江苏高中数学典型题目

参变分离还是利用二次函数的图象

1.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为.

利用函数的性质解不等式 2.已知知函数1

()||1

x f x x +=

+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是。(1，2) 3.已知函数f (x )＝，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是．(－∞，－3)∪(1，3)

4.已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为．(0,1) 双变量问题

5、已知正实数x,y 满足42=++y x xy ，则y x +的最小值是________362-（消元法或判别式法）

6、若a ＞0，b ＞0，且，则a+2b 的最小值为

．（基本不等式法或

消元法）

7、已知x ，y 为正实数，则＋的最大值为▲．（齐次式消元）

已知函数奇偶性求参数

2.若函数2()2f x a x x a =-+-a 的值为________．2

两个变量的函数 17南京二模应用题 和零点有关的题目

已知零点个数求参数范围

3、已知函数()22f x x x =+-，x R ∈.若方程()20f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为.),9()1,0(+∞?（可用参变分离）

9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为(0，]

零点存在定理

3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在整数m 使得方程f(x)＋＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．

3.解：(1)f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．

(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．

当x ∈时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数． ∵h(3)＝1＞0，h ＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．（单调性+异号端点值） 3、函数2)(--=x e x f x 的零点所在的一个区间是))(1,(Z n n n ∈+，则_____=n 1或-2 7.已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

⑶当0a =时,方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于

2e 10x x

-

-=，令2()e 1x h x x =--，因为22

()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞U 恒成立，

所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31(3)e 03

h --=-<，

2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，

和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1- 复合函数的零点个数

10．已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设

x

x g x f )

()(=

． （1）求a 、b 的值； （3）若()03|

12|2

|12|=--?+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．（复合函数根的个数）

解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，

因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故??

?==4)3(1)2(g g ，解得?

??==01

b a ． （3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-?+--k k x x ，

令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<

12>t ，或101<

??<-=>+0)1(0

12k h k ①

或???

?

???

<+<=-=>+1

22300)1(012k k h k ②解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．

14.设定义域为R 的函数若关于x 的函数的零点的个数为▲．7 导数存在任意x1x2的题目 例1已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a R ∈.设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意

1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

当14

a =时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2

≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2

g x -≥，[]21,2x ∈，

即存在[]1,2x ∈，使21

()242

g x x bx =-+≤-，即2922bx x ≥+，即9

22b x x ≥+∈1117[,]24，

所以实数b 取值范围是),8

17

[+∞。

(2016苏锡常镇二模12.)已知函数f (x )＝若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，

f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________．

分段函数的单调性 10、??

?≥<+-=1

,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则a 的取值范围是_________)31

,71[

和切线有关的导数题目（三句话）

1,过点

()1,0-.与函数()x f x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是____1+=x y

公切线

20、已知函数(),()ln x f x e g x x ==，设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切； （2）()g x 在0x x =处切线方程为00

1

ln 1y x x x =

+-① 设直线l 与x y e =图像相切于点()1

1,x x e ，则:l ()1

1

11x x y e x e x =+-②……(6分)

③ 由①②得 ④0001ln 01

x x x +∴-=-⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.

令()()1

ln 11x G x x x x +=->-，()()

22

1'01x G x x x +=>-()G x ∴在()1,+∞上Z . 又()()22

2230,0,11

e G e G e e e --=

<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证

已知极值求参数（检验）

3、已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=．

对函数求导得2

'()36f x x mx n =++,由题意得(1)0

'(1)0f f =??=?,即2130360

m n m m n ?+++=?++=?解得:13m n =??=?或

29m n =??=?,当13m n =??=?时22

'()3633(1)0f x x x x =++=+≥,故29m n =??=?

,11m n += 含参数不等式恒成立中参数是整数的题目

()1

10011ln 1x

x

e

x x e x ?=???=-?

