第一章证明(二)(课时安排)
1.你能证明它们吗?3课时
2.直角三角形2课时
3.线段的垂直平分线2课时
4.角平分线1课时
1.你能证明它们吗?(一)
教学目标:
知识与技能目标:
1.了解作为证明基础的几条公理的内容。
2.掌握证明的基本步骤和书写格式.
过程与方法
1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2.能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观
1.启发、引导学生体会探索结论和证明结论,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.
2.培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯.
重点、难点、关键
1.重点:探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问题.
2.难点:探究问题的证明思路及方法.
3.关键:结合实际事例,采用综合分析的方法寻找证明
的思路.
教学过程:
一、议一议:
1.还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
2.你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
给出公理和定理:
1.等腰三角形两腰相等,两个底角相等。
2.等边三角形三边相等,三个角都相等,并且每个角都
等于
60延伸.
二、回忆上学期学过的公理
本套教材选用如下命题作为公理:
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两
条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)
5.三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)
6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形
全等。(AAS)
B C
F
E
证明过程:
已知:∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF
求证:△ABC≌△DEF
证明:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∠D+∠E+∠F=180°
(三角形内角和等于180°)
∴∠C=180°-(∠A+∠B)
∠F=180°-(∠D+∠E)
又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)
∴∠C=∠F
又∵BC=EF(已知)
∴△ABC≌△DEF(ASA)
推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
随堂练习:
做教科书第4页第1,2题。
课堂小结:
通过这节课的学习你学到了什么知识?
作业:
1、基础作业:P5页习题1.11、2。
1.你能证明它们吗(二)
教学目标:
知识与技能目标:
掌握证明的基本思路和书写格式。
过程与方法目标:
经历观察——探索——发现的过程,能运用综合法证明等腰三角形判定定理。
情感态度与价值观目标:
1.感悟证明的实际意义以及必要性,形成探究意识。
2.结合实例体会反证法的含义,培养逆向思维。
重点、难点、关键:
1.重点:掌握证明的常见方法以及书写推理过程。
2.难点:寻找证明的思路,选择证明的方法。
3.关键掌握综合分析法,结合公理、定理,依据条件、结论进行推断、猜测,寻求证题的切入点.
教学过程:
一、提出问题,分组活动
(1)请同学们在练习本上画一个等腰三角形,一个等边三角形。
(2)在你所画的等腰(等边)三角形中作出一些你认为可以通过所学知识证明的相等线段。
二、下面是几种结论:
(1)等腰三角形两底角平分线相等。
(2)等腰三角形两腰上的中线、高线相等。
(3)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
(4)等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等。
(5)等腰三角形两底角平分线,两腰上的中线,两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等。
(6)等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等。
1.练习一证明:等腰三角形两腰上的中线相等。
2练习二证明:等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
三、将推理证明过程书写出来。
问题提出:有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
随堂练习:
已知:在ΔABC中,AB=AC,D在AB上,DE∥AC
求证:DB=DE
课堂小结:
(1)归纳判定等腰三角形判定有几种方法,
(2)证明两条线段相等的方法有哪几种。
(3)通过这节课的学习你学到了什么知识?了解了
什么证明方法?
作业:
1、基础作业:P9页习题1.21、
2、3。
2、拓展作业:《目标检测》
3、预习作业:P10-12页做一做
1.你能证明它们吗(三)
教学目标:
知识与技能目标:
1.经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程.
2.经历实际操作,探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程.
过程与方法目标:
1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
2.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
3.形成证明一些结论的基本策略,发展学生的实践能力和创新精神.
情感态度与价值观目标:
1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点、难点、关键:
1.重点:掌握两个几何定理,以及推理证明的逻辑思想。
2.难点:渗透分类讨论的数学思想,以及辅助残的应用。
3.关键:充分运用综合分析法分析证明的思路.注意辅助线的添加、辅助图形的构造。增强数学的分类意识。
教学过程:
一、提出问题:
(1)怎样判别一个三角形是等使三角形?
(2)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
(3)你认为有一个角等于?
60的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?
二、做一做
用两块含?
30角的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由。
三、提出问题:通过上述的拼摆,你联想到什么?在直角
三角形中,?
30角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?能证明你的结论吗?
定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于?
30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
课堂小结:
本节课是在学习了全等三角形判定、等腰三角形性质、判定以及推论的基础上进行拓展,通过新旧知识的迁移以及拼摆实验,直观地探索出定理:有一个角等于?
