘以(x-1)(x+1),得 (x+1)2-4=x2-1,化简得2x-2=0,∴x=1. 6 ) ∴原方程的解为x=7. =1-b, 7.解:(1)移项:a - x a 去分母:a=(1-b)(x-a), 去括号:a=(1-b)x-a(1-b),
人教版八年级上册数学期末复习:分式及其运算
专题 分式及其运算 ?解读考点 ?2年中考 【2015年题组】 1.(2015常州)要使分式23 -x 有意义,则x 的取值范围是( )
A.2 x> B.2 x< C.2 x≠- D.2 x≠ 【答案】D. 【解析】 试题分析:要使分式2 3 - x有意义,须有20 x-≠,即2 x≠,故选D. 考点:分式有意义的条件. 2.(2015济南)化简 29 33 m m m - --的结果是() A.3 m+ B.3 m- C. 3 3 m m - + D. 3 3 m m + - 【答案】A. 考点:分式的加减法. 3.(2015百色)化简22 26 24 x x x x x - - +-的结果为() A.2 1 4 x- B.2 1 2 x x + C. 1 2 x- D. 6 2 x x - - 【答案】C. 【解析】 试题分析:原式= 26 2(2)(2) x x x x - - ++-= 2(2)(6) (2)(2) x x x x --- +-= 2 (2)(2) x x x + +-= 1 2 x-.故选C. 考点:分式的加减法. 4.(2015甘南州)在盒子里放有三张分别写有整式a+1,a+2,2的卡片,从中随机抽取两张卡片,把两张卡片上的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是() A. 1 3 B. 2 3 C. 1 6 D. 3 4 【答案】B. 【解析】 试题分析:分母含有字母的式子是分式,整式a+1,a+2,2中,抽到a+1,a+2做分母时组成的都是分式,共有3×2=6种情况,其中a+1,a+2为分母的情况有
4种,所以能组成分式的概率= 4 6= 2 3.故选B. 考点:1.概率公式;2.分式的定义;3.综合题. 5.(2015龙岩)已知点P(a,b)是反比例函数 1 y x = 图象上异于点(﹣1,﹣1)的一个动点,则 11 11 a b + ++=() A.2 B.1 C. 3 2 D. 1 2 【答案】B. 考点:1.反比例函数图象上点的坐标特征;2.分式的化简求值;3.条件求值.6.(2015山西省)化简 22 22 2 a a b b b a b a b ++ - --的结果是() A. a a b - B. b a b - C. a a b + D. b a b + 【答案】A. 【解析】 试题分析:原式= 2 () ()() a b b a b a b a b + - +--= a b b a b a b + - --= a b b a b +- -= a a b -,故选A. 考点:分式的加减法. 7.(2015泰安)化简: 341 ()(1) 32 a a a a - +- --的结果等于() A.2 a- B.2 a+ C. 2 3 a a - - D. 3 2 a a - - 【答案】B. 【解析】 试题分析:原式
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第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1.转化思想 转化是一种重要的数学思想方法, 应用非常广泛, 运用转化思想能把复杂的问题转化为 简单问题, 把生疏的问题转化为熟悉问题, 本章很多地方都体现了转化思想, 如,分式除法、 分式乘法; 分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、 同分母的分式加减法;解分式 方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2.建模思想 本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际 问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历 “实际问题 ——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3.类比法 本章突出了类比的方法, 从分数的基本性质、 约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、 约分、 通分及分式的运算法则, 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧, 无一不体现了类比思想的重要性, 分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲 分式的运算 【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则 【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b c b c a 0 a a a 2. 异分母加减法则 : b d bc da bc da a 0, c 0 ; a c ac ac ac 3. 分式的乘法与除法 : b ? d bd , b c b ? d bd a c ac a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法 m a nm+n mnm -n ; a ● =a ; a ÷ a =a 6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n = a mn 负指数幂 : a -p = 1 p 7. a =1
(完整版)人教版八年级数学分式知识点和典型例题
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1.转化思想 转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等. 2.建模思想 本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义. 3.类比法 本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m -n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1
