等差数列基础习题选(附详细答案)-答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共26小题）
1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）
A ．
B
．
1C
．
D
．
﹣1
考
点：
等差数列．
专
题：
计算题．
分
析：本题可由题意，构造方程组，解出该方程组即可得到答案．
解
答：
解：等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，
由等差数列的通项公式，可得
解得，即等差数列的公差d=﹣1．
故选D
点
评：
本题为等差数列的基本运算，只需构造方程组即可解决，数基础题．2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（）
A ．以7为首项，公差为2的等差数列B
．
以7为首项，公差为5的等差数列
C ．以5为首项，公差为2的等差数列D
．
不是等差数列
考
点：
等差数列．
专
题：
计算题．
分
析：
直接根据数列{a n}的通项公式是a n=2n+5求出首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．
解答：解：因为a n=2n+5，
所以 a1=2×1+5=7；
a n+1﹣a n=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．
故此数列是以7为首项，公差为2的等差数列．故选A．
点
评：
本题主要考查等差数列的通项公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（）
A ．23B
．
24C
．
25D
．
26
考
点：
等差数列．
专
题：
综合题．
分析：
根据a1=13，a3=12，利用等差数列的通项公式求得d的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让其等于2得到关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．
解
答：
解：由题意得a3=a1+2d=12，把a1=13代入求得d=﹣，
则a n=13﹣（n﹣1）=﹣n+=2，解得n=23
故选A
点
评：
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（）
A ．一1B
．
2C
．
3D
．
一2
考
点：
等差数列．专
题：
计算题．
分析：
根据等差数列的前三项之和是6，得到这个数列的第二项是2，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列的通项公式，得到数列的公差．
解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，
∴a2=2
∵a4=8，
∴8=2+2d
∴d=3，
故选C．
点评：
本题考查等差数列的通项，这是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三倍，这样可以简化题目的运算．
5．两个数1与5的等差中项是（）
A ．1B
．
3C
．
2D
．
考
点：
等差数列．
专
题：
计算题．
分
析：
由于a，b的等差中项为，由此可求出1与5的等差中项．解
答：
解：1与5的等差中项为：=3，
故选B．
点
评：
本题考查两个数的等差中项，牢记公式a，b的等差中项为：是解题的关键，属基础题．6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）
A ．﹣2B
．
﹣3C
．
﹣4D
．
﹣5
考
点：
等差数列．
专
题：
计算题．
分
析：
设等差数列{a n}的公差为d，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，结合公差为整数进而求出数列的公差．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
所以a6=23+5d，a7=23+6d，
又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以，
因为数列是公差为整数的等差数列，
所以d=﹣4．
故选C．
点
评：
解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）
A ．1B
．
2C
．
3D
．
4
考
点：
等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分
析：
设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，解得 d=2，故选B．
点
评：
本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）
A ．0B
．
8C
．
3D
．
11
考
点：
等差数列的通项公式．专计算题．
题：
分
析：
先确定等差数列的通项，再利用，我们可以求得的值．解
答：
解：∵为等差数列，，，
∴
∴b n=b3+（n﹣3）×2=2n﹣8
∵
∴b8=a8﹣a1
∵数列的首项为3
∴2×8﹣8=a8﹣3，
∴a8=11．
故选D
点
评：
本题考查等差数列的通项公式的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）
A ．25B
．
24C
．
20D
．
19
考
点：
等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分析：
（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a n}的公差d=3×4=12，
∴a n=11+12（n﹣1）=12n﹣1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a n=12n﹣1≤302，即n≤．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a n}与{b n}，则a n=3n+2，b n=4n﹣1．设{a n}中的第n项与{b n}中的第m项相同，
即3n+2=4m﹣1，∴n= m﹣1．
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r﹣1．
根据题意得1≤3r≤100 1≤4r﹣1≤100 解得≤r≤
∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A
点评：
解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．
10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（）
A ．5B
．
3C
．
﹣1D
．
1
考
点：
等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分
析：
根据递推公式求出公差为2，再由S3=9以及前n项和公式求出a1的值．
