(抽样检验)抽样技术课后答案

第二章习题

2.1判断下列抽样方法是否是等概的：

（1）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，若r=0或r>64则舍弃重抽。 （2）总体编号1~64，在0~99中产生随机数r ，r 处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽中64.

（3）总体20000~21000，从1~1000中产生随机数r 。然后用r+19999作为被抽选的数。

解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽取样本。第二，每个单元被抽中的概率是已知的，或者是可以计算的。第三，当用样本对总体目标进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。 因此（1）中只有1~64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）是等概的。 2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值y 的定义和性质有哪些不同？

2.3为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进行，现得到其日用电平均值=y 9.5（千瓦时），=2s 206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。如果希望相对误差限不超过10%，则样本量至少应为多少？

解：由已知可得，N=50000，n=300，5.9y =，2062=s

1706366666206*300

50000300

1500001)()?(222=-

=-==s n

f N y N v Y

V 19.413081706366666(==）y v 该市居民用电量的95%置信区间为

[])(y [2

y V z N α±=[475000±1.96*41308.19]

即为（394035.95，555964.05） 由相对误差公式

y

)

(v u 2y α≤10%

可得%10*5.9206*n

50000

n 1*

96.1≤- 即n ≥862

欲使相对误差限不超过10%，则样本量至少应为862

2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽取了两百名学生进行调查，得到P=0.35，是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%置信区间。

解析：由已知得：10000=N 200=n 35.0=p 02.0==N

n

f

又有：35.0)()(===∧p p E p E 0012.0)1(1

1)(=---=∧p p n f

p V

该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：

])()([2

∧

∧±P V Z P E α

代入数据计算得：该区间为[0.2843，0.4157]

2.5研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：

编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8

100

18

180

9 110 19 170 10 240 20 120

估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：200=N 20=n

根据表中数据计算得：5.14420120

1

==∑=i i y y

()

06842.827120120

1

22

=--=∑=i i

y y s 21808.37)1(1)(2=-=

s N n

n y V 10015.6)(=y V ∴ 该小区平均文化支出Y 的

95%置信区间为：])(y [2

y V z α±即是：

[132.544 ,156.456]

故估计该小区平均的文化支出Y =144.5,置信水平95%的置信区间为[132.544 ,156.456]。

2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到y =1120（吨），25602=S ，据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由题意知：y =1120 1429.0350

50

n ===

N f 25602=S ?160=s 置信水平95%的置信区间为：]1y [2

s n

f

z -±α

代入数据得： 置信水平95%的置信区间为：[1079.872，1160.872]

2.7某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置信水平95%，现根据以前的调查结果，认为总体方差682=S ，是确定简单随机抽样所需的样本量。若预计有效回答率为70%，则样本量最终为多少?

解析：简单随机抽样所需的样本量2

2

22

2

12

2

S Z Nd S NZ n αα+=

%

701

2n n =

由题意知：1000=N 2=d 682

=S 96

.12

=αZ

代入并计算得：613036.611≈=n

87142.87%701

2≈==

n n

故知：简单随机抽样所需的样本量为61，若预计有效回答率为70%，则样本量最终为87

2.8某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25=y ，这些企业去年的平均产量为22=x 。试估计今年该地区化肥总产量。

解析：由题可知22x =，

35.211002135===

N X X ,25y =

则，该地区化肥产量均值Y 的比率估计量为

26

.242425

35.21===∧

x y X

Y

该地区化肥产量总值Y 的比率估计量为 242626.24*100??===R Y N Y 所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。

2.9如果在解决习题2.5的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表：

置信水平95%的置信区间，并比较比估计和简单估计的效率。

解析：由题可知1580

130017002300201

x n 1x n 1i i =+++==∑=）（Λ

5.144y =

091.015805.144?=≈===x y r R

又

329.14615805.144*1600x y y ===X

R

053.826)(111

22

=--=∑=n

i i y y n S

158.3463))((111

=---=∑=n

i i i xy

x x y y n S

579.8831)(111

22

=--=∑=n i i

x

x x n S

故平均文化支出的95%的置信区间为

,)??2(1[2222

x yx R S R S R S n f Z y +---α])??2(1222

2x

yx R S R S R S n f Z y +--+α

代入数据得（146.329±1.96*1.892）

即为[142.621,150.037]

2.10某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。现从中抽取10头，记录重量，3个月后再次测量，结果如下：

的结果进行比较。

解：由题可知，6.1021059510

1

x n 1x n 1i i =++==∑=）

（Λ 16317015010

1

y n 1y n 1i i =+==∑=）（

Λ 222.2121910*9

1)(1112

2

==--=∑=n i i

y y n S 333.1461317*9

1))((111==---=∑=n i i

i xy

x x y y n S

933

.