20.(本小题满分16分)己知函数21

()ln ,2

f x x ax x a R =-+∈若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值:

方法一：令21

()()1)ln (1)1

2g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(，所以21(1)1

()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=

．

当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，

又因为

2

13(1)ln11(1)12022

g a a a =-?+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．

当0a >时，2

1

()(1)(1)1()a x x ax a x a

g x x x

-+-+-+'==-，令()0g x '=，得1x a

=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当

1(,)x a

∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1

(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a

∈+∞是减函数．

故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a

=-?+-?+=-．令1()ln 2h a a a =-，

因为1(1)02h =>，1(2)ln 204

h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2．

方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得

2

1ln 12

x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥

在(0,)+∞上恒成立．令2ln 1

()12x x g x x x ++=

+，只要

max ()a g x ≥ 因为22

1

(1)(ln )

2()1()2

x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=． 设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x

'=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，

不妨设1ln 02

x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数． 所以0

00max

020000011ln 112()()11(1)22

x x x g x g x x x x x x +++====++．因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0

112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．

绝对值函数

（2015泰州二模13）.若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲．(,2][5,)-∞+∞U

(2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1.

记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式.

(2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.

当0

-0-2x ax x a x ax a x ?+≤

2a a ??

????，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f

f ?????? ?????，，

而f 2a ?? ???=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ?? ???

4a <4-2a ，解得-4-

4+

所以当0

4-4时，F (a )=4-2a ；令f 2a ?? ?

??≥f (2)，即2

4a ≥4-2a ，解得a ≤-4-

或a ≥-4+

4

，

所以当

4

-4≤a<2时，F (a )=2

4a .当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，

当1≤2

a

<2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ??????，上是增函数，在22a ??????，

上是减函数，则

F (a )=f 2a ?? ?

??=24a ；

当

2

a ≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；

综上，F (a )

=24-2442-4 4.

a a a

a a a ?

≥??，，，，

先求轨迹的题目

(2017南京二模11)．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x

＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为▲．3

已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B （由左到右），P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作l 的垂线且与直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=的距离的最大值是▲．

（常州2016一模13）13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．（切线长公式）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，

且满足0PM PN ?=u u u u r u u u r

．若PQ PM PN

=+u u u r u u u u r u u u r ，则

PQ

u u u r

的最小值为▲．-3、已知A(-1，0)，B(0，1)，则满足422=-PB PA 且在圆422=+y x 上的点P 的个数为______2

阿波罗尼斯圆（苏北四市2016一模13）已知点(0,1)A ，1,0B （），(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则最小正整数t 的值为▲．4

满足条件AB ＝2,AC ＝BC 的三角形ABC 的面积的最大值是2（也可以用解三角形的方法） 存在性的题目

1、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一

点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲．

∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。∵由题意，直线

2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，

以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；

∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-的距离

2421

k k -+，∴

24221

k k -≤+，解得403

k ≤≤

。 ∴k 的最大值是4

3

。【答案】43

。

1、如果圆

22

()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是.

322232(,)(,)2222-

-U

（无锡2016一模13）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得·≤0，则线段EF 长度的最大值是____________．

13.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x-1)2+y 2=4,P 为圆C 上一点.若存在一个定圆M,过点P 作圆M 的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当点P 在圆C 上运动时,使得∠APB 恒为60°,则圆M 的方程为 .

13.(x-1)2+y 2=1 解析:自定圆M 外的一点P 向圆引两切线PA,PB.若∠APB 为定值,则P 到定圆圆心M 的距离为定值.依题意知点P 在圆C 上,P 只能是到圆C 的圆心的距离为定值,故M 与点C 重合.由∠APB=60°知MP=CP=2,所以圆M 的半径为1.圆M 的方程为(x-1)2+y 2=1.

2、设圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120 C x y ax a y a +---++=，

设点P 是椭圆2

214

x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的

一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =如果存在，

求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.

设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+222000022(8)412PT x y ax a y a =+---++，12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）

存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022

0020

14

x y x y --=???+=??有解，解此方程组得

0020x y =??

=?或00654

5x y ?=????=-??，故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64

(2,0)(,)55

或-.

14．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=． 若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，

满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是▲．【答案】[]5 55，

（特殊位置）

13.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x-1)2+y 2=4,P 为圆C 上一点.若存在一个定圆M,过点P 作圆M 的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当点P 在圆C 上运动时,使得∠APB 恒为60°,则圆M 的方程为 .

13.(x-1)2+y 2=1 解析:自定圆M 外的一点P 向圆引两切线PA,PB.若∠APB 为定值,则P 到定圆圆心M 的距离为定值.依题意知点P 在圆C 上,P 只能是到圆C 的圆心的距离为定值,故M 与点C 重合.由∠APB=60°知MP=CP=2,所以圆M 的半径为1.圆M 的方程为(x-1)2+y 2=1.