人教版八年级下册数学分式
分 式 ◆课前热身 1.若分式 2 1 x -有意义,则x 的取值范围是( ) A .x ≠1 B .x>1 C . x=1 D .x<1 2.化简22a a a +的结果是样 3.分式 11 1(1) a a a + ++的计算结果是( ) A . 11 a + B . 1 a a + C . 1a D . 1 a a + 4.计算2 2()ab a b -的结果是( ) A .a B .b C .1 D .-b 【参考答案】1. A 2.2a + 3.C 解析:本题考查了分式的加减运算.解决本题首先应通分,最后要注意将结果化为最简分式.a a a a a a a a a 1 )1(1)1(1)1(1=++=++++= 原式.故选C. 4.B 解析:本题考查积的乘方运算与分式的化简,() 2 22 22ab a b b a b a b -==,故选B . ◆考点聚焦 分式 分式的有关概念 有理式 最简分式 分式 最简公分母 分式的基本性质 分式的运算 知识点: 分式,分式的基本性质,最简分式,分式的运算,零指数,负整数,整数,整数指数幂的运算 大纲要求:
了解分式的概念,会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质,会约分,通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。 考查重点与常见题型: 1.考查整数指数幂的运算,零运算,有关习题经常出现在选择题中,如:下列运算正确的是( ) A.-40 =1 B.(-2)-1= 12 C.(-3m-n )2=9m-n D.(a+b)-1=a -1+b -1 2.考查分式的化简求值。在中考题中,经常出现分式的计算就或化简求值,有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时,要按照试题的要求,先化简后求值,化简要认真仔细,如: 化简并求值: x (x-y)2 . x 3-y 3 x 2+xy+y 2 +( 2x+2x-y –2),其中x=cos30°,y=sin90° ◆备考兵法 1.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件 分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点. 2.分式基本性质的灵活应用 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式. 3.会进行分式的四则运算 分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式. ◆考点链接 1. 分式:整式A 除以整式B ,可以表示成 A B 的形式,如果除式B 中含有 ,那么 称 A B 为分式.若 ,则 A B 有意义;若 ,则 A B 无意义;若 ,则 A B =0. 2.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的 .用式子表示为 . 3. 约分:把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.
最新人教版数学上册八年级上册数学分式练习题
分式练习题 一、选择题 1.在下列各式中:22a ,1 a b +,1 a x -,2x x ,2m -,x y x +,分式的个数是( ) A .3 B .4 C .5 D .2 2.下列各式中不是分式的是( ) A .3x B . x x C . ab xy D . 1 1x - 3.已知分式2133x x -+的值等于零,x 的值为( ) A .1 B .1± C . 1- D . 1 2 4.实数a 、b 在数轴上的对应点如图,则代数式a b a b -+的值( ) A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .不能确定 5.下列各式正确的是( ) A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中,最简分式是( ) A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-22 C 、222 2xy y x y x ++ D 、() 2 22y x y x +- 7.在等式22 211a a a a a M +++=+中,M 的值为 ( ) A. a B. 1a + C. a - D. 2 1a - 8.如果分式1 3 x x +-有意义,那么x 的取值范围是 ( ) A .0x ≠ B .1x ≠- C .3x ≠± D .3x =± 9.下列式子正确的是( ) A .22b b a a = B .0a b a b +=+ C .1a b a b -+=-- D .0.10.330.22a b a b a b a b --= ++ 10.下列分式中,计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++1 2 2 C 、1)()(22-=+-b a b a D 、 x y y x xy y x -=---1 222 11.若把分式xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 12.已知1m +1n =1m n +,则n m +m n 等于( ) A .1 B .-1 C .0 D .2 13. 6 1x +表示一个整数,则整数x 的可能取值的个数是( ) A .8 B .6 C .5 D .4 14.若0≠-=y x xy ,则分式=-x y 11( ) A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-1 15.汽车从甲地开往乙地,每小时行驶1v 千米,t 小时后可以到达,如果每小时多行驶2v 千米,那么可以提前到达的 小时数是 ( ) A .212v t v v + B .112v t v v + C .1212v v v v + D .1221 v t v t v v - 二、填空题 1.x 时,分式 4 2 -x x 有意义;当x 时,分式1223+-x x 有意义.