106

4.

926

*

9

1

)

(

1

1

1

2

2=

=

-

-

=∑

=

n

i

i

x

x

x

n

S

故有368

.1

933

.

106

333

.

146

2

=

=

=

x

xy

S

S

β

所以总体均值Y的回归估计量为

443

.

159

)6.

102

100

(*

368

.1

163

)

(

=

-

+

=

-

+

=x

X

y

y

lr

β

其方差估计为：

)

2

(

1

)

(?

2

2

2

xy

x

lr

S

S

S

n

f

y

Vβ

β-

+

-

=

=)

333

.

146

*

368

.1

*

2

933

.

106

*

368

.1

222

.

212

(

10

120

10

1

2-

+

-

=1.097

而2

1

y(?S

n

f

V

-

=

）

=222

.

212

*

10

120

10

1-

=19.454

显然)

(?

)

(?y

V

y

V

lr

<

所以，回归估计的结果要优于简单估

第三单元习题答案（仅供参考）

1解：（1）不合适

（2）不合适

（3）合适

（4）不合适

2．将800名同学平均分成8组，在每一级中抽取一名“幸运星”。

h

1 10 256 0.3033 0.0391 11.

2 2867.2 94.4

2 10 420 0.4976 0.0238 25.5 10710 302.5

3 10 168 0.1991 0.0595 20 3360 355.6

总计30 844 1 16937.2 ==20.1

V（）=-

=9.7681-0.2962

=9.4719

=3.0777

（2）置信区间为95%相对误差为10%，则有

按比例分配的总量：n==185.4407185 =n=56，=92，=37

按内曼分配：n==175

=33，=99，=43

h

1 0.18 0.9

2 0.21 0.933

3 0.1

4 0.9

4 0.08 0.867

5 0.1

6 0.933

6 0.22 0.967

==0.924

根据各层层权及抽样比的结果，可得

（）==0.000396981

=1.99%

估计量的标准差为1.99%，比例为9.24%

按比例分配：n=2663

=479，=559，=373，=240，=426，=586 内曼分配：n=2565

=536，=520，=417，=304，=396，=392 5．解：由题意，有

==75.79

购买冷冻食品的平均支出为75.79元

又由V（）=+

又n=

V（）=53.8086

=7.3354

95%的置信区间为[60.63，90.95]。

7．解：（1）对

（2）错

（3）错

（4）错

（5）对

8．解：（1）差错率的估计值=70%+30%=0.027 估计的方差v（）==3.1967

标准差为S()=0.0179。

（2）用事后分层的公式计算差错率为==0.03

估计的方差为；v （）=-=2.5726

第一层

第二层

3，5 0，3 8，15 6，9 3，10 0，6 8，25 6，15 5，10

3，6

15，25

9，15

（2）用分别比估计，有=0.4，

=0.65，所以用分别比估计可计算得=6.4。

用联合比估计，有=0.5，=0.625，所以用联合比估计可计算得=6.5。

第四章习题

4.1 邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个

群

各户订报数ij y

i y

1 1，2，1，3，3，2，1，4，1，1 19

2 1，3，2，2，3，1，4，1，1，2 20

3 2，1，1，1，1，3，2，1，3，1 16

4 1，1，3，2，1，5，1，2，3，1 20 解：由题意得到400=N ，4=n ，10=M ，01.0400

4===

N n f 故875.14

1020

1620191?1

=?+++=

=

=∑

=n

i i y Mn

y Y （份）

75.18875.110=?=?=y M y （份） 750040010?=?=??=y N M Y

（份）

∑=--=

n

i i

b

y y

n M s 1

22)(1

∑=---=

-=n

i i

b y y

n nM f s nM f y v 1

222)(1

111)(

14)75.1820()75.1819(10401.012

22

--++-?

