中国人口增长预测

摘要本文根据近些年国家人口统计数据，分别用GM(1,1)模型、阻滞增长模型与按年龄分组的离散人口模型来对我国人口进行中短期和长期预测。

模型一首先对建立的GM（1,1）模型，用Matlab数学软件进行求解后，再与实际人口统计的数据进行分析比较，然后又用相关数据进行处理得到市、镇、乡各区人口男女比例，并会出男女比例图表。最后又根据人口统计数据预测了

考虑到自然资源、环境条件等因素会对人口的增长起阻滞作用，模型二运用了阻滞增长模型对未来人口进行分析预测，通过数据处理得到下图各区人口预测结果，如下图：

考虑到种群的按年龄分布，模型三运用离散型人口模型，将人口按年龄分组，对未来数年人口老龄化程度进行预测，得到未来数年我国人口老龄化突出，程度明显，预计在本世纪中叶60岁以上人口将占总人口的30%,65岁以上的人口将达25%。

经过以上的模型预测，本文较好的模拟出了未来50年的人口发展趋势，并充分运用了图表对其进行一个合理的评价。

关键词GM(1,1)模型阻滞增长模型离散型人口模型人口老龄化

一、问题重述

已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量的数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出所建立模型中的优点与不足之处。

二、 符号说明

(0)()X k 第k 年总人口量（k =1,2,3…）

人口增长率

m x 自然资源和环境所能容纳的最大人口数量

()i x k 时段k 第i 年龄组种群数量（0,1,2,,1,2,,k i n == ） i b 第i 年龄组的繁殖率

i d 第i 年龄组的死亡率 i s 第i 年龄组的成活率

()i b k 第k 年i 岁女性生育率

()k β k 年i 岁的每位女性的总和生育率

()N t t 时刻总人口数

三

1．不考虑自然灾害、战争等引起的人口分布变化； 2.无较大的国际性人口迁移； 3.年龄为i 但不足1i +的记为i 岁； 4.当年龄超过90岁的以90岁计算； 5.60或65岁以上人口为老龄人口。

四、模型建立与求解

r

模型一

建立灰色预测GM(1,1)模型，记2001年为第一年，第k 年总人口量为()

()0X k ，

做一次累加(AGO)生成数列

(1)

(0)1

()(),(1,2,,10)k m X k X m k ===∑

有灰微分方程的白化型：

(1)

(1)dx ax b dt

+= 令Y=()(0)(0)(0)(2),(3),,(5)T

x x x

u=(),T a b (1)

(1)

(1)(1)(1)(1)1(1)(2)211(2)(3)2(4)(5)1112x x x x B x x ??

??-+ ???

? ???-+ ???= ? ?

? ???+ ??

???

-

由最小二乘得?u

=()

??,T

a b =()1T T B B B Y - 求解得

(1)(0)(1)((1)),1,2,,5,ak b b

x k x e k a a

-+=-+=

且()

0?x

(k+1）=(1)(1)(1)(),1,2,,5,x k x k k +-= 通过以上公式的数据求解，然后进行如下的 预测值检验： 4.1.1残差检验：令残差为()k ε，计算得

(0)(0)

(0)()()

(),1,2,,5()

x k x k k k x k ε-==

如果()0.2k ε<，则可认为达到一般要求；如果()0.1k ε<，则可认为达到较高要求。

4.1.2级比偏差值检验：首先由参考数据(0)(0)(1),()x k x k -计算出级比()k λ，再用

发展系数a 求出相应的级比偏差

10.5()1(

)()10.5a

k k a

ρλ-=-+

如果()0.2k ρ<，则可认为达到一般要求；如果()0.1k ρ<，则认为达到较高

首先，利用excel以及利用相关数据得到各地区男女比例：

图一：各地区男女比例

其次，综合灰色预测算法，利用Matlab进行数据处理计算得到以下结果

表一：

表二：2001-2005市人口统计值与模型值

图二：

由以上灰色预测的结果可知：2001——2005年的预测值与原始值的相对误

差以及级比偏差都<0.1，所以证明模型的建立比较准确。又由于灰色预测离散型模型只能预测短期的值，所以通过matlab 计算的到一下数据：

4.2模型二

由于自然资源、环境条件等因素会对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口数量的增长，其受到的阻滞作用也越来越大。因此，当人口增长到一定数目后增长率会下降。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 会随着人口数量的增加而逐渐下降。如果将r 表示为x 的函数()r x ，则它应是减函数。可得到微分方程

