径向基函数在动网格中的应用及可并行性研究

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·技术?/?

TECHNOLOGY ·科研信息化技术与应用2012, 3(5): 4–12

径向基函数在动网格中的应用及可并行性研究

马文鹏，陆忠华，胡晓东

中国科学院计算机网络信息中心 超级计算中心，北京 100190摘 要：

关键词：

Applications of Radial Basis Functions in Dynamic Mesh and Its Parallelizability

Ma Wenpeng, Lu Zhonghua, Hu Xiaodong

Supercomputing Center, Computer Network Information Center , Chinese Academy of Sciences , Beijing 100190, China Abstract:

径向基函数广泛应用于网格变形、气动外形优化设计、网格优化等领域。近年来，基于径向基函数的动网格技术得到了深入的研究和广泛的应用。本文结合计算流体力学和高性能计算的应用背景，从径向基函数对网格的变形质量和变形效率进行了总结和进一步研究：在网格变形方面，重点对比了不同基函数对同一网格运动变形能力和同一基函数对不同网格运动的适应能力；在网格变形效率方面，分析了算法在计算和存储的瓶颈所在，考虑了?

OpenMP 和?GPU 这两种共享内存的加速方式，得到较好加速比。最后，分析了当网格规模增大时，动网格在分布式计算和存储模型?(MPI) 下的处理方法。

径向基函数；径向函数；动网格；网格变形；并行

Radial basis functions are widely used for mesh deformation, aerodynamic shape optimization, grid optimization, etc. Recently, dynamic mesh techniques based on radial basis functions are widely used and much more attention is paid to them. This paper summaries the quality and efficiency of mesh deformation with the applications of radial basis functions on both CFD (Computational Fluid Dynamics) and HPC (High Performance Computing). In addition, a further research is conducted on the following two aspects: the abilities to satisfy the same mesh motion among different radial basis functions and the abilities to satisfy different mesh motion using one radial basis function; computation and storage bottleneck are analyzed and then parallel solutions based on shared memory models including OpenMP and GPU are considered

基金项目：国家高技术研究发展计划 (863 计划) (2012AA01A304)；国家自然科学基金 (91130019)

马文鹏?等:?径向基函数在动网格中的应用及可并行性研究Keywords:

1 引言

动网格技术在航空航天领域里有着非常广泛的应用，如多体分离问题、飞机气动弹性问题等。所谓动网格就是在原始计算区域的网格生成后，根据实际问题的需要以边界的运动规律或者多体相对运动规律为条件更新计算区域内的网格的过程。例如，飞机上的外挂物分离问题，归结为多体相对运动问题，外挂物的离开对飞机周围的流场会产生影响，为了较好的模拟这一过程的流场而又避免每一个时间步网格的重新生成及全流场的插值，通常采用网格变形技术，即动网格技术，根据相对运动状态采用一定算法使网格发生形变以适应物体的运动，不必进行网格的重构，在网格的拉伸、扭转不足以满足计算需求时，采取局部重构以缩短处理网格的时间，提高计算效率及精度。

现有的动网格技术主要分为两大类：第一类技术考虑网格结点与结点之间的邻接关系，即每一点的偏移量是和其周围结点的运动有关，比较有代表性的方法是弹簧近似法[1,2]及在其基础上发展而来的扭转弹簧法[3,4]、半扭转弹簧法[5]。这类方法把整个求解区域的网格视为一个弹簧系统，通过弹簧系数来约束网格的运动，然后求解一个线性方程组来再次达到整个弹簧系统的平衡。弹簧近似法稳定性较好，最早应用于非结构网格变形，如果把结构网格、混合网格也采用非结构的数据结构，那么弹簧近似法很容易移植到结构网格、混合网格的变形中，因此弹簧近似法是一个较通用的方法，但在每一个时间步都需要求解一个弹簧平衡方程，求解规模大、存储量大、计算效率也较低。相反，第二类动网格技术无需考虑网格的邻接关系，每个点的运动位移通过边界点的位移插值得到，与其它非边界点无关。对于结构网格，较早发展的方法是无限插值法[6]，但其只适用于小变形的结构网格。Liu[7]提出了一种基于背景网格插值的方法，该方法实现简单，不需要迭代计算求解大规模方程组，适用于不同的网格类型，可以直接推广到三维网格变形中，是目前变形效率最高的动网格方法之一。但是背景网格插值法仅对凸域的变形有效，对于非凸边界变形(如可变飞行器)、曲面变形等则不能将边界变形传递到内部网格中，适用性大大降低。近年来，数学界对径向基函数 (Radial Basis Function, RBF) 插值进行大量研究，Frank[8]指出，在各种散乱数据插值方法中，径向基函数的插值结果最让人们满意。随后，RBF 应用到流固耦合计算中的界面参数传递中[9]及动网格生成中[10]。A. de Boer[10]等较详细的讨论了使用 RBF 来进网格的变形或移动。C. B. Allen[11]提出了一种适用于任意网格(结构、非结构、混合) 且适用于多边界运动的插值方法，该方法具有通用性，且考虑到了结构网格变形中边界正交性的保持，以提高网格变形中 CFD 求解器的求解精度。