60的等腰三角形是等边三角形.以及定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于?
30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。这两个定理在简化几何步骤,以及计算或证明中起着积极的作用.
作业:
课本习题1.31、2、3
2.直角三角形(一)
教学目标:
知识与技能目标:
1.掌握推理证明的方法,发展学生初步的演绎推理能力。
2.进一步掌握推理证明和方法,发展演绎推理能力。
过程与方法目标:
1经历探索、猜测、证明的过程。学会运用本节定理进行证明。
2.了解勾股定理及其逆定理的证明方法。
情感态度与价值观目标:
1.培养学生综合分析能力,几何表达能力和积极主动的参与探索活动的良好习惯,体会数学结论在实际中的应用。
2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
重点、难点、关键:
1.重点:掌握推理证明的方法,提高思维能力。
2.难点:对勾股定理、逆定理的推理证明以及对逆命题的叙述。
3.关键:把握演绎推理思维,充分运用公理和学过的定理进行论证。对于逆命题问题应通过实际事例让学生验证逆命题的正确性。
教学过程:
议一议:
观察下列三组命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?如果两个角是对顶角,那么它们相等。
如果两个角相等,那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧。
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎。
三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
3、关于互逆命题和互逆定理。
(1)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
(2)一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
随堂练习:
1.写出命题“如果有两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题,并判断是否是真命题。2.试着举出一些其它的例子。
3.随堂练习1
课堂小结:
本节课你都掌握了哪些内容?
2.直角三角形(二)
教学目标:
知识与技能目标:
1.经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法,进一步理解证明的必要性.
2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命
题不一定成立.
过程与方法目标:
1.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,
发展抽象思维.
2.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理的能力.
3.形成证明一些结论的基本策略,发展学生的创新精神.情感态度与价值观目标:
1.在数学活动中,获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
2.积极参与数学活动,对数学命题的获得产生好奇心和求知欲.
重点、难点、关键:
1.重点:探究直角三角形全等的证明方法。
2.难点;用数学的语言清楚地表达自己的想法,正确的表达书写证明过程。
3.关键:引导学生着重分析证明的思路和方法,注意书写表达的规范性。
教学过程:
两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗?如果相等说明理由。如果不相等,应如何改变条件?用自己的语言清
楚地说明,并写出证明过程。
问题1,此定理适用于什么样的三角形?(适用于直角三角形)
2、
些,分别说出?(HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。)做一做如图利用刻度尺和三角板,能否
做出这个角的角平分线?并证明。
练习随堂练习P23--1
判断命题的真假,并说明理由
1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。
2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等
的两个直角三角形全等。
随堂练习:
随堂练习1.
议一议
如图:已知∠ACB=∠
要使⊿ACB≌⊿BDA
理由。
课堂小结:
本节课通过问题的牵引,小组合作讨论.探究出证明直角三角形的方法“HL”.再在实际问题中运用.加深理解,拓展
思维,提高综合分析能力和书写表达能力。综合开放性试题培养大家的探究意识.
作业:
课本习题1.51、2
3.线段的垂直平分钱(一)
知识与技能目标:
1.经历探索、猜测过程,能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.
过程与方法目标:
1.经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神。
3.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果.
情感态度与价值观目标:
1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点、难点、关键:
1.重点:理解和掌握线段垂直平分线定理,并能正确运用。
2.难点:运用综合证明的方法,命题的逆命题的书写。
3.关键:把握住“探索——发现——猜想——证明”的主线,注意从已知条件的推理中,以及求证问题的变换中寻找突破口.对于道命题的写法重要的是,分析原命题的条件、结论,再写出其逆命题。
教学过程:
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
提问:尝试写出证明过程。
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
定理:到一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
操作幻灯机,展示证明过程
随堂练习:
随堂练习1.
课堂小结:
本节课通过探索、思考证明线段的垂直平分线定理的思路,加深思维的认知过程。本节课的定理在实际应用中所起着简化证明的作用,同时在制图的方面有着较为实际的应用。对于定理的逆命题,首先要正确理解一个定理的条件和结论,注意区分,并且明确:一个定理不一定有逆定理.在尺规作图既要做出图形又要讲清作图的依据。
作业:
1.课本P26、2、3
2.线段的垂直平分线(二)
知识与技能目标:
1.经历探究、发现的过程,提高推理证明能力。
2.进一步发展学生的推理证明意识和能力。
过程与方法目标:
1.创设思考的时间和空间,体验线段垂直平分线定理的实际应用。
2.能运用所学定理进行尺规作用,并能说明作图依据.