解答：解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2），∴等差数列{a n}的公差是2，
由S3=3a1+=9解得，a1=1．
故选D．
点
评：
本题考查了等差数列的定义，以及前n项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）
A ．a1+a8＞a4+a5B
．
a1+a8=a4+a5C
．
a1+a8＜a4+a5D
．
a1a8=a4a5
考
点：
等差数列的性质．
分
析：
用通项公式来寻求a1+a8与a4+a5的关系．
解答：解：∵a1+a8﹣（a4+a5）=2a1+7d﹣（2a1+7d）=0∴a1+a8=a4+a5
∴故选B
点
评：
本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）
A ．1B
．
﹣1C
．
2D
．
考
点：
等差数列的性质．
专
题：
计算题．
分
析：
充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．
解解：设等差数列{a
n
}的首项为a1，由等差数列的性质可得
答：a
1
+a9=2a5，a1+a5=2a3，
∴====1，
故选A．
点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．
13．（2009?安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（）
A ．﹣1B
．
1C
．
3D
．
7
考
点：
等差数列的性质．
专
题：
计算题．
分析：
根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．
解答：
解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105，
a2+a4+a6=3a4=99，
∴a3=35，a4=33，∴d=a4﹣a3=﹣2．
∴a20=a3+17d=35+（﹣2）×17=1．故选B
点评：
本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的通项公式的应用．解题的关键是利用等差数列中等差中项的性质求得a3和a4．
14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（）
A ．
B
．
C
．
D
．
考
点：
数列的求和；等差数列的性质．
专
题：
计算题．
分析：
求出等差数列的通项，要求的和是一个等差数列与一个等比数列的积构成的数列，利用错位相减法求出数列的前n项的和．
解
答：
解：∵等差数列{a n}中，a2=4，a6=12；
∴公差d=；
∴a n=a2+（n﹣2）×2=2n；
∴；
∴的前n项和，
=
两式相减得
=
∴
故选B
点
评：
求数列的前n项的和，先判断通项的特点，据通项的特点选择合适的求和方法．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）
A ．6B
．
7C
．
8D
．
9
考
点：
等差数列的性质．
专
题：
计算题．
分析：由a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①，根据等差数列的前n项和公式可得，，联立可求d，a1，代入等差数列的通项公式可求
解答：解：等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21
根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，
所以 a1+a7=6②
②﹣①可得d=2，a1=﹣3
所以a7=9
故选D
点
评：
本题主要考查了等差数列的前n项和公式及等差数列的性质的综合应用，属于基础试题．16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（）
A ．30B
．
35C
．
36D
．
24
考
点：
等差数列的性质．专计算题．
分析：
利用等差中项的性质求得a3的值，进而利用a1+a6=a3+a4求得a1+a6的值，代入等差数列的求和公式中求得答案．
解答：解：a1+a3+a5=3a3=15，
∴a3=5
∴a1+a6=a3+a4=12
∴s6=×6=36故选C
点
评：
本题主要考查了等差数列的性质．特别是等差中项的性质．
17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）
A ．5B
．
6C
．
5或6D
．
6或7
考
点：
等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分
析：
由，知a1+a11=0．由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．解
答：
解：由，
知a1+a11=0．
∴a6=0，
故选C．
点
评：
本题主要考查等差数列的性质，求和公式．要求学生能够运用性质简化计算．18．（2012?辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）
A ．58B
．
88C
．
143D
．
176
考
点：
等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专
题：
计算题．
分
析：根据等差数列的定义和性质得 a
1
+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解
答：解：∵在等差数列{a
n
}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．
点本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
19．已知数列{a n}等差数列，且a1+a3+a5+a7+a9=10，a2+a4+a6+a8+a10=20，则a4=（）
A ．﹣1B
．
0C
．
1D
．
2
考
点：
等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专
题：
计算题．
分
析：
由等差数列得性质可得：5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4，再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0
解答：解：由等差数列得性质可得：a1+a9=a3+a7=2a5，又a1+a3+a5+a7+a9=10，故5a5=10，即a5=2．同理可得5a6=20，a6=4．
再由等差中项可知：a4=2a5﹣a6=0
故选B
点
评：
本题考查等差数列的性质及等差中项，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．20．（理）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣8n，第k项满足4＜a k＜7，则k=（）