随着具体问题求解规模的不断扩大，并行计算技术得到了广泛的应用。近几十年来，基于 CFD 的并行计算得到了较好的发展，也取得了可观的研究成果和工程应用。目前，大规模并行 CFD 求解器较多也比较成熟，但是动网格生成的并行化却相对滞后[12]，考虑到动网格在非定常求解上与求解器联系紧密，高效率高变形质量的动网格生成对整个非定常模拟的时间起着至关重要的影响。另外，每一种动网算法有一定的适用范围，这给设计出一套通用的基于动网格的并行非定常计算模型提出了挑战。本文首先总结介绍基于径向基函数的动网格算法，对比不同的径向基函数对同一网格运动的网格变形能力以及同一径向基函数对不同网格运动的适应能力，随后对此算法在网格规模较大时的计算和存储瓶颈进行分析，结合已有数据精简算法和高性能计算技术，使基于径向基函数的动网格算法在较大网格规模下的快速计算成为可能。最后结合 CFD 求解器及区域分解技术，讨论了分布

and a good speed up is obtained. Finally the solution to large-scale dynamic mesh on the conditions of distributed computing and storage model (MPI) is discussed.

Radial basis function; RBF (Radial Basis Function); Dynamic mesh; Mesh deformation; Parallel

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式并行计算模型下的动网格处理方法。2 基于径向基函数动网格算法

2.1 径向基函数概念及动网格算法

形如φ(?) = φ?(‖?‖ )(其中‖?‖表示欧式距离)的函数称为径向基函数(RBF)。常用的 RBF 基函数大致可以分为三类：全局 (global) 函数、局部 (local) 函数和紧支 (compact) 函数[10]，如表 1 所示。全局函数的函数值随离中心距离的增大而增大，且处处不为零；局部函数的函数值随离中心距离的增大而减小，且处处不为零；紧支函数的函数值也随着离中心距离的增加而减小，且该距离达到某一特定值 (称为紧支半径 support radius) 后函数值恒为零。

其中，紧支型 RBF 基函数有比较明显的特点：

, r 为紧支半径

有了 RBF 基函数，可以把它应用到网格的变形中，设在 d 维空间中的一组位置不同的点 X ＝{x 1, x 2, ...x n } 称之为中心点，这些中心点上对应的标量值为 d 1, d 2, ...d n ，对于一个给定的 RBF 基函数 φ (x )，确定一系列插值系数αj ，使得连续函数 s (x ) ＝ ∑ n

j =1 αj φ?(‖x -?xj ‖ ) 满足

= =

对于动网格问题，中心点就是运动边界上的点，而对应的标量值为由人为给定的边界运动方程直接求解出的边界运动位移，或者由当前时间步的流场压力分布及刚体动力学方程求解出的边界运动位移。对三维动网格的情

况，每个中心点上对应的标量有 3 个，分别是三个坐标方向上的网格运动位移。因此需要分别计算三个方向上

的插值系数 αj ，βj ，γj ，写成矩阵的形式为：

(1) 其中 α，β，γ 分别是 x ，y ，z 三个方向上的插值系数向量。M 是由中心点构成的矩阵

(2)