人教版八年级数学分式单元测试题
八年级分式单元测试题 一、填空题(每小题3分,共36分) 1、计算:()=??? ??+--10311 . 2、当x 时,分式3 13+-x x 有意义; 3、1纳米=0.000000001米,则2纳米用科学记数法表示为 米. 4、分式422-x x , 2 3-x x 的最简公分母是 。 5、计算32232)()2(b a c ab ---÷的结果是________. 6、填入适当的整式:()2a b ab a b += 7、化简:96922++-x x x =________. 8、计算:x x 1-÷??? ? ?-x 11= 。 9、如果分式1 21+-x x 的值为-1,则x 的值是 ; 10、在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中,任选两个你喜欢的式子组成一个分式 是 ,把这个分式化简所得的结果是 . 11、已知31=b a ,分式b a b a 52-+的值为 ; 12、当x 时,分式2 1x x +的值为0; 二、选择题(每小题3分,共24分) 13. 在式子a 1,1-x ,m 3,3b ,b a c -,()y x +43,5 122++x x ,n m n m +-中,分式的个数是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 14、若把分式x y xy +中的 ,x y 都扩大3倍,那么分式的值( ) A. 缩小3倍 B. 扩大3倍 C.不变 D .缩小9倍 15、下列计算错误的是( ) A 、253--=?a a a B 、326a a a =÷ C 、333 23a a a -=- D 、()1210=+- 16、化简x y x x 1?÷的结果是( ) A 1 B xy C x y D y x 17、下列公式中是最简分式的是( ) A .21227b a B .22()a b b a -- C .22x y x y ++ D .22 x y x y --
人教版八年级数学上册分式练习题(一)
分式(一) 一、选择题 1、在x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、要使分式1(1)(2) x x x ++-有意义,则x 应满足 ( ) A .x≠-1 B .x≠2 C .x≠±1 D .x≠-1且x≠2 3、下列约分正确的是( ) A 、326x x x =; B 、0=++y x y x ; C 、x xy x y x 12=++; D 、2 14222=y x xy 4、如果把分式y x xy +中的x 和y 都扩大2倍,则分式的值( ) A 、扩大4倍; B 、扩大2倍; C 、不变; D 缩小2倍 5、化简2 293m m m --的结果是( ) A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m -3 6、下列分式中,最简分式是 ( ) A.a b b a -- B.22x y x y ++ C.242x x -- D.4 422+++a a a 7、根据分式的基本性质,分式可变形为( ) (A ) (B ) (C ) (D ) 8、对分式2y x ,23x y ,14xy 通分时, 最简公分母是( ) A .24x 2y 2 B .1222y x C .242xy D .122xy b a a --b a a --b a a +b a a --b a a +-
9、下列式子(1)y x y x y x -=--122;(2)c a b a a c a b --=--;(3)1-=--b a a b ;(4)y x y x y x y x +-=--+-中正确个数有 ( ) A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 10、x -y (x≠y )的倒数的相反数 ( ) A .-1x y + B .y x --1 C .y x -1 D .y x --1 二、填空题 11、当x 时,分式5 1-x 有意义. 12、当x 时,分式1 1x 2+-x 的值为零。 13、1 x-y 当x=,y=1时,分式的值为2xy-1 _________________ 14、计算:y x y x y x ??÷?- ??? =___________________ 15、用科学计数法表示:0.000302 =__________. 16、如果 32=b a ,那么=+b a a ____ 。 17、若54145=----x x x 有增根,则增根为___________。 18、20080-22+113-?? ??? =_______________. 19、方程x x 527=-的解是 。 20、某工厂库存原材料x 吨,原计划每天用a 吨,若现在每天少用b 吨,则可以多用 天。 三、解答题 21、计算题
八年级上册数学(人教版)专题训练:分式的运算技巧
a b 3.已知 x +y =xy ,求 + -(1-x)(1-y)的值. x -4 x a +b ab ab a b ab b a 分式的运算技巧 一、条件求值的三种技巧 条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点:都是求某个式子的值.不同点: (1)前者给出的是字母满足 的条件,后者给出的是字母的值,因此前者不能直接代入计算;(2)前者中待求式子通常不需要化简,而后者则侧 重于化简. ? 技巧一 整体法 为了把已知条件和待求的式子联系起来,我们常把 a +b ,a -b ,ab ,a 2+b 2 等当作整体,因为根据题目的条件 有时不能求出 a ,b 的值,即使能求出 a 或 b 的值,也没必要求出,那样会“走弯路”或把问题复杂化.选择某个 式子作为整体不是固定不变的,应视具体条件而定,只要它能把已知和未知“沟通”起来,就可把它当作整体. 1 1 1.已知实数 x 满足 x +x =3,则 x 2+x 2的值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9 b a 2.已知 a 2+3ab +b 2=0(a≠0,b ≠0),则 + 的值等于________. 1 1 x y 2(x -1) x +6 4.已知 x 2-4x +1=0,求 - 的值. ? 技巧二 倒数法 ab a +b a +b 1 1 a +b 1 1 的倒数是 ,而 可拆成 与 的和,即 = + .这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的 问题迎刃而解.
