2020年北京市101中学中考数学(4月份)模拟试卷 (解析版)
2020年中考数学模拟试卷（4月份）
一、选择题（共8小题）
1．如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
2．实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，若mn＜0，且|m|＜|n|，则原点可能是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．如果a﹣b＝，那么代数式（﹣a）?的值为（）
A．﹣B．C．3D．2
4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°
5．今年是我国建国70周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力，北京科技创新能力不断增强，下面的统计图反映了2010﹣2018年北京市每万人发明专利申请数与授权数的情况．
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）
A．2010﹣2018年，北京市毎万人发明专利授权数逐年增长
B．2010﹣2018年，北京市毎万人发明专利授权数的平均数超过10件
C．2010年申请后得到授权的比例最低
D．2018年申请后得到授权的比例最高
6．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920
重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）
A．22.5B．25C．27.5D．30
7．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB 的中点，连结CM．则线段CM的最大值是（）
A．3B．C．D．5
8．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：
①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；
②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；
③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；
④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO
均成立．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．
10．用一组a，b，c的值说明命题“若ac＝bc，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝，b＝，c＝．
11．如图，某人从点A出发，前进5m后向右转60°，再前进5m后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了m．
12．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
13．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝°．
14．如图，在矩形ABCD中，过点B作对角线AC的垂线，交AD于点E，若AB＝2，BC ＝4，则AE＝．
15．2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列方程为．
16．在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：
①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；
②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；
③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；
④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．
所有正确说法的序号是．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题0分，第23～26题，每小题0分，第27，28题，每小题0分）
17．计算|﹣5|﹣2sin60°﹣（2019﹣π）0．
18．解不等式组：
19．已知：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法作出这两条直线所成角的角平分线？
小明的做法是：
（1）如图2，画PC∥a；
（2）以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；
（3）连结AD并延长交直线a于点B；
请你先完成下面的证明，然后完成第（4）步作图：
∵PC∥a，
∴∠1＝∠PDA（）
∵以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D，
∴PA＝PD，
∴∠PAB＝∠，
∴∠PAB＝∠1，
∴以直线a，b的交点和点A、B为顶点所构成的三角形为等腰三角形．
根据上面的推理证明完成第（4）步作图：
（4）请在图2画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），尺规作出图形，并保留作图痕迹．
第（4）步这么作图的理论依据是：．
20．已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y＝与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标
（1）求点B的坐标；
（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；
（3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
23．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B．点D在⊙O上，且BC＝BD，连接CD交⊙O于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．
（1）求证：∠MED＝∠MDE．
（2）连接BE，若ME＝3，MB＝2．求BE的长．
24．为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办普法知识竞赛，该区某单位甲、乙两个部门各有员工200人，要在这两个部门中挑选一个部门代表单位参加今年的竞赛，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了法律知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b．乙部门成绩如下：
40 52 70 70 71 73 77 78 80 81
82 82 82 82 83 83 83 86 91 94
c．甲、乙两部门成绩的平均数、方差、中位数如下：
平均数方差中位数甲79.636.8478.5
乙77147.2m d．近五年该单位参赛员工进入复赛的出线成绩如下：
2014年2015年2016年2017年2018年出线成绩（百分制）7981808182根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）可以推断出选择部门参赛更好，理由为；
（3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为．
25．如图，P是直径AB上的一点，AB＝6，CP⊥AB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置…
AP0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00…
BC 6.00 5.48 4.90 4.24 3.46 2.45…
OD 6.717.247.07 6.71 6.16 5.33…
在AP，BC，OD的长度这三个量中确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，推断：当OD＝2BC时，线段AP的长度约为．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
27．已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P 在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”．
（1）已知点A（4，0）；
①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的
腰长；
②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5
上，则点B的坐标为；
（2）⊙T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线y＝x+4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】观察图形，直接判断结果．
解：观察图形，张开的两脚所形成的角大约是60°，
故选：B．
2．实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，若mn＜0，且|m|＜|n|，则原点可能是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】由若mn＜0可知，m、n异号，所以原点可能是点B或点C，而又由|m|＜|n|即可根据距离正确判断．
解：∵mn＜0
∴m、n异号
∴原点可能是点B或点C
又由|m|＜|n|，观察数轴可知，原点应该是点B．
故选：B．
3．如果a﹣b＝，那么代数式（﹣a）?的值为（）
A．﹣B．C．3D．2
【分析】先化简分式，然后将a﹣b＝代入计算即可．
解：原式＝
＝
＝﹣（a﹣b），
∵a﹣b＝，
∴原式＝﹣，
故选：A．