14．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，点P 在直线l ：y ＝x ＋2上，若圆C 上存在两点A 、B 使得＝3，则点P 的横坐标的取值范围是．[-2,2]（特殊位置法与轨迹法） 聚焦小题二十八14题 直线与圆相切

17年南通三模18题，盐城三模17题

（南京2016一模18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆2

2:1

4

x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直

线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .

（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M

（2）若r =①求证：121

4

k k =-；②求OP OQ ?的最大值.

解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为0)，所以圆心M 从而圆M 的方程为221

1(()24

x y +±=. （2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==

， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， 同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，

第18题图

所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， 从而22

2

000122

22

00015

45(1)1451444545454

x x y k k x x x ---+-=

===----. 切点弦17年盐城三模18题第3问

圆与圆相切：切点与两圆心三点共线 直线与圆相交问题

（南京2016一模12）过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为▲.340x y ±+=

（苏州2016一模12）12.若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____________．18

《微专题：直线与圆，圆与圆》反馈练习第7题：过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，四边形ABCD 的面积的最大值为________．答案：6，最小值怎么求 求圆的方程

17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，右焦点为F.若C 的右准线l 的方程为x ＝4，离心率e ＝.(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设点P 为直线l 上一动点，且在x 轴上方．圆M 经过O 、F 、P 三点，求当圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程．

17.解：(1)由题意，设椭圆C 的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，

则解得a ＝2，c ＝2.(4分)从而b 2＝a 2－c 2＝4.所以所求椭圆C 的标准方程为＋＝1.(6分)

(2)(方法一)由(1)知F(2,0)．由题意可设P(4，t)，t ＞0.线段OF 的垂直平分线方程为x ＝1. ①

因为线段FP 的中点为，斜率为，所以FP 的垂直平分线方程为y －＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋＋. ②联立①②，解得即圆心M.(10分) 因为t ＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t ＝2时，

圆心M 到x 轴的距离最小，此时圆心为M(1,2)，半径为OM ＝3.

故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.(14分)

(方法二)由(1)知F(2,0)．由题意可设P(4，t)，t＞0.

因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.

将点F、P的坐标代入得解得

所以圆心M的坐标为，即.(10分)

因为t＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，

圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4.

故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0.(14分)

直线方程的典型问题

截距式方程和点斜式方程

1、过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

____________________.

答案x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0

3、已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求（1）△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程；（2）求截距和最小时直线的方程。解方法一设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab ≥24，

从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，

且有A，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝(2－3k)

＝

≥

＝×(12＋12)＝12.

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立.即△ABO的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.

对称问题

6、已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)B (－1，－2)关于A 的对称点；

(2)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；

(3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (4)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程. 解 (补了一问)(2)设A ′(x ，y )，再由已知. 解得∴A ′(－，).

(3)在直线m 上取一点，如M (2,0)， 则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ，b )，则 解得M ′(，).

设m 与l 的交点为N ，则由 得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3)， ∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (4)设P (x ，y )为l ′上任意一点，

则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.

定比分点

南京二模卷18题

1、在直角坐标系中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点P(1,22)到两焦点的距离之和为34， （1）求椭圆C 的方程

（2）过椭圆C 的右焦点2F 作直线λ与椭圆C 分别交于A,B 两点，其中点A 在x 轴下方，

且F AF 223=，求直线λ的方程。（1）13

122

2=+y x （3）)3(2-=x y

18．已知椭圆C ∶＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；

（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．

18、（1）椭圆的方程为＋y 2＝1．…………………………………………2分

（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则＝(x 1＋1，y 1)，＝(－1－x 2，－y 2)． 因为＝λ，所以即

所以解得x 2＝．…………………………………………12分 所以·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy ＝－x 22－(1＋λ)x 2－λ

＝－()2－(1＋λ)·－λ＝－(λ＋)．…………………………………………14分 因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号． 所以·≤，即·最大值为．…………………………………………16分 解法二：当PQ 斜率不存在时， 在＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝±．

所以2211(1)(222OP OQ ?=-?-+-=u u u r u u u r ，此时11,22λ??=∈????

…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)， 由得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，

韦达定理22121222

422

==1212k k x x x x k k

--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ?=+=+++u u u r u u u r

OP OQ ?u u u r u u u r 的最大值为，此时11,22λ??