0(),(0)dx

r x x x x dt

== （1） 对()r x 的一个最简单的假定是，设()r x 为x 的线性函数，即

()r x r sx =- (0,0)r s >> （2）

r 称为固有增长率，表示人口很少时（理论上是0x =）的增长率。为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称人口容量。当m x x =时人口不再增长，即增长率()0m r x =，代入（2）式得m

r

s x =，于是（2）式为

()(1)m

x

r x r x =-

（3）

(3)式的另一种解释是，增长率()r x 与人口尚未实现部分的比例m m

x x

x -成正比，比例系数为固有增长率r 。 将（3）代入方程（1）得

0(1),(0)m

dx x

rx x x dt

x =-= （4）

方程（4）右端的因子rx 体现人口自身的增长趋势，因子(1)m

x

x -则体现了资源和

环境对人口增长的阻滞作用。显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。 方程（4）可以用分离变量法求解得到

()1(1)m

rt

m x x t x

e x -=

+-

由附录二用matlab 分别求得以下数据：

表六：各区,,m r s x 值

然后运用*0

()1(1)*m

r t

m x x t x

e x -=

+-公式，用matlab 求得2011-------2025的数据如下

表：

表七：2011～2025年各区人口预测 （单位：710人）

图三：2011～2025各地区人口值 （单位：万人）

继续运用阻滞增长模型求得2026----2050年各地区人口数如下表：

表八：未来25年中国各地区人口数（单位：710人）

及中国总人口达到峰值，且值为16.1万亿左右。

表四：2043----2050年人口预测图

4.3模型三

在种群数量发展过程中，不同年龄动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，它们对种群数量的增减有着重要影响。事实上，在人口预测中人口按年龄的分布十分重要，本模型将考虑按年龄分组来预测我国人口的发展状况。

模型建立 将种群按年龄大小等间隔地分成n 个年龄组，本模型中以每1岁为1个年龄组。与年龄的离散化相对应，时间也离散为时段，且时段的间隔与年龄区间的大小相等，即以1年为1个时段。

种群是通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量均指种群中的雌性。

记时段k 第i 年龄组种群数量为(),0,1,2,,1,2,,i x k k i n == ，第i 年龄组的繁殖率为i b ，即第i 年龄组每个雌性个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i 年龄组的死亡率为i d ，即第i 年龄组1个时段内死亡数与总数之比。1i i s d =-称为成活率。这里假设i b 和i d （从而i s ）不随时段k 变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。i b 和i s 可由统计资料获得。()i x k 的变化规律由以下的基本事实得到：时段1k +第1年龄组种群数量是时段k 各年龄组繁殖数量之和，即

11(1)()n

i i i x k b x k =+=∑ （1）

时段1k +第1i +年龄组的种群数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，即

1(1)(),1,2,,1i i i x k s x k i n ++==- （2）

记时段k 种群按年龄组的分布向量为

12()[(),(),,()]T n x k x k x k x k = （3）

由繁殖率i b 和存活率i s 构成的矩阵

1211

21000000

n n n b b b b s L s s --??

????=??

??

??