4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（）A．45°B．60°C．72°D．90°
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴正多边形的一个外角＝360÷5＝72°．
故选：C．
5．今年是我国建国70周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力，北京科技创新能力不断增强，下面的统计图反映了2010﹣2018年北京市每万人发明专利申请数与授权数的情况．
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）
A．2010﹣2018年，北京市毎万人发明专利授权数逐年增长
B．2010﹣2018年，北京市毎万人发明专利授权数的平均数超过10件
C．2010年申请后得到授权的比例最低
D．2018年申请后得到授权的比例最高
【分析】根据统计图得出各年的具体数据，依据增长情况和百分比概念逐一判断即可得．解：A．2010﹣2018年，北京市毎万人发明专利授权数在2012﹣2013年不变，此选项错误；
B．2010﹣2018年，北京市毎万人发明专利授权数的平均数为
≈13.7，超过10件，此选项正确；
C．2014年申请后得到授权的比例最低，此选项错误；
D．2017年申请后得到授权的比例最高，此选项错误；
故选：B．
6．弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：弹簧总长L（cm）1617181920
重物重量x（kg）0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（）
A．22.5B．25C．27.5D．30
【分析】根据表格数据，建立数学模型，进而利用待定系数法可得函数关系式，当x＝5时，代入函数解析式求值即可．
解：设弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系式为L＝kx+b，
将（0.5，16）、（1.0，17）代入，得：，
解得：，
∴L与x之间的函数关系式为：L＝2x+15；
当x＝5时，L＝2×5+15＝25（cm）
故重物为5kg时弹簧总长L是25cm，
故选：B．
7．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB 的中点，连结CM．则线段CM的最大值是（）
A．3B．C．D．5
【分析】解方程x2﹣8x+15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝AP，从而得到CM的最大值．
解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），
AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CM＝AP，
∴CM的最大值为．
故选：C．
8．如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上．有如下四个结论：
①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE＝∠DCE；
②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE＝∠AEC；
③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；
④在∠ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），∠DCE＝∠ABO+∠AEO
均成立．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A．①②③B．①③④C．②④D．①②③④【分析】①当BE是⊙O的直径时，根据圆周角定理和邻补角的定义得到结论；②当AE ∥BC时，得到＝，根据圆周角定理得到结论；③当点E是的中点时，根据角平分线的定义得到结论；④根据圆内接四边形的性质和四边形的内角和得到结论．解：①当BE是⊙O的直径时，∠BCE＝∠DCE＝90°，故①正确；
②当AE∥BC时，＝，
∴＝，
∴∠BAE＝∠AEC；故②正确；
③当点E是的中点时，EO平分∠AEC；故正确；
④如图2，∵∠A＝∠ECD，∠A+∠BOE＝180°，
∴∠ABO+∠AEO＝360°﹣∠A﹣∠BOE＝360°﹣∠DCE﹣2（180°﹣∠DCE），∴∠DCE＝∠ABO+∠AEO，故正确；
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．
【分析】由质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的有3种情况，
∴投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是偶数的概率为：＝．
故答案为：．
10．用一组a，b，c的值说明命题“若ac＝bc，则a＝b”是错误的，这组值可以是a＝﹣1，b＝﹣2（答案不唯一），c＝0．
【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．
解：当c＝0，a＝﹣1，b＝﹣2，
所以ac＝bc，但a≠b，
当c＝0，a＝3，b＝﹣2，
所以ac＝bc，但a≠b，
故答案不唯一；
故答案为：﹣1，﹣2（答案不唯一），0．
11．如图，某人从点A出发，前进5m后向右转60°，再前进5m后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了30m．
【分析】从A点出发，前进5m后向右转60°，再前进5m后又向右转60°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，所走路径为正多边形，根据正多边形的外角和为360°，判断多边形的边数，再求路程．
解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则60n＝360，解得n＝6，
∴他第一次回到出发点A时一共走了：5×6＝30（m），
故答案为：30．
12．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是锐角三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【分析】根据三边的长可作判断．
解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：锐角．
13．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，作直线BC，连接AB，AC，若∠P＝80°，则∠C＝50°．
【分析】根据切线的性质得出∠PAO＝∠PBO＝90°，求出∠AOB的度数，根据圆周角定理求出∠C即可．
解：连接OA，
∵过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝80°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
∴∠C＝AOB＝50°，
故答案为：50．
14．如图，在矩形ABCD中，过点B作对角线AC的垂线，交AD于点E，若AB＝2，BC ＝4，则AE＝1．
【分析】根据矩形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，根据勾股定理得到AC＝＝2，设AC与BE交于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，
∴AC＝＝2，
设AC与BE交于F，
∵BE⊥AC，
∴AB2＝AF?AC，
∴AF＝＝，
∴CF＝AC﹣AF＝，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝1，
故答案为：1．
15．2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，依题意，可列方程为﹣＝720．
【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒列出方程即可．
解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，
根据题意，得﹣＝720．
故答案为﹣＝720．
16．在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点（与点A，D不重
合），连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF．下列说法：
①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；
②当∠ABC＞90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；
③当AB＜AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；
④当∠ADB＝45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．
所有正确说法的序号是①③．
【分析】①根据平行四边形的性质及判定定理可迅速作出判断；
②可以举出反例进行否定；
③由于有AB＜AD的限制，则BD的垂直平分线与AD的交点一定在A、D之间；
④可以举出反例进行否定．
解：（1）如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠ODE＝∠OBF，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
即E在AD上任意位置（不与A、D重合）时，四边形BEDF恒为平行四边形，故选项①正确．
（2）如图2，
四边形BEDF不是矩形，故选项②错误．
（3）如图3，
当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，由于AB＜AD，即AB＜AE+BE，可以保证E点AD上，故一定存在点E满足要求，故选项③正确．
（4）如图4，
∠ADB＝45°，但四边形BEDF不是正方形，故选项④不对．
故答案为：①③．