=∈????

(8)

18．（2015南京二模）（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线

l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．

（2）已知定点A(－2，0)．当m＝1

AM，BM分别

与椭圆C交于另一点P，Q，若＝λ

18．解：

（2）（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q

则＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1)．

由＝，得从而

因为＋y02＝1，所以＋(y1)2＝1．

即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．

因为＋y12＝1，代入得2(－1)x1＋32－4＋1＝0．

由题意知，≠1，故x1＝－，所以x0＝．

同理可得x0＝．因此＝，所以＋＝6．

（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

直线AM的方程为y＝(x＋2)．

将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2＝0(*)．

因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0．

因为x0x1＝－，所以x1＝－．同理x2＝．

因为＝，＝，所以＋＝＋＝＋

＝＋＝6．即λ＋为定值6．

点差法

2、已知椭圆方程为＋＝1，一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点A、

B，且线段AB中点为(2，1)，求直线l的斜率．－

设线法

（第18题图）

3、已知椭圆C 的中点在原点,焦点在x 轴上,离心率等

于12

,它的一个顶点恰好是抛物线283x y =的焦

点.

(1)求椭圆C 的方程;

(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点,当A 、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

解:(1)设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x 则23b =.由2221

,2c a c b a ==+,得4

a = ∴椭圆C 的方程为22

11612

x y +=

(2)当APQ BPQ ∠=∠,则PA 、PB 的斜率之和为0,设直线PA 的斜率为k

则PB 的斜率为k -,PA 的直线方程为3(2)y k x -=-由22

3(2)(1)

1(2)1612

y k x x y -=-???+

=??L L L L L (1)代入(2)整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--=………11分 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ,可得22243)32(843)32(82k

k k k

k k x ++=+---=+

∴21212

22

161248,3434k k

x x x x k k --+=-=++……………14分

2

14)(3)2(3)2(212121212121=--+=---++-=--=

x x k x x k x x x k x k x x y y k AB 所以AB 的斜率为定值

21

17.（本小题满分14分）

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b

+=>>，离心率为2

2，左准线方程是2x =-，设O 为原点，

点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求ΔAOB 面积取得最小值时，线段AB

的长度．

A

B

P

Q

O

x

y

y

x

B

A

O

17.解析：(1)设椭圆的半焦距为c

，则由题意的222

c a a c

?=????=??

，解得1a c b ?=??

==?? 所以椭圆C 的方程为＋y ＝1.........4分

（2）由题意，直线OA 的斜率存在，设直线OA 的斜率为k ，

若k ＝0，则A (，0)或(－，0)，B (0，2)，此时ΔAOB 面积为，AB ＝．6分 若k ≠0，则直线OA ：y ＝kx 与椭圆＋y ＝1联立得： (1＋2k )x ＝2，可得OA ＝，8分

直线OB ：y ＝－x 与y ＝2联立得：B (－2k ，2)，则OB ＝2，10分

S ΔOAB ＝OAOB ＝，令t ＝>1，12分

则S ΔOAB ＝＝(t ＋)>，

所以S ΔOAB 的最小值为，在k ＝0时取得，此时AB ＝．..........14分 (注：若利用S ΔOAB ＝(t ＋)≥，忽略k ≠0的条件，求出答案的，本问给2分)

已知椭圆22

:142x y C +

=的上顶点为A ，直线:l y kx m =+交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .

(1)若0m =时，求12k k ×的值；

(2)若121-=?k k 时，证明直线:l y kx m =+过定点.

设点法

5．如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(1:

2

22

2>>=+

b a b y a x E 的焦距为2,且过点)2

6

,

2(

. (1) 求椭圆E 的方程;

(2) 若点A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AP 交l 于点.M 设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ,求证:21k k 为定值;

【答案】⑴由题意得22c =,所以1c =,又

22

2312a b =+,

消去a 可得,422530b b --=,解得23b =或212

b =-(舍去),则24a =,所以椭圆E 的方程为

22

143

x y += ⑵(ⅰ)设111(,)(0)P x y y ≠,0(2,)M y ,则0

12

y k =

,1

212

y k x =

-, 因为,,A P B 三点共线,所以10142

y y x =+,所以,2

0111221142(2)2(4)y y y k k x x ==--,8分

因为11(,)P x y 在椭圆上,所以2

2

1

13(4)4

y x =-,故21122

1432(4)2y k k x ==--为定值 凤凰台47页第4题：关于原点对称的两点怎么处理重要结论。

关于y 轴对称的两点怎么处理如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．

17.(1)解：由题意知b ＝＝.(3分) 因为离心率e ＝＝，所以＝＝. 所以a ＝2.