3.能够证明线段垂直平分线的性质定理.
情感态度与价值观目标:
1.培养学生的逻辑思维能力,动手操作能力,
以及参与意识.
2.培养学生探究精神,参与意识,形成合作交
流的课堂氛围。
重点、难点、关键:
1.重点:掌握尺规作图的方法。
2.难点。尺规作图的构思.
3.关键:把握住线段垂直平分线的定理,运用尺规作图的基本方法,首先构思而后再画出规范的图形.这里先进行草图构思是关键。
教学过程:
动手操作:分四人小组,让每位学生剪一个三角形纸片,通过折叠找出每条边的垂直平分线,观察这三条垂直平分线,你发现了什么?当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时,你是否也发现了同样的结论?与同伴进行交流。
定理;三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
议一议
1.已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三角形吗?如果能,能作几个?所作出的三角形都全等?
1.的答案是:这样的三角形能作出无数个。它们不都全等。
议一议
2.已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
随堂练习:
随堂练习1、2
课堂小结:
本节课主要训练尺规作图,通过绘制图形,让学生体验定理在实际中的运用,感悟其实际价值。学习中要注意构思所要制作的图形的作法,画出草稿,分析方法。不要急于动手。对于三线一点的证明应总结其证明手法。在书写作法中,要注意几何语言的表达,同时注意作图的依据。
作业:
课本习题1.71.2
4.角平分线
教学目标:
知识与技能目标:
1.角平分线的性质定理的证明.
2.角平分线的判定定理的证明.
3.用尺规作已知角的角平分线.
过程与方法目标:
1.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力.
2.体验解决问题策略的多样性,提高实践能力.
情感态度与价值观目标:
1.能积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点、难点、关键:
1.重点。掌握角平分线的定理以及它的逆定理,并能正确应用.
2.难点:应用角平分线定理和逆定理进行证明,作图的作法表达。
3.关键:弄清定理的条件和结论,充分运用综合分析法进行推理证明。
教学过程:
提出问题:角平分线上的点有什么性质?你是怎样得到的?请你尝试证明它。
先绘制角平分线的示意图,通过图形进行直观理解,并运用所学公理、定理探索证明思路,规范证明表达。
提出问题
1.请你写出角平分线的逆命题。
2.判断它是真命题还是假命题。
3.如果它是真命题,你能证明吗?
做一做
用尺规作角的平分线。
在黑板上制图,边绘图,边指导。
随堂练习:
随堂练习1、2
读一读.
课堂小结:
本节课主要学习角平分线的定理以及逆定理,通过探究角平分线的性质回顾和尝试证明,并且掌握逆命题的验证。感悟逆定理的内含,同时通过对定理以及逆定理的证明,体会综合证明的方法.
作业:
课本习题1.81、2、3
2.选用课时作业设计。
第二章一元二次方程(课时安排)
1.花边有多宽2课时
2.配方法1课时
3.公式法1课时
4.分解因式法1课时
5.为什么是0.6181课时
1.花边有多宽(一)
教学目标:
知识与技能目标:
1.一元二次方程的概念
2.一元二次方程的有关概念.
过程与方法目标:
1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.
2.理解一元二次方程的概念
情感态度与价值观目标:
从生活实际中抽象出数学问题,让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.
重点、难点、关键:
1.重点:(1)掌握一元二次方程的解法,特别是公式法。(2)培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力。
2.难点:(1)用配方法解一元二次方程。(2)一元二次方程
教学过程:
生活实例1观察:挂图显示出生活中丰富多彩的花边图案:有长方形,有圆形,有正方形,有椭圆形等(课前收集);在课本图2一二的长方形花边上.
问:这块四周建有宽度相等的底边的地毯,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?
通过上述丰富的实例,为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助。
问:连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和?
问:上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程:
1.(8一2x)(5一2x)=18
2.x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2
3.(x+6)2+72=102
议一议:上述三个方程有什么共同特点?