（4） 则（1），（2）可表为

(1)(),0,1,2,x k Lx k k +== （5）

当矩阵L 和按年龄组的初始分布向量(0)x 已知时，可预测任意时段k 种群按年龄组的分布为

()(0),1,2,k x k L x k == （6）

有了()x k 不难算出时段k 种群的总数。

4.3.2人口模型 为方便起见本模型只涉及女性人口（考虑性别比函数即可得到

,且以1岁为1个年龄组，1年为1个年龄段，即k 年i 岁的女性人数为

()i x k 。设生育率与年龄和时间有关，记k 年i 岁女性生育率（每位女性平均生育

的女儿数）为()i b k ，育龄区间为12[,]i i 。设死亡率只与年龄有关，记k 年i 岁女性死亡率为i d ，存活率为i s 。

进一步将()i b k 分解为

2

1()(),1

i i i i i i b k k h h β===∑ (7)

其中i h 为生育模式，而()k β满足

2

1

()()

i i i i k b k β==∑ (8)

是k 年所有育龄女性平均生育的女儿数，若女性在育龄期所及的时间内保持生育率不变，则()k β就是k 年1i 岁的每位女性一生平均生育女儿数，即总和生育率（或生育胎次），是控制人口数量的主要参数。

仍用()x k 表示女性人口的（按年龄）分布向量，如（3）式，为表明()k β的作用，将（4）式是L 矩阵作如下分解。记

1

210000000000n s A s s -????????=??

??????

，1200000000000i i h h L ??????=????????

(9)

则模型（5）式应表为

(1)()()()

x k Ax k k Bx k β+=+

(10)

当根据统计资料知道了人口的初始分布(0)x 和存活率矩阵A ，并给出了生育模式矩阵B ，就可用不同的总和生育率()k β来预测或控制未来的人口数量。

首先利用有关数据求得各地区人口生育模式如下表：

图四：各地区生育模式

其次，利用人口存活率等数据进行处理，求得不同地区存活率等数据如下表：

表十：各地区人口存活率

970

9759809859909951000h （市）

h （镇）

h （乡）

各地区生育模式

总计

4.3.3人口发展方程 使人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移。为简化起见只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响。

在时刻t ，年龄小于r 人口记作(,)F r t ，t 和r 均为连续变量，设F 是连续、可微函数，称人口分布函数。时刻t 的人口总数记作()N t ，最高年龄记作m r （理论推导时设m r →∞）。于是对于非负非降函数(,)F r t 有

(0,)0,(,)()m F t F r t N t == (1)

定义

(,),0m F

p r t r r r

?=

≤≤? （2） 称年龄密度函数。(,)p r t dr 表示时刻t 年龄在区间[,)r r dr +内的人数。(,)p r t 非负，且

(,)0m p r t = (3)

记(,)r t μ为时刻t 年龄r 的人的死亡率，其含义是，(,)(,)r t p r t dr μ表示时刻t 年龄在[,)r r dr +内单位时间死亡的人数。

为了得到(,)p r t 满足的方程，考察时刻t 年龄在[,)r r dr +内的人到时刻t dt +的情况。他们中活着的一部分人的年龄变为11[,)r dr r dr dr +++，这里1dr dt =。而在dt 这段时间内死亡的人数为(,)(,)r t p r t drdt μ。于是

1(,)(,)(,)(,)p r t dr p r dr t dt dr r t p r t drdt

μ-++= (4)

上式可写作

1[(,)(,)][(,)(,)](,)(,)p r dr t dt p r t dt p r t dt p r t drdt r t p r t drdt

μ++-+++-=- (5)

1dr dt =就可得到

(,)(,)

p p

r t p r t r t μ??+=-?? (6)

这是年龄密度函数(,)p r t 的一阶偏微分方程。其中死亡率(,)r t μ为已知函数。 4.3.4人口的评价 经过以上的预测与数据处理，接下来可以对未来50年人口

的评估与分析：

4.3.4（1）人口抚养比

人口抚养比是指总体人口中非劳动年龄人口数与劳动年龄人口数之比。通常用百分比表示。说明每100名劳动年龄人口大致要负担多少名非劳动年龄人口。根据劳动年龄人口的两种不同定义（15岁—59岁人口或15岁—64岁人口），计算总抚养有两种方式。所以通过对各年龄段 的人口进行规划得到如下图形： 图四：人口抚养比

