判别式法求值域

判别式法求值域 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

关于判别式法求值域增根的研究

我们都知道对于形如f(x)=的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有

公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x)=的形式，然后再求出其值域。但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！

例：求二次分式函数y=的值域．

方法判别式法化简为一次分式法

解题过程

∵y=

∴(x2–1)y=x2–2x-3

∴(y－1)x2+2x+3–y=0----------*

①当y≠1时，

△=b2–4ac=22–4(y–1)(3–y)

=4y2–16y+16

=4(y–2)2≥0?(△=0时，y=2)

∴y∈R,且y≠1

∵y==

∴①当x≠－1时，

y=，

即：y≠1

②当x=－1时，

②当y=1时，代入*式得：

2x+3–1=0

∴x=－1

∵函数的定义域为：

{x∈R|x≠1且x≠－1} ∴y≠1

由①②得函数的值域为：

y===2

∵函数的定义域为：

{x∈R|x≠1且x≠－1}

∴y≠2

由①②得函数的值域为：

结果{y∈R|y≠1} {y∈R|y≠1且y≠2} 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y=2。这就是说，用判别式法求值域会产生增根。这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！

函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。将某一函数化为关于x的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。判别式法求值域就是基于这种思想而产生的。

将二次分式函数的分母乘到另一侧，得到一个关于x的方程。如果二次项系数不为0，此方程为关于x的一元二次方程。其中，当△≥0时（△是含字母y的式子），将这个范围内的y值代入方程，都能够得到

一个或两个与之对应的x值；而当△＜0时，方程无解，这说明在此范围内的y值没有x值与之对应，因此此范围内的值y不属于值域。如果二次项系数为0，此方程为关于x的一次方程，将此时y的取值代入解析式可得到一个与之对应的x值，如果所得x值在定义域内，则该y值属于值域；如果所得x值不在定义域内，或所得解析式根本没有意义，则该y值不属于值域。

但这样做不禁会使人产生疑问：将分式两边都乘以分母，x的定义域扩大了，不会产生增根吗上面题中出现的增根是否源于此呢让我们一起分析一下吧！

倘若分子、分母均为二次整式，且没有公因式存在，例如：

y=，(其中a、b、c、d为互不相等的实数)，我们通常须将其整理成为(x-c)(x-d)y=(x-a)(x-b)的形式，当x=c或x=d即分母为0时，方程左边等于0，而(x-a)(x-b)≠0，即当x的取值使分母为0时，方程左右不相等，即没有y值与之对应，所以此时不必担心增根的问题。

但当分子分母中有公共因式存在时，情况就不同了。如文章开始时

我们解的那道求值域的题目：y=，整理后得：(x2–1)y=x2–2x–3，我们发现，当x=1时，即有x2–1=0，同时也有x2–2x–3=0。即当x的

取值使分母为0时，存在某一y值与之对应，所以此时用判别式法求值域时就会产生增根。

现在产生增根的原因已经搞清楚了，我们继续观察就会发现：增根产生的位置往往是在一元二次方程△=0的时候，这又是什么原因呢？让我们继续深入研究。

我们发现，上例中将△≥0的范围内取得的y值代入到一元二次方程中，所解得的x值中总有x=1这个值。也就是说，在此范围内的任何一个y值总有x=1与之对应。由此不难找出原因：使△＞0的y值（y≠2）均对应两个x值，其中x=1使得分母为0，为增根。另一个x值则在定义域内，所以y值可看成是由此x值对应的函数值。而当△=0即y=2时，方程有两个相同根：x=1，此时的y值（y=2）是由x=1对应的。而x=1可使分母为0，不在定义域内，故其所对应的y值2亦不在值域内。这就是增根总是出现在△=0处的原因。

弄清楚了出现增根的原因及出处，我们今后在做此类题目的时候，就一定要注意先检查一下所求二次分式函数的分子、分母是否能够约分，然后再去考虑是否采用判别式法来求其值域；或用判别式法求出其值域后，再将△=0时的y值代入分母进行检验，看是否会使分母为0，以确保不产生增根。