问:有大小两个圆形花坛,小四花坛面积比大花坛面积少10m,小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m,设大花坛周长
为x,借你列出关于x的方程。
随堂练习:
随堂练习1、2
课堂小结:
本节课首先通过丰富的实例。观察、归纳出一元二次方程的有关概念,体会方程的模型思想。要掌握的概念(二)一元二次方程定义(2)一元二次方程一般式:(3)二次项、一次项、常数项的有关概念。注意:任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式。
作业:
课本习题2.11、2
1.花边有多宽(二)
知识与技能目标:
1.经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。
2.经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.过程与方法目标:
1.能够利用一元二次方程解决有关实际问题,能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
2.提高解决问题的能力。
情感态度与价值观目标:
1.鼓励学生大胆估算,与同伴交流月底,领悟数学知识的实际价值。
2.了解一元二次方程及其相关概念,会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数),并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
3.经历在具体环境中估计一元二次方程解的过程,发展估算意识和能力.
重点、难点、关键:
1.重点:探究一元二次方程的解或近似解,发展学生估算意识和能力.
2.难点:用估算的方法寻求一元二次方程的解.
3.关键:根据实际问题确定其值的大致范围.
教学过程:
回顾:1.什么叫一元二次方程?
一元二次方程的一般式是怎样的形式?
问:解花边有多宽的实例以及所提出的问题。
做一做:在前一课的问题中,梯子底端滑动的距离x (m )满足方程(x +6)2+72=1。
如图一张长20cm ,宽16cm 的风景图片,要在它的四周镶上一条同样宽的金色纸边,如果要使金边的面积是图片面积的
80
19
,金边宽应该是多少? 随堂练习: 随堂练习1.
问:已知直角三角形三边长为三个连续偶数,并且直角三角形面积为24,求这个直角三角形三边长? 课堂小结:
本课时承上一课时的现实问题,探索一元二次方程的过成近似解,发展估算意识和能力,首先解决上一课时提出的第1个问题“花边有多宽”,这个问题解正好是整数。然后解决第3个问题“梯于的底端滑动多少米”,这个问题的解是无理数,应借助解决第1个问题的经验求出近似解,深时作业设计中完成了上一课时的第2个问题.对于几个问题的具体解决,应先根据实际问题确定其解的大致范围。
作业:
课本习题2.2 1.2
2.配方法
知识与技能目标:
1.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤. 过程与方法目标:
1.理解配方法;知道“配方”是一种常用的数学方法. 2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 3.能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤. 情感态度与价值观目标:
通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力.
重点、难点、关键:
1.重点:运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 2.难点:配方过程中,解一元二次方程的要点的理解。 3.关键:充分运用等式的性质,首先把方程化为一般式。然后再把二次项系数化为1,接着将常数项配成一次项系数一
半的平方,再减去这个常数项保持恒等,使左边配成一个完全平方式。在这里,化二次项系数为1和等式两边同时配上一次项系数的一半的平方是关键。
教学过程:
解下列一元二次方程
5)1(2=x 5)2)(2(2=+x 5)6)(3(2=+x 53612)4(2=++x x
解方程015122
=-+x x
解:15122
=+x x ,(常数项移到右边)
222)2
12
(15)212(12+=++x x (这里的二次项系数必须
为1)
51)6(2=+x (整理)
51)6(±=+x (运用两边开平方)
因此方程015122
=-+x x 有两个根
6511-=x 6512--=x (不合题意应舍去)
做一做
“读一读”由学生阅读理解.
随堂练习: 随堂练习1. 课堂小结:
本节课重点学习了配方法解一元二次方程。当方程形如
)0()(2≥=+n n m x 时,可直接用开平方法求解比较简单,但
两边同时开平方时,要注意取正负号,不要与求算术平方根混淆。用配方法解一元二次方程首先要注意将方程化成一般形式,如果二次项系数不为1,要先化二次项系数为1再开始配方,配方时应注意两边同时同上一次项系数一半的平方;最后整理出)0()(2≥=+n n m x 的形式,而后应用开平方求解.
作业:
课本习题1.2.(3)(4) 2.4.二、2(二)(4)
3.公式法
知识与技能目标:
1.一元二次方程的求根公式的推导
2.会用求根公式解一元二次方程
过程与方法目标:
1.通过公式推导,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力.
2.会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.
情感态度与价值观目标:
1.通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力,养成良好的运算习惯.
2.通过公式推导,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力。
重点、难点、关键:
1.重点:掌握用公式法解一元二次方程。
2.难点;对公式法中求根公式的推导过程的理解.