x 4+1 x +y y +z 3 z +x 3 xy +yz +zx a +1 b +2 1+a 2 1+b 2 ab +a +1 b c +b +1 ca +c +1 +2x +1 x +1 5.若 x 2-5x +1=0,则 x 2 的值为________. 6.已知三个数 x ,y ,z 满足 xy yz 4 zx 4 xyz =-2, = , =- ,求 的值. ? 技巧三 转化法 利用分式的基本性质和已知条件,把异分母的加减法转化为同分母的加减法. a b 7.已知 a ,b 为实数,且 ab =2,则 + 的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3 3 8.若 ab =1,则 + =________. a b c 9.已知 a ,b ,c 为实数,且 abc =1,求 + + 的值. 二、异分母分式的加减法的两种技巧 异分母分式的加减法的常规做法:先确定各分式的最简公分母,再通分,这样即可把异分母分式的加减转化为 同分母分式的加减.但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算,可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母 分式的加减运算或整式的运算,从而达到异曲同工的效果. ? 技巧一 约分 x 2-1 2 10.计算x 2 + 的结果是( )
新人教版数学八年级上册——分式练习题
分式练习题 一、选择题: 1、下列式子:,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有( )个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是( ) A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是( ) A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是( ) A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是( ) A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是( ) A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是( ) A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是( ) A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解,那么k 的值应为( ) A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程,如果两人合作,6天可以完成,如果单独工作,甲比乙少用5天,两人单独工作各需多少天完成?设乙单独工作x 天完成,则根据题意列出的方程是( ) A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题: 11、分式a a -2,当a______时,分式的值为0;当a______时,分式无意义,当a______时,分式有意义
最新人教版八年级数学上册《分式》全章教学设计(精品教案)
第十五章 分式 15.1 分 式 15.1.1 从分数到分式 1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念,建立数学模型,并理解分式的概念. 2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件. 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 一、复习引入 1.什么是整式?什么是单项式?什么是多项式? 2.判断下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式? ①8m +n 3;②1+x +y 2;③a 2b +ab 23;④a +b 2;⑤2x 2+2x +1 ;⑥3a 2+b 2;⑦3x 2-42x . 二、探究新知 1.分式的定义
(1)学生看教材的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少? 分析:设江水的流速为v千米/时. 轮船顺流航行90千米所用的时间为 90 30+v 小时,逆流航行60 千米所用时间为 60 30-v 小时,所以 90 30+v = 60 30-v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题. 观察:以上的式子 90 30+v , 60 30-v , S a , V s ,有什么共同点?它 们与分数有什么相同点和不同点? 可以发现,这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式.分 数的分子A与分母B都是整数,而这些式子中的A,B都是整式,并且B中都含有字母. 归纳:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字 母,那么式子A B 叫做分式. 巩固练习:教材第129页练习第2题. 2.自学教材第128页思考:要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件? 分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母 不能为0,即当B≠0时,分式A B 才有意义.
