热力学与统计物理课后习题答案第六章

第六章近独立粒子的最概然分布

6.1试根据式（）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

解:式（）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

3

d d d .x y z V

p p p h （1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，

.p （2） 3h 因此

.ε（3）

6.2为

解:在长度.p （1） 代入，即得

()1

2

2d d .2L m D h εεεε??

=

???

（2） 6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为

解:根据式（），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为

21

d d d d .x y x y p p h

（1）

用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为

在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为

22

d d .L p p h θ

（2） 对d θ积分，从0积分到2π，有

2

.p （3） .ε（4）

6.4解:数为

.p （1）

.ε（2）

6.5N N '作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和

其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.

解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}

l a '必须满足条件

,

,

l

l l l l l

l

l

l

l

a

N a N a a E

εε''==''+=∑∑∑∑（1）

才有可能实现.

在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}

l a '时各自的微观状态数为

!

,!.l l a l l

l l

a l N Ωa ω'=

'∏∏（2）

.'（3）

.

为求使()0ln Ω的变化.即

但这些即

.

l

l '

（4）

.子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.

6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？

解:当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为V 时，粒子的分布{}l a 和{}

l a '必须满足条件

l l

l

l

l

l

a a E εε''+=∑∑（1）

才有可能实现.

玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}

l a '时，其微观状态数分别为 系统的微观状态数()0Ω为

()0.ΩΩΩ'=?（3）

平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布.

将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得

令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}

l a '必使 即

即

（4）