A ．6B
．
7C
．
8D
．
9
考
点：
等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专
题：
计算题．
分
析：先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．解
答：解：a n=
=
∵n=1时适合a n=2n﹣9，∴a n=2n﹣9．
∵4＜a k＜7，∴4＜2k﹣9＜7，
∴＜k＜8，又∵k∈N+，∴k=7，
故选B．
点
评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．
21．数列a n的前n项和为S n，若S n=2n2﹣17n，则当S n取得最小值时n的值为（）
A ．4或5B
．
5或6C
．
4D
．
5
考
点：
等差数列的前n项和．
专
题：
计算题．
分析：
把数列的前n项的和S n看作是关于n的二次函数，把关系式配方后，又根据n为正整数，即可得到S n 取得最小值时n的值．
解
答：
解：因为S n=2n2﹣17n=2﹣，
又n为正整数，
所以当n=4时，S n取得最小值．
故选C
点
评：
此题考查学生利用函数思想解决实际问题的能力，是一道基础题．22．等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，则S4等于（）
A ．12B
．
10C
．
8D
．
4
考
点：
等差数列的前n项和．
专
题：
计算题．
分
析：
利用等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，先求出a1，d，再由等差数列的前n项和公式求S4．
解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=2n﹣4，∴a1=2﹣4=﹣2，
a2=4﹣4=0，
d=0﹣（﹣2）=2，
∴S4=4a1+
=4×（﹣2）+4×3
=4．
故选D．
点评：
本题考查等差数列的前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意先由通项公式求出首项和公差，再求前四项和．
23．若{a n}为等差数列，a3=4，a8=19，则数列{a n}的前10项和为（）
A ．230B
．
140C
．
115D
．
95
考
点：
等差数列的前n项和．专
题：
综合题．
分析：
分别利用等差数列的通项公式化简已知的两个等式，得到①和②，联立即可求出首项和公差，然后利用求出的首项和公差，根据公差数列的前n项和的公式即可求出数列前10项的和．
解答：解：a3=a1+2d=4①，a8=a1+7d=19②，②﹣①得5d=15，
解得d=3，
把d=3代入①求得a1=﹣2，
所以S10=10×（﹣2）+×3=115
故选C．
点
评：
此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．26．设a n=﹣2n+21，则数列{a n}从首项到第几项的和最大（）
A ．第10项B
．
第11项C
．
第10项或11项D
．
第12项
考
点：
等差数列的前n项和；二次函数的性质．
专
题：
转化思想．
分析：
方法一：由a n，令n=1求出数列的首项，利用a n﹣a n﹣1等于一个常数，得到此数列为等差数列，然后根据求出的首项和公差写出等差数列的前n项和的公式，得到前n项的和与n成二次函数关系，其图象为开
口向下的抛物线，当n=﹣时，前n项的和有最大值，即可得到正确答案；
方法二：令a n大于等于0，列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围，在n的范围中找出最大的正整数解，从这项以后的各项都为负数，即可得到正确答案．
解答：解：方法一：由a n=﹣2n+21，得到首项a1=﹣2+21=19，a n﹣1=﹣2（n﹣1）+21=﹣2n+23，则a n﹣a n﹣1=（﹣2n+21）﹣（﹣2n+23）=﹣2，（n＞1，n∈N+），
所以此数列是首项为19，公差为﹣2的等差数列，
则S n=19n+?（﹣2）=﹣n2+20n，为开口向下的抛物线，
当n=﹣=10时，S n最大．
所以数列{a n}从首项到第10项和最大．
方法二：令a n=﹣2n+21≥0，
解得n≤，因为n取正整数，所以n的最大值为10，
所以此数列从首项到第10项的和都为正数，从第11项开始为负数，
则数列{a n}从首项到第10项的和最大．
故选A
点评：
此题的思路可以先确定此数列为等差数列，根据等差数列的前n项和的公式及二次函数求最值的方法得到n的值；也可以直接令a n≥0，求出解集中的最大正整数解，要求学生一题多解．
二．填空题（共4小题）
27．如果数列{a n}满足：= ．
考
点：
数列递推式；等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首
析：项，根据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果．解
答：
解：∵根据所给的数列的递推式
∴数列{}是一个公差是5的等差数列，
∵a1=3，
∴=，
∴数列的通项是
∴
故答案为：
点评：
本题看出数列的递推式和数列的通项公式，本题解题的关键是确定数列是一个等差数列，利用等差数列的通项公式写出通项，本题是一个中档题目．
28．如果f（n+1）=f（n）+1（n=1，2，3…），且f（1）=2，则f（100）= 101 ．
考
点：
数列递推式；等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分析：
由f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，依次令n=1，2，3，…，总结规律得到f（n）=n+1，由此能够求出f（100）．
解答：解：∵f（n+1）=f（n）+1，x∈N+，f（1）=2，
∴f（2）=f（1）+1=2+1=3，
f（3）=f（2）+1=3+1=4，
f（4）=f（3）+1=4+1=5，
…
∴f（n）=n+1，
∴f（100）=100+1=101．
故答案为：101．
点
评：
本题考查数列的递推公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．29．等差数列{a n}的前n项的和，则数列{|a n|}的前10项之和为58 ．
考
点：
数列的求和；等差数列的通项公式．
专
题：
计算题．
分析：先求出等差数列的前两项，可得通项公式为a n=7﹣2n，从而得到n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|= 2n﹣7．分别求出前3项的和、第4项到第10项的和，相加即得所求．
解
答：
解：由于等差数列{a n}的前n项的和，故a1=s1=5，
∴a2=s2﹣s1=8﹣5=3，故公差d=﹣2，故a n=5+（n﹣1）（﹣2）=7﹣2n．
当n≤3时，|a n|=7﹣2n，当n＞3时，|a n|=2n﹣7．
故前10项之和为 a1+a2+a3﹣a4﹣a5﹣…﹣a10=+=9+49=58，故答案为 58．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．