?-=Λ 00391875.0=

6270000391875.010400)()?(2222=??==y v M N Y

v 于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为 1.875，估计量方差为

0.00391875。该辖区总的订阅份数为7500，估计量方差为62700。

4.2 某工业系统准备实行一项改革措施。该系统共有87个单位，现采用整群抽

样，用简单随机抽样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政

（2） 在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允

许误差不超过8%，则应抽取多少个单位做样本?

解：题目已知87=N ，15=n ，87

15

=

=N n f 1）由已知估计同意改革的比例

709.0911

646

?1

1

≈=

=∑∑==n i i

n

i i

M

y

p

733.6011

==

∑=n i i

M

n

M

008687.0)?(1111)?(1

22=---=∑=n

i i i

M p

y

n n f M

p

v 此估计量的标准差为

9321.0008687.0)?()?(===p v p

s

4.3 某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员

欲估计办公费用支出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整

）。

解：已知N=48, n=10, f=4810

=N n , 由题意得7361=∑=n i i y ，3651

=∑=n

i i M ，

则办公费用的总支出的估计为8.353273610

48

?1

=?=

=∑=n

i i

y

n

N Y

（元） 群总和均值6.7373610

1

11=?==∑=n i i y n y （元）

1

)()1()?(1

2

2

--?-=∑=n y y

n

f N Y

v n

i i

=9

)6.7380(...)6.7362()6.7383(10)

48101(482222-++-+-?

-

? = 182.4?9

1

?3590.4

= 72765.44 )?(Y

v =269.7507 则Y

?的置信度为95%的置信区间为3532.8±1.96?269.7507，即[3004.089，4061.511].

4.4 为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机抽样方法，

估计整个林区树的平均高度及95%的置信区间。

解：由已知得386=N ，20=n ，0518.038620===

N n f 整体的平均高度909.51046

8

.6180y Y ?

1

-i n

1i ==

=

=∑∑=n i

i

i

M

y M

3.5211

==

∑=n

i i

M

n

M

方差估计值1

)(1)()?

(1

2

2

---=

=∑=n y M y

M n f y v Y v n

i i i

02706.0=

标准方差1644.002706.0)?

()?(===Y v Y s

在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为

)2312.6,5868.5()1644.096.1909.5()Y ?(t Y ?/2=?±=?±）（s α

4.5 某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女

生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进

解：题目已知200=N ，10=n ，6M =，3=m ，05.0200101===

N n f ，5.02==M

m f 3.03

109

?1

=?=

=∑=nm

y

p

n

i i

005747.0)(1111)?(1

2=?--?

-?=∑=n

i i

m p y

n n f m

p v

0758.0005747.0)?()?(===p v p

s 在置信度95%下，p 的置信区间为

))?(?(2/p v t p

α±=）0.448568,0.151432()0758.096.13.0(=?±

4.6 上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的

调查，宿舍间的标准差为1S =326元，宿舍内同学之间的标准差为2S =188元。以一位同学进行调查来计算，调查每个宿舍的时间1c 为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据计算等工作，所花费的时间为0c 是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的样本宿舍和样本学生是多少？

解：由已知条件得到以下信息：

326S 1=（元）188S 2=（元）10c 1=（分钟）1c 2=（分钟）240

604c 0=?=（分钟） 由此得到

106276S 21

=，

35344S 22

=，

33.1003856

35344106276S 2

212u

=-=-=M S S

82.11

10

326188m 2112opt ≈?=?=

c c S S 因而取最优的2m =，进一步计算opt n 由于总时间的限制480C =，由关系式

nm c n c c C 210++=得到opt opt 2n 10n 240480++=

计算方程得到20n opt =，因而取20n =

则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2。

4.7 某居委会欲了解居民健身活动情况，如果一直该居委会有500名居民，居住

在10个单元中。现先抽取4个单元，然后再样本单元中分别抽出若干居民，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，调查了样本居民每天用于健身锻炼的时

（1） 简单估计量 （2） 比率估计量

（3） 对两种估计方法及结果进行评价。 解：（1）简单估计

∑∑====n

i i i n

i i u

Y n N

y M n

N Y 1

1

??