3.关键:运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。
教学过程:
问题:你能用配方法解方程0
2=
+
+c
bx
ax吗?
通过推导得出答案:
a
ac
b
b
x
2
4
2+
±
-
=
例题:
1.用篱笆国成一个长方形菜地,其中一面靠墙,且在与墙平行的一边开一扇2米宽的门,如果墙长50米,现有能围成91米长的篱笆,菜地的面积需要1080平方米,求菜地的长和宽.
2.随着改革开放,市场经济不向发展,许多农民走上了致富的门道路。《新华日报》1994年3月18B报道了江苏省金湖县塔泉乡对坝村王兴国利用一幢旧平房改建成免舍成为十万元户的消息.王兴国的旧平房墙长16米,若欲再利用一面墙扩建一面积为150平方米的长方形免舍,现有的材料可供这另三面墙共35米长,问免舍的长与宽各为多少米?
随堂练习:
随堂练习1、2
课堂小结:
公式法实际上是配方法的一般化和程式化,利用公式法可以较为简便地解一元二次方程。
作业:
课本习题2.61、2
第三章证明(三)(课时安排)
1.平行四边形2课时
2.特殊平行四边形3课时
1.平行四边形(一)
知识与技能目标:
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的过程.过程与方法目标:
能适用综合法征明平行四边形的性质定理,及其他相关结论.
情感态度与价值观目标:
体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法.
重点、难点、关键:
1.重点:掌握平行四边形的性质定理.
2.难点:探索证明过程,感悟归纳类比、转化的教学思想。3.关键:充分应用合情推理与演绎推理获得结论.教学过程:
问题:1.平行四边形有哪些性质?
2.平行四边形有哪些判别条件?
3.如何运用公理和已有的定理证明它们?
讲解证明过程注意:
1.利用三角形全等证明.2.利用定理“平行四边形对边相等”。
相关认知:
1.平行四边形是一类特殊的四边形,即两组对边分别平行的四边形,平行四边形是中心对称图形。它的对角线的交点为对称中心.
2.平行四边形的主要性质有:时边相等、对角线等,对边平行,对角线互相平分。
3.平行四边形是一种特殊的四边形,它的一些性质是进行有关证明或计算的基础.如,应用边的性质,可以求解边长、周长、对角线长,以及平行等问题;应用角的性质,可求解角的问题,应用对角线的性质,可证明两个三角形全等,再通过三角形全等研究角或线段之间的关系。
4.由平行四边形的性质可以得出一些角与线段的相等关系,特别地说,可知:夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等.
随堂练习:
随堂练习1、2
课堂小结:
引导学生探索证明的不同思路和方法、并进行适当的比较和讨论,以开阔学生的视野,培养学生的思维能力。
作业:
课本习题3.11、2
1.平行四边形(二)
知识与技能目标:
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.过程与方法目标:
能够用综合法证明平行四边形的判定定理.
情感态度与价值观目标:
感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法.重点、难点、关键:
1.重点:掌握证明平行四边形的方法。
2.难点;运用综合法证明问题的思路。
3.关键:正确分析条件和结论,通过已知条件的推理,再运用结论的等价转换和逆推,寻求解决问题的思路.教学过程:
提问:1.说一说平行四边形有那些性质?
2.你能写出(1)中的逆命题吗?
3.如何证明判别一个四边是平行四边形的方法?
性质:1.平行四边形对边相等
逆命题:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
性质:2.平行四边形对角相等
逆命题:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
性质:3.平行四边形两条对角钱互相平分
逆命题:两条对角钱互相平分的四边形是平行四边形。
性质:4.平行四边形两组对边分别平行
逆命题:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
议一议
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗?如果是,请你证明它,并与同伴交流。
涉及到平行四边形判定的问题,应注意灵活选择不同的判定方法。从边看:
有三种判定方法:两组对边分别相等;两组对边分别平行;一组对边平行且相等。
从角看:
两组对角分别相等;
从对角线看:对角线互相平分。
随堂练习:
随堂练习1、2、3
课堂小结:
在证明中,离不开线段的平行、相等,或角的相等关系,因此,除题目中已给出的线段平行、相等或角相等的条件外,都要通过三角形全等得到所需要的判定条件,总之,平行四边形的问题通常要转化成三角形问题来解决。
作业:
课本习题3.21、2
1.平行四边形(二)
知识与技能目标:
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.过程与方法目标:
能够用综合法证明有关定理的结论.