求解(1)三个线性方程组可以得到插值系数，再由插值系数可确定整个流场内点的网格运动位移

(3)

2.2 径向基函数法的网格变形质量

文献[12]指出，对于不同的网格变形，存在一个基函数选取的问题，基函数的选取直接关系到变形后网格的质量。有关网格质量，用文献[13]中相对网格面积及相对网格形状的指标 (记作f ss ) 进行评估，其中 f ss 在 0~1 之间，越接近 1，网格质量越好，反之，网格质量越差，并且当网格出现交叉(负体积)时，设置 f ss 为 0。

以 NACA0012 翼型为例，令其绕四分之一弦长

全局型和局部型 RBF 基函数

紧支型 RBF 基函数

名称φ?(x) [ = 10-5~10-3]

名称f?(ξ) = f?(x/y)

TPS X

2log (X )

CP C 0(1-ξ)2MQB CP C 2(1-ξ)4 (4ξ-1)IMQB CP C 4(1-ξ)6 (35/3ξ+6ξ+1)QB 1+X 2CP C 6(1-ξ)8 (32ξ3+25ξ2+8ξ+1)

IQB 1/(1+X 2)CTPS C 0(1-ξ)5

Gauss e -x 2CTPS C 11+80/3ξ2-40ξ3+15ξ4-8/3ξ5+20ξ2log (ξ)VS x CTPS C 2a 1-30ξ2-10ξ3+45ξ4-6ξ5-60ξ3log (ξ)R n

x n

CTPS C 2b

1-20ξ2+80ξ3-45ξ4-16ξ5+60ξ4log (ξ)

表?1 全局型、局部型和紧支型?

RBF 基函数

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图?1 NACA0012 翼型非结构化网格

图?2 不同?

RBF 基函数更新网格质量对比图?3 A=0.03 时网格变形效果

图?4 A 分别为?

0.06, 0.08, 0.1

时机翼相同部位变形效果处做旋转运动，二维非结构网格的分布如图 1 所示，选取表 1 中的 8 个紧支型的 RBF 基函数分别做网格更新计算，更新后最差网格质量随转动角度变化规律如图 2 所示。

从图 2 看出，CP C 2 函数适应大变形的能力最强，而其它函数在旋转角度大于 45 度时，所得到的网格质量会出现较大幅度的下降。CTPS C 0 随旋转角度的变化规律与 CP C 0 和 CP C 6 类似。对于 CTPS C 1 及 CTPS C 2 的两个函数，在转角小于 5 度时可以保持很高的网格质量，但是当转角超过 10 度时就会出现了负体积，适应能力较差，图 2 并未给出计算结果。

为讨论同一径向基函数对不同网格运动的适应能力，这里选取适应变形能力较稳定的 CP C 2 函数进行实验。实验假设网格边界做 ?y=A sin (4πx ) 运动。选取不同的A 值，来测试CP C 2函数对运动幅度大小的适能力。图 3 是 A=0.03 时全二维 NACA0012 机翼的显示结果。图 4 是 A 分别取 0.06，0.08，0.1 时靠近机翼尾部同一区域在放大相同规模后网格变形情况。在A=0.1时，机翼的形状(边界)已经发生了较剧烈的变化，此时网格未出现交叉现象，质量依然较好。

由以上实验可以看出，基于径向基函数的网格变形质量与所选取的径向基函数关系紧密，同时径向基

函数对不同的网格运动也有较好的适应能力，可以较好处理比较复杂的边界运动。

2.3 径向基函数法的计算及存储瓶颈

由 (1) 式可知，基于径向基函数的动网格算法需要求解 2 个 (二维) 或 3 个 (三维) 的线性方程组。线性方程组的求解，特别是随着并行计算的发展，大规

模线性方程组的求解一直是科学研究和工程应用的热

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点，95 288 个三角形单元的非结构网格，其中边界点有 1 592 个。测试环境配置如下：2 颗六核 Intel (R) x e o n (R ) 处理器 X 5650，主频为 2.67 G H z ，C/C++ 编译器为 GNU C/C++，版本为 4.4.4。表 2 是 OpenMP 并行 CG 算法而程序其他部分串行执行对整个程序的加速效果。图 5 为加速比曲线。