新人教版八年级数学下册第十六章分式知识点总结
一、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式。 例1.下列各式a π,11x +,15 x +y ,22a b a b --,-3x2,0?中,是分式的有( )个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零;【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零;【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式,当x 取何值时有意义。(1)21 32 x x ++; (2)2323x x +-。 例3.下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( )。 A. 121x + B.21x x + C .231 x x + D .2 221x x + 例4.当x______时,分式21 34 x x +-无意义。当x_______时,分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知 1x -1 y =3,求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。 (0≠C ) 四、分式的通分和约分:关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值,使分式11 5101139 x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以(? )。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,则是(? )。 例8.分式434y x a +,2411x x --,22x xy y x y -++,22 22a ab ab b +-中是最简分式的有( )。 例9.约分:(1)22699x x x ++-; (2)22 32 m m m m -+- 例10.通分:(1)26x ab ,29y a bc ; (2)2 1 21a a a -++,261 a - 例11.已知x 2+3x+1=0,求x 2+ 2 1 x 的值. 例12.已知x+1 x =3,求2421x x x ++的值. 五、分式的运算: 分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。 分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 例13.当分式211x --21x +-1 1 x -的值等于零时,则x =_________。 例14.已知a+b=3,ab=1,则a b +b a 的值等于_______。 例15.计算:222x x x +--21 44x x x --+。 例16.计算:2 1 x x --x -1 例17.先化简,再求值: 3a a --263a a a +-+3a ,其中a=32 。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10 ≠=a a ; 当n 为正整数时,n n a a 1 = - ()0≠a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n 是整数) (1)同底数的幂的乘法:n m n m a a a +=?; (2)幂的乘方:mn n m a a =)(; (3)积的乘方:n n n b a ab =)(; bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=
人教版初中八年级数学上册《从分数到分式》教案
从分数到分式 教学目标 1. 了解分式概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 重点、难点 重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 教学过程 1.让学生填写[思考],学生自己依次填出:,,,. 2.问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米 所用时间 小时,所以 = . 3. 以上的式子, ,,,有什么共同点?它们与分数 有什么相同点和不同点? 可以发现,这些式子都像分数一样都是 (即A ÷B )的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数,而这些式子中的A 、B 都是整式,并且B 中都含有字母. 3、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式 有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步 解 出字母x 的取值范围. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件:○1分母不能为零;○ 2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题7 10a s 33 200s v v +20100v -2060v +20100v -2060v +20100 v -2060a s s v 231 2-+x x 1 1 2+-m m 3 2+-m m 1 -m m
人教版初中八年级数学上分式的运算教案
(1) × ;(2) ÷ . (2)见课本 P 135 的问题 2:大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 ÷ ?倍. 3 5 3×5 7 9 7×9 3 5 3 4 3×4 7 9 7 2 7×2 b c a c 15.2 分式的运算 第 1 课时 分式的乘除(一) 教学目标 1.理解并掌握分式的乘除法则,运用法则进行运算. 2.经历探索分式的乘除运算法则的过程,并能结合具体情境说明其合理性. 教学重点 理解并掌握分式的乘除法则. 教学难点 运用法则,熟练地进行分式乘除运算. 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者: ) 教 学 过 程 设 计 一、创设情景,明确目标 1.计算,并叙述你应用的运算法则. 3 5 3 5 4 9 4 9 V V m 2.(1)见课本 P 135 的问题 1:长方体容器的高为ab ,水面的高度就为:ab ·n . ?a b ? ?m n ? 从上面的问题可知,讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算,如何进行相关运算呢, 这就是我们这节课学习的主要内容. 二、自主学习,指向目标 1.自学教材第 135 至 137 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. ●合作探究 达成目标 探究点一 分式的乘除法运算法则 活动一:阅读教材,思考问题:类比分数乘除法则,你能说出分式乘除法法则吗? 观察下列运算: 2 4 2×4 5 2 5×2 2 4 2 5 2×5 5 2 5 9 5×9 × = ; × = , ÷ = × = , ÷ = × = . 【小组讨论】 a d b d 1. × =? ÷ =? 如何进行运算? 2.其运算方法和分数的乘除法有何联系?