情感态度与价值观目标:
理解在证明过程中所适用的归纳、类比、转化等数学思想方法.
重点、难点、关键:
1.重点:掌羹和运用三角形中位线定理。
2.难点:三角形中位线定理的证明.
3.关键:通过旋转的思想,将三角形中的问题转化到平行四边形和三角形中去解决,可以应用实物模型辅助理解.教学过程:
提问:请同学们思考:将任意一个三角形分成四个全等的三角形.你是如何切问的?
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
想一想
三角形的中位线与第三边有怎样的关系?能证明你的猜想吗?
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
利用三角形中位线定理及三角形全等的“SSS”公理就可以比较容易地证明四个小三角形全等.
做一做
随堂练习:
随堂练习1、2、3
课堂小结:
通常可利用中位线定理添加辅助线可以构成几个基本图形.作业:
课本习题3.31、2、3、4
2.特殊平行四边形(一)
矩形
知识与技能目标:
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力。过程与方法目标:
能够用综合法证明矩形性质定理和判定定理.
情感态度与价值观目标:
1.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
2.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法.
重点、难点、关键:
1.重点:掌握矩形的性质和判定以及证明方法.
2.难点:运用综合法证明矩形的性质和判定。
3.关键:把握推理论证的方法——综合法。
教学过程:
提问:
1.你了解哪些特殊的平行四边形?
2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系?3.能用一张图来表示它们之间的关系吗?
提问:平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系。1.矩形具有平行四边形的一切性质。
2.矩形四个角都是直角。
3.矩形的对角线相等。
定理矩形的四个角都是直角.
定理矩形的对角钱相等。
随堂练习:
随堂练习1、3
课堂小结:
1.矩形具有平行四边形的一切性质。
2.矩形四个角都是直角。
3.矩形的对角线相等。
作业:
课本习题3.323、4
2.特殊平行四边形(二)
菱形
知识与技能目标:
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力。过程与方法目标:
1.能够用综合法证明菱形的性质定理和判定定理等。2.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
情感态度与价值观目标:
体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。
重点、难点、关键:
1.重点:掌握菱形的性质和定理,以及证明方法。
2.难点:运用综合法证明菱形的性质、判定定理。
3.关键:把握住综合分析法,推理论证。
教学过程:
提问:菱形有哪些性质?你能证明吗?
定理:菱形的四条边都相等。
定理:菱形的对角钱互相垂直,并且每条对角线平分一组对角。
思路点拨:利用菱形的定义以及平行四边形的性质容易证明第一个定理;
证明第二个定理主要用到“平行四边形的对角线互相平分”和等腰三角形“三线合一”的性质。
想一想
怎样判别一个平行四边形是菱形?请证明你的结论。
证明时要用到“平行四边形的对角线互相平分”“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”。
定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
随堂练习:
随堂练习1、3
课堂小结:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
2.特殊平行四边形(三)
正方形
知识与技能目标:
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力.过程与方法目标:
1.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。
2.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
情感态度与价值观目标:
体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化的思想.重点、难点、关键:
1.重点:掌握正方形的性质和判定,以及证明。
2.难点:运用综合法证明.
3.关键:把根综合分析的基本思路,运用转化的思想方法解决问题。
教学目标:
提问:1.正方形有哪些性质?
2.判定一个四边形是正方形有哪些方法?
正方形性质:
1.具有平行四边形所有性质
2.具有菱形的所有性质
3.具有矩形的所有性质
正方形的判定:
先证矩形,再证有一组邻边相等
先证菱形,再证有一个角是直角
你能证明所得出的结论吗?
议一议
1.依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜,再证明。
2.依次连接平行四边形四边中点呢?
3.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系?