在上面针对二维网格的测试中，关于插值系数的两个线性方程组是分开求解的，而且整个程序只并行了 CG 算法，程序其他部分并未并行。分开求解两个线性方程组虽然可以节省临时内存的开销，但是两个线性方程组流程却一样，在相同网格规模下，显然会增加 OpenMP 线程开销，导致线程的创建、初始化、销毁比较频繁。考虑到 (1) 式的特点，各线性方程组的系数矩阵是相同的，这样就可以同时求解以增加求解过程中每步循环的计算量，保证

线程的开销对计算密集的部分是值得的。另外，生成 (1) 式中的系数矩阵和更新整个流场内点的位置的计算复杂度分别是 N 2boundary 和 N inner ×N boundary ，当网格规模较大时，这两部分作为串行计算将会限制

点。一般情况下，影响线性方程组求解效率主要有如下因素：(1) 方程组的规模；(2) 方程组的特征；(3) 求解算法的选择。对于基于径向基函数的动网格算法，方程组的规模是由求解区域的边界点的个数决定的；(1) 式 3 个线性方程组的系数矩阵是对称的；在通常情况下，jacob 迭代、Gauss Seidel 迭代、SOR 、SSOR 迭代是求解线性方程的通用方法，有实现简单、节省内存等优点。但是这些迭代法在方程组规模较大时，收敛效率低下，求解时间长，这个时间直接会影响流场每个时间步的推进效率。另外，文献[10]指出，当边界发生较大变形时，需要将较大的变形分解成几个中间步去实现以保证变形后网格的质量，而每个中间步的实现同样需要求解形如 (1) 式的方程组，这就对求解方程组的效率提出了更高要求。

目前常用于对称矩阵的线性方程组的方法有共轭梯度法 (CG )、预条件的共轭梯度法 (PCG ) 等。其方法均是矩阵乘以矩阵、矩阵乘以向量、向量内积、向量加减等操作，算法效率高，收敛快，但是需要显示存储矩阵、向量，内存需求较大，对于物面网格节点数目较多的三维网格变形问题，这样的内存消耗是难以接受的。因此，在网格规模较大时，很难达到动网格计算效率与内存需求之间的平衡。国内外的学者也对此问题展开了比较广泛深入的研究，Rendall [14]采用贪心法根据最大插值误差位置来逐步添加径向基函数的办法来实现径向基函数序列的精简，即在N 个物面网格节点中选取少部分的节点 (假设为 M 个) 作为径向基函数的支撑点，并且根据这 M 个节点上的位移建立一个满足精度要求的低维径向基函数插值来代替原来高维的径向基函数插值。此算法可以根据人为指定的插值误差精度来控制所选取的部分节点的个数，有比较大的自由度，解决了径向基函数法的存储瓶颈，为基于径向基函数的大规模并行动网格生成提供了可能。

2.4 基于径向基函数的动网格算法的并行化

根据上一节的分析，首先采用 OpenMP 多线程的并行方式并行了基于 RBF 基函数的动网格算法，所采用的是 NACA0012 翼型附近的包含 48 400 个图?5 OpenMP 并行?

CG 算法对整个程序加速效果CPU 核数程序运行时间（单位：秒）

加速比141.6281227.385 1.520415.644 2.66189.6543 4.31212

7.947

5.238

表?2 并行的?CG

算法对整个程序的加速效果(注：程序运行时间均用 linux 下的 time 命令测得)

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加速比的提高。为此，在相同的网格规模下，用并行 CG 算法同时求解两个线性方程组且并行生成系数矩阵和更新流场内点位置进行实验，实验结果如表 3 所示。图 6 为加速比曲线。由表 3 与表 2 的对比可以看出，采用并行 CG 算法同时求解两个线性方程组使得程序的整体性能得到了提高，串行和并行时间有所减少，并行系数矩阵的生成及流场内点的位置计算提高了并行的加速比。用 12 个核在 4.64 秒内即可完成 48 400 个节点的更新。