=

)17.4545.4364.34575.332(4

10

?+?+?+?? =1650，

则3.3500

1650

?Y ?0u ===M Y u ，

又1656604

1?1Y ?1u =?==∑=n i i Y n ， 所以∑∑==-+---=n

i i

i

i i n

i u

i

m s f M n

N

n Y Y f 12

2221

2

1

2

u )1(1

)??(n 1(N )Y ?v(）

分别计算

1926

3

5778]

)165225()165162()165153()165120[(3

1

1

)

??(22221

2

==-+-+-+-?=--∑=n Y Y n

i u

i

48.46286

2.2)546

1(544

7)364

1(3658.2)4551(45492.2)3241(32)1(222212

222=?-?+

?-?+?-?+?-

?=-∑=n

i i

i

i i m s f M

所以，162

.0046285.011556.0)1(1)??(n 1(N 1)?(1

222212120≈+=????

?

?

?????

?-+

---=∑∑==n

i i i i i n

i u i u m s f M n

N n Y Y f M Y v ） 所以标准差402.0)?

()?(==u u Y v Y s (2) 比率估计

9532.354

36453217

.4545.4364.34575.332?1

1

=+++?+?+?+?=

=∑∑==n i i

i

n

i i

R M

y M

y

∑

∑==-+---=n i i

i

i i n

i u

i

R m s f M n N n Y Y f y

v 12

2221

2

1

2

)1(1

)??(n 1(N

)?(）

其中∑∑===

=n i i

i

n

i i

R R M

y M

M Y Y 1

10

??

0715.0)?()?(2

==M Y v y

v R R

2647.00715.0)?()?(===R R y v y

s （3）Θ简单估计标准差402.0)?

(=u Y s ，比率估计标准差2647.0)?(=R y

s ∴比率估计更好

第五章不等概抽样习题答案

5.1解：

分析题目可知“代码法”与“拉希里法”都是PPS 抽样（放回的与规模大小

成比例的不等概抽样）的实施方法，而此题需要用此两种方法进行不放回抽样，故需进一步进行改进：即采用重抽法抽取，如果抽到重复单元，则放弃此样本单元，重新抽取，直到抽到规定的样本量且所有样本党员不重复： （1） 代码法：由i Z =

∑==N 1

i i

i 0

i M M

M M 可假设0M =1000000，则M i =i Z M 0列成数据表

随机数为444703， 615432， 791937， 921813 ， 738207， 176266， 405706 935470， 916904， 57891按照范围我们可以知道抽取的PSU9, PSU16, PSU19, PSU24, PSU18, PSU2, PSU8 PSU24 PSU23 PSU2,我们看到第2组和24组重复抽取了，故进行重新抽取，抽到4组和6组； 综上所述，抽取的样本为2，4，6，8，9，16，18，19，23，24组

（2）拉希里法：M ?=78216，N=25，在[1, 25]和[1, 78216]中分别产生（n,m ）： （13，38678），M 13=40654≥38678,入样； （8， 57764），M 8=38981<57764，舍弃，重抽； （23，13365），M 23=9066<13365,舍弃，重抽； （19，38734），M 19=69492≥38734，入样；

以此类推，当得到重复入样情况时，同上重新抽取，得到抽取结果为： 2，3，5，6，7，12 ，13，16， 19，24组 5.2解：

由数据可得：

t 1=∑=i

M j j y 1

1=20， t ∑===2

1

2225M j j y ，t 3=38， t 4=24， t 5=21；

结合t 值数据，我们可以推得Z 的值 Z 1=

2.025

5

01==M M ,Z 2=0.16，Z 3=0.32，Z 4=0.2，Z 5=0.12，

由公式()

()()???

?

?

?-+----=

∑=N

i i i

j i j i j i ij Z

Z Z Z Z Z Z Z 1211212114π

5.3 解：

设：0M =1，则有：i i Z M =，得到下表：

为103，最后在[1,1000]中产生第三个随机数为982，则它们所对应的第7、1、10号单元被抽中。 5.4 解：

利用汉森-赫维茨估计量对总体总值进行估计：