所以椭圆C 的方程为＋＝1.(6分)

(2)证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则 直线PM 的方程为y ＝x ＋1， ① 直线QN 的方程为y ＝x ＋2. ②(8分) (证法1)联立①②解得x ＝，y ＝，即T.(11分) 由＋＝1可得x ＝8－4y. 因为2＋2＝＝ ＝＝＝1，

所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．(14分)

韦达定理：什么情况下用韦达定理韦达定理出现在哪里是否要判断判别式

18．如图，已知椭圆2222b

y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36

=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）

的直线与原点的距离为2

3

． （1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点请说明理由.

【答案】(1）1322=+y x ；（2)6

7

=k .

解：（1）直线AB 方程为：bx-ay-ab ＝0．

依题意???????=

+=233622b

a a

b a

c ， 解得 ???==13b a ，∴椭圆方程为1322=+y x .[

（2）假若存在这样的k 值，由???=-++=0

3322

2y x kx y ，得)31(2k +09122

=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=?k k ①

设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则???

???

?

+=+-=+?2212213193112k x x k k x x ， ② 而4)(2)2)(2(212122121+++=++=?x x k x x k kx kx y y ．

要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则

11

12211

-=++?x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ③

将②式代入③整理解得67=k ．经验证，6

7=k ，使①成立. 综上可知，存在6

7=k ，使得以CD 为直径的圆过点E. 南京三模18题（也是定值问题）

定值问题 连宿徐三模18题 1、

椭圆1:2222=+b

y a x C 的离心率位36

，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆交于A,B 两点，

当直线l 垂直于x 轴切点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为3

6

2 （3）是否存在点E ，使得

2

21

1EB EA +

为定值若存在，求出该定值，并指出点E 的坐标。 (3)假设存在点E ，使得21EA +2

1EB 为定值，设E (x 0，0)，

当直线AB 与x 轴重合时，有21EA +21

EB =20(6)x ++20(6-)x =

2

0220122(6-)x x +； 当直线AB 与x 轴垂直时，21EA +21EB =202

21-6x ?? ???=2

066-x .

由2

22

0122(6-)x x +=

2066-x ，解得x 0=±20636-x ，=2， 所以若存在点E ，此时E (±

3，0)，21EA +21

EB 为定值2.

根据对称性，只需考虑直线AB 过点E (3，0)，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又设直线AB 的方程为x=my+

3，与椭圆C 联立方程组，化简得(m 2+3)y 2+23my-3=0，

所以y 1+y 2=-23m ，y 1y 2=2

-33m +，

又21

EA =22

11(-3)x y +=222111

m y y +=2211

(1)m y +， 同理可得21

EB =22

21

(1)m y +，

所以21EA +21

EB =2211(1)m y ++2221(1)m y +=2

121222212()-2(1)y y y y m y y ++，

将上述关系式代入，化简可得21EA +2

1

EB =2.

综上所述，存在点E(

0)，使得2

1

EA+2

1

EB为定值2.

2015年江苏高考18题

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B

分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2

求直线AB的方程．

南京二模18（2）

在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B1，·＝2b2.(1)求a，b的值；

(2)过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3OP2，求直线l的方程．

18.解：(1)因为F(－c，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．

因为·＝2b2，所以c2－b2＝2b2.①(2分)

因为椭圆C过A(－2，－1)，代入，得＋＝1.②由①②解得a2＝8，b2＝2.

所以a＝2，b＝.(6分)

(2)由题意，直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．由得

(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.因为x＋2≠0，

所以x＋2＝，即x Q＋2＝.(10分)由题意，直线OP的方程为y＝kx.

由得(1＋4k2)x2＝8.则x＝.(12分)因为AQ·AR＝3OP2，

所以|x Q－(－2)|×|0－(－2)|＝3x P2.即×2＝3×.

解得k＝1或k＝－2.当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0；

当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.(16分)

（第18题图）