为了缩短整个流场的计算时间，在求解推进时间不变的情况下，需要尽可能的减少网格更新的时间。但是随着求解问题规模的不断扩大，网格数目也大幅度增加，而且单节点上 CPU 核心个数受硬件发展的限制不能达到更多，这样当问题规模较大时，即使基于 OpenMP 的并行动网格生成也需要占用求解过程中的大部分时间，影响着整个流场的计算效率。本文将基于径向基函数的动网格程序移植到了 GPU 上，并做了优化，充分利用了 GPU 内存共享的计算模型的优势，加速效果明显。实验采用三维 ONERAM6 翼型，包含 108 396 个网格节点，582 752 个四面体单

元，4 997个边界点，图 7 显示了 ONERAM6 翼型二维表面，图 8 显示了 ONERAM6 三维机翼整体图和局部放大图。

在 GPU 程序中，考虑到 GPU 硬件特性及 CUDA 编程特点，对程序做了如下优化：

(1) 减少了不必要的 kernel 的发起。由于需要求解三个线性方程组，且线性方程组的系数矩阵是相同的，可以对三个线性方程组同时求解，这样很多 GPU 上的矩阵、向量的操作就可以写在同一个 kernel 函数中，以减少同一数据在 global memory 和 shared memory 里重复

CPU 核数单独并行CG 算法时

加速比各部分均并行时

加速比135.332秒135.332秒1223.809秒 1.48422.342秒 1.58413.701秒 2.5711.772秒 3.0088.789秒 4.02 6.442秒 5.4812

7.030秒

5.03

4.640秒

7.615

图?6 优化后加速效果图?7 ONERAM6?翼型表面

图?8 ONERAM6 翼型整体图?

(左) 和局部放大图?(右)表?

3 优化前后程序运行时间及加速比的对比

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拷贝，增大计算密度，减少内存访问。这样，三个相同功能但数据不同的 kernel 就可以整合到一起，减少频繁发起 kernel 及内存拷贝的开销。

(2) CPU 代码和 CPU 到 GPU 内存拷贝的异步执行。在实验中，将边界点在已知运动规律下的位置更新放在 CPU 端，将线性方程组的求解、区域内点的更新放在 GPU 端，这样当 CPU 端在计算边界点的偏移量时，可以在此时进行 CPU 到 GPU 的内存传输，可以有效隐藏内存传输时间。最后再单独将边界点的偏移量数组拷贝到GPU端。

(3) 使用 -use_fast_math 编译选项。在使用 RBF 基函数时，难免会用到开平方、求对数等数学函数，使用 nvcc 编译程序时，用 -use_fast_math 选项可以使用 CUDA 硬件实现的数学函数计算库，加快浮点运算。

(4) 用 SOA (Structure Of Arrays) 代替 AOS (Array Of Structures)。在 CFD 串行程序设计中，通常将网格上的物理量(如压力、温度、密度、马赫数等) 及几何信息(如坐标、边长、面积、体积等) 封装成一个结构体变量，然后在程序中分配一个结构体的数组(AOS)，但是这种封装模式并不适合 SIMD 模式的 GPU 程序，因为不容易做到 global memory 的内存融合及优化。因此，在此程序中，用 SOA 取代 AOS，将网格点的每一条信息均声明一个数组来保存。

使用了以上的优化，将 GPU 对整个程序的加速和 OpenMP 对整个程序的加速做了对比，结果如表 4 所示。由表 4 可以看出 GPU 加速已经可以将程序的运行时间提升到秒的量级，这样可以大大节省 CFD 求解推进一步的时间，同时也可以看出 GPU 在浮点运算中的优势。其中最后一栏分别是 GPU 相对串行、8 个核、12 个核的 CPU 程序的加速比。值得指出的是，在实验中，并未对 ONERAM6 翼型的边界做数据精简工作，如若做数据精简，将 4 997 个边界点精简到 1 000 以内，程序的运行时间将会进一步缩短，完全可以满足 CFD 求解推进的需要。