从上图结果得知我国人口抚养比将在未来数年连续减少。 4.3.4（2）人口老龄化

人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态点击此处添加图片说明过程。国际上通常把60岁以上的人口占总人口比例达到10％，或65岁以上人口占总人口的比重达到7％作为国家或地区进入老龄化社会的标准。两个含义：一是指老年人口相对增多，在总人口中所占比例不断上升的过程；二是指社会人口结构呈现老年状态，进入老龄化社会。国际上通常看法是，当一个国家或地区60岁以上老年人口占人口总数的10%，或65岁以上老年人口占人口总数的7%，即意味着这个国家或地区的人口处于老龄化社会。为了更具说服力，接下来分别以60岁与65岁以上的人口为老龄人口进行数据统计与处理：

图五：2005～2050年人口老龄化比例

从上图中看出未来数年我国人口老龄化程度加剧，呈逐年上升趋势。其中60岁以上人口在本世纪中叶将达30%，65岁以上人口将达25%。

五、模型评估与改进

亮点：

1.运用了离散形式模型，它的优点是便于用计算机作数值计算，可用不同的总和生育率来预测或控制未来的人口数量。

2 在长期的预测中，本文利用了logistic模型，充分考虑了相关因素，使预测结果较准确。

3.本文充分发挥了图表模式，让数据结果更鲜明。

不足之处：

1.用阻滞增长模型来描述种群的数量变化时，未考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总量的固有增长率决定。

2.由于不同动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，不能更精细地预测种群未来的增长。

3.未了预测长期的人口数量增长情况，在建立差分方程模型的基础上，将生育率、生育模式等概念引入所建立的模型式，得到了离散形式的人口模型。

模型改进：

1.对中期预测中，可以综合考虑出生率，死亡率，人口迁移率，生育模式，人口老龄化等等因素对人口发展的影响，然后分析各因素对人口的影响度，即对比计算各因素与人口增长的关联度，并确定各因素的权重，最后根据人口基数以及已知各地区人口数据对其进行预测。

2.对于长期人口预测，可以综合城市的饱和，国家的政策等，将各地区人口增长数乘以一个合理的权重，使模型结果更接近于实际。

参考文献

中国统计年鉴

[2]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.

[3]W.F.Lucas.微分方程模型（朱熠民等译）,国防科技大学出版社，1988

[4]Song Jian(宋健),Yu Jingyuan(于景元).Population System

Control.Springer-Verlay,1988

[5]马莉著《matlab语言实用教程》，北京：清华大学出版社 2011.1

[6]张德丰等著《matlab概率与数理统计分析》，机械工业出版社，2010.1

[7]周品何正风等著《matlab数值分析》，机械工程出版社，2010.1

程序代码：

（1）灰色预测前数据的预处理

for i=2:5 %2到5行的数

a= t(i-1,2)/t(i,2)

if a<0.55 || a>1.4

for n=1:5

t(n,2)=t(n,2)+1000;

end

i=2;

a= t(i-1,2)/t(i,2);

end

end %人口预测数据处理过即灰色预测模型中的条件满足

t

（2）灰色预测

x0=h %h为导入的数据

n=length(x0);

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n);

range=minmax(lamda);

x1=cumsum(x0);

for i=2:n

z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));

end

B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];

Y=x0(2:n)';

u=B\Y %求a，b

x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0'); %dsolve 求微分值

% eg.dsolve('Dx = -a*x') returns ans = C1/exp(a*t)

x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});

yucel=subs(x,'t',[0:n-1])

digits(6),y=vpa(x) %为了提高精度，先计算预测值，再显示微分方程的解 yuce=[x0(1),diff(yucel)]

epsilon=x0-yuce %计算差值

delta=abs(epsilon./x0) %计算残差

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda %计算级比偏差值

（3）Leslie 模型

A=zeros(91);

for i=1:90

A(i+1,i)=s(i,9);

end

B=zeros(91);

for i=1:35

B(1,i+14)=s(i,13); %按年龄分组的 Leslie模型 p 219 end

x(:,1)=s(:,2);

for k=2:46

x(:,k)=(A+B.*1.5).^k*x(:,1);

end

x

（4）未来100年不同地区各年龄人口的计算

for n=1:3

for t=1:100

x(t,n)=y(1,n)/(1+(y(1,n)/y(3,n)-1)*exp(-y(2,n)*t));

end

end