陕西省2020年中考25题几何探究---“阿氏圆”问题 (包含答案)

几何探究型问题(针对第25题)

“阿氏圆”问题

【问题背景】“PA＋k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA＋PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．

【模型分析】如图1，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r＝k·OB，连接PA，PB，则当PA＋k·PB的值最小时，点P的位置如何确定？

如图2，在线段OB上截取OC，使OC＝k·r，则可证明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC．故求PA＋k·PB的最小值可以转化为PA＋PC的最小值，其中A，C为定点，P为动点，当点P，A，C共线时，PA＋PC的值最小，如图3.

“阿氏圆”模型解题策略：

第一步：连接动点与圆心O (一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；

第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OP

OB

＝k ；

第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OP

OB ；

第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P . 例题

1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋1

2BP 的最小

值．

解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．

∵

CD CP ＝CP BC ＝1

2

，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝1

2，

∴PD ＝12BP ，∴AP ＋1

2BP ＝AP ＋PD ，

∴要使AP ＋1

2BP 最小，则AP ＋PD 最小，

当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小， 即AP ＋1

2BP 的最小值为AD 的长．

在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，

∴AP ＋1

2BP 的最小值为37.

2.问题提出

(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.

解题思路

当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值． 【解答】

∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值， ∴线段AC 的最小值为5－2＝3. 问题探究

(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC 的中

点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵

上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.

①求证：△OAP ∽△OPF . 【解答】

∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝1

2.

∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝1

2，

∴

OA OP ＝OP

OF

，且∠AOP ＝∠POF ， ∴△OAP ∽△OPF . ②求BP ＋2AP 的最小值．

【解答】

∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝1

2

，

∴PF ＝2AP .

∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，

∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长． ∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12， ∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13. 问题解决

(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计) 解题思路

以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵

上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．

以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵

上一点，连

接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作

DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD

上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．

∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )， ∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值． ∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°. ∵DG ⊥BC ，

∴DG ＝1

2DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)，

∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)， ∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，

∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元． 作业练习

类型三 “阿氏圆”问题

7．(2018·西工大附中三模) 问题提出

(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；

问题探究

(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋1

2PD 的

最小值；

问题解决

(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋3

5

MD 的最小值．

解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．

证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ， 在△BAD 和△CAE 中，????

?

AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，

AD ＝AE ，

答图1

∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝3

2.

∵P A 2＝9，AE ·AD ＝3

2×6＝9，

∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AE

P A

.

∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴

PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝1

2

PD ， ∴PC ＋1

2PD ＝PC ＋PE .

∵PC ＋PE ≥EC ，

∴PC ＋1

2

PD 的最小值即为EC 的长，

在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝9

2

，

∴EC ＝

62＋(92)2＝152

，

∴PC ＋12PD 的最小值为15

2

.

答图

(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225， ∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AE

MA

.

∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴

EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝3

5

MD ， ∴MC ＋3

5MD ＝MC ＋ME .

∵MC ＋ME ≥EC ，

∴MC ＋3

5

MD 的最小值即为EC 的长．

如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求． 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋3

5

MD 的最小值为2145.

8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －1

2

PC 的最大值；

(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，

那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －2

3

PC 的最大值为

(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一

个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －1

2

PC 的最大值为

解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG . ∵

PB BG ＝CB

PB

＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴

PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝1

2

PC ， ∴PD ＋1

2PC ＝PD ＋PG .

∵PD ＋PG ≥DG ，

∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋1

2PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.

∵PD －1

2

PC ＝PD －PG ≤DG ，

∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －1

2

PC 的值最大，最大值为5.

答图

(2)106，106.

【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵

PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP

. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴

PG CP ＝BG BP ＝23

， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋2

3PC ＝DP ＋PG .

∵DP ＋PG ≥DG ，

∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋2

3PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.

∵PD －2

3

PC ＝PD －PG ≤DG ，

∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －1

2

PC 的值最大，最大值为106.

答图

(3)37，37.

【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .

∵

PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP

. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴

PG CP ＝BG BP ＝12

，

∴PG ＝12PC ，∴PD ＋1

2PC ＝DP ＋PG .

∵DP ＋PG ≥DG ，

∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋1

2PC 的值最小，最小值为DG 的长．

在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，

∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋1

2PC 的最小值为37.

∵PD －1

2

PC ＝PD －PG ≤DG ，

∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －1

2PC 的值最大，最大值为37.