3 分布式计算及存储环境下动网格的处理

随着高性能计算的发展与应用，基于千核、甚至万核级的大规模 CFD 并行求解器成为大规模应用的重点研究内容，此时分布式计算和存储必不可少。目前使用基于 MPI 通信的分布式计算和存储模型，在此基础上配合使用 OpenMP、GPU 单节点的内存共享模型来编写和设计 CFD 程序和软件。动网格与 CFD 求解器密切相关，当具体动网格应用规模较大时，则需要考虑分布式计算和存储。基于 RBF 基函数的动网格没有考虑到网格之间各节点的邻接关系，网格各节点的移动只是通过边界的位移插值得到，大大减少了处理网格数据结构的时间，使我们更加关注求解器。

对于非结构网格，目前主流的大规模的并行方式是通过区域分解将网格分块，然后各块通过 MPI 通信进行数据交换。目前较成熟的网格分区工具是 METIS 及其并行版本 PARMETIS。在此，通过一个基于 METIS 的实例说明在分布式计算模型下动网格的处理。图 9 显示了 NACA0012 翼型周围网格的 5个分区效果，一种颜色代表一个分区，黑色代表相邻区域的边界(ghost 区域)，各区域网格节点数为 1 148，1 145，1 137，1 147，1 149。可以看出，通过 METIS 分区后可以最大限度的保持各区域内节点数的大致相等，有利于实现分布式计算时的计算负载平衡。图 10 为相邻分区之间的 ghost 边界的局部放大显

8个CPU核心12个CPU核心 GPU 程序运行时间（s）3m50.1362m40.733 35.63

加速比（相对串行） 5.6988.15836.80 6.46 4.51表?4 GPU 程序运行时间及与OpenMP运行时间对比?(GPU: Tesla C1060，计算能力1.3)

（注：本表中最后一栏分别是GPU相对串行、8个核、12个核的CPU程序的加速比）

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示图。

在对网格进行分区之后，需要对每个处理器里的网格重新编号 (局部索引)，然后一一建立相邻区域 ghost 点的局部索引在不同处理器里的映射关系，每一个处理器都要保存一份 ghost 区域 (图 9 中相邻区域黑线所示) 网格在另外一个处理器的局部索引信息及坐标信息。对于动网格的处理，每个处理器无需重新保存一份网格信息，但需要保存一份区域的所有边界信息并重新建立索引，然后建立此处理器上保存区域的边界与整个边界信息的索引映射关系。在边界发生运动时，首先更新每个处理器中整个边界的网格信息，随后根据索引映射更新各处理器上保存的局部边界信息，最后更新每个处理器内点的网格信息。文献[15]中指出，整个区域的网格边界和内点相比是非常少的，每个处理器保存一份整个边界的网格信息是可能的而且是非常必要的，这样每个处理器同时计算边界运动，而不是一个处理器运算然后通过全局通信传递其它处理器。在网格分区后，各处理器计算通过边界运动来求解插值系数时，完全可以使用 OpenMP 或 GPU 来加速程序，这在 CPU+GPU 集群的异构并行环境下是完全可行的。

4 总结

本文从网格变形质量和网格变形效率两方面对基

于径向基函数的动网格算法进行了总结和进一步的研究，重点分析和讨论了此算法在共享内存下的加速效果及在分布式环境下处理大规模动网格的方式，所做工作有一定的实际工程应用意义。

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图?9 利用?METIS 对非结构网格的分区效果图?10 相邻分区之间的?

ghost

边界

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收稿日期：2012 年 7 月 8 日

马文鹏：中国科学院计算机网络信息中心超级计算中心，博士研究生，主要研究方向为高性能并行计算、计算流体力学。E-mail: markwinpe@https://www.360docs.net/doc/e34775619.html,

陆忠华：中国科学院计算机网络信息中心超级计算中心，研究员，博士生导师。主要研究方向为高性能并行计算、生物信息学、计算流体力学。

E-mail: zhlu@https://www.360docs.net/doc/e34775619.html,

胡晓东：中国科学院计算机网络信息中心超级计算中心，助理工程师，主要研究方向为计算流体力学、高性能并行计算。E-mail: huxd@https://www.360docs.net/doc/e34775619.html,

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