做一做
随堂练习:
随堂练习1
课堂小结:
当平行四边形的一个角为直角、一组邻边相等时、图形为正方形。正方形既是平行四边形的特例,又是矩形和菱形的特例.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.它既是中心对称图形,又是被对称图形.正方形除具有平行四边形的一切性质外,还具有如下性质:四个角都是直角;四条边都相等;两条对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.判定一个四边形是正方形的思路。
作业:
课本习题3.423、4
北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”) 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
北师大版数学九年级上册知识点归纳
北师大版《数学》(九年级上册)知识点归纳 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b 最新北师大版九年级数学上册知识点总结
最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理. (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. (3)如何用尺规作图法作出角平分线
(完整版)北师大九年级数学知识点
北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的 直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:2 22c b a =+(注意区分斜边与直角边) ②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线..。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示, AO=BO=CO ) ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。 (如图2所示,OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02 =++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... 。 ※把02 =++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 (主要包括“提公因式”和“十字相乘”) A C B O 图1 图2 O A C B D E F
北师大版数学九年级上册知识点总结
九年级上册数学知识点总结 第一章 证明(二) 一、全等三角形的判定:SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形:等边对等角,等角对等边。 三、等边三角形 (1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式: 由三角形面积公式可得:两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (如图1所示,AO=BO=CO ) 3、角的平分线的判定定理: 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示,OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F
北师大版九年级数学上册知识点归纳总结
九年级数学上册知识点归纳(北师大版) 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的 两顶点连成的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形
1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 ※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 一个内角为直角 菱形 一组邻边相等
北师大版九年级数学上册知识点总结
九(上)数学知识点答案 第一章证明(一) 1、你能证明它吗? (1)三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 (2)等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”)(3)等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。 判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 (4)含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。(2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 3、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。 (2)三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。 (3)如何用尺规作图法作出角平分线
最新北师大版九年级数学上册教案
最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程
一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
2020年北师大版九年级数学上册全册教案
课题 1、你能证明它们吗(一) 课型新授课教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学重点了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 教学方法观察法教学后记教学内容及过程学生活动一、复习 1、什么是等腰三角形? 2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质?二、新课讲解 在《证明(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 w 本套教材选用如下命题作为公理 : w 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; w 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; w 两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) w 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) w 三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) w 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)证明过程 已知∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证△ABC≌△DEF 证明∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知)∵∠A+∠B+∠C=18°,∠D+∠E+∠F=18°(三角形内角和等于18°)∠C=18°-(∠A+∠B) ∠F=18°-(∠D+∠E) ∠C=∠F(等量代换) BC=EF(已知)△ABC≌△DEF(ASA)这个推论虽然简单,但也应让学生进行证明,以熟悉的基本要求和步骤,为下面的推理证明做准备。 三、议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?等腰三角形(包括等边三角形)的性质学生已经探索过,这里先让学生尽可能回忆出来,然后再考虑哪些能够立即证明。 定理等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为等边对等角。 已知如图,在ABC中,AB=AC。
新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)
2014年(新版)九年级数学上册知识点归纳(北师大版) (八下前情回顾)※平行四边的定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 .....,平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ...。 ※平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离:若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ..。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。(矩形是轴对称图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
北师大版九年级数学下册全套教案1
第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时) 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的? 二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题)
⑴Rt △A B1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动 扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tan A和tanB 的值. 四、随堂练习: 1、如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC 吗? 2、如图,某人从山脚下的点A 走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m ,求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置 比原来的位置升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边 的夹角为θ,则tanθ=______. 5、如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的 长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背 水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习: 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值. 5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
北师大版初三数学知识点总结
北师大版初三数学上册知识点汇总 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的 直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:2 2 2 c b a =+(注意区分斜边与直角边) ②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线..。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示, AO=BO=CO ) ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。 (如图2所示,OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02 =++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... 。 ※把02 =++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F
北师大版数学九年级上
一、填空题 1.一个矩形的面积是48平方厘米,它的长比宽多8厘米,则矩形的宽x (厘米),应满足方程__________. 2.有一张长40厘米、宽30厘米的桌面,桌面正中间铺有一块垫布,垫布的面积是桌面的面积的21,而桌面四边露出部分宽度相同,如果设四周宽度为x 厘米,则所列一元二次方程是__________. 3.在一块长40 cm ,宽30cm 的矩形的四个角上各剪去一个完全相同的正方形,剩下部分的面积刚好是矩形面积的3 2,则剪下的每个小正方形的边长是__________厘米. 4.一个两位数,十位上的数字是a ,个位上的数字是b ,则这个两位数可以表示为__________. 5.两个连续整数,设其中一个数为n ,则另一个数为__________. 6.两个数之差为5,之积是84,设较小的数是x ,则所列方程为__________. 7.增长率问题经常用的基本关系式: 增长量=原量×__________ 新量=原量×(1+__________) 8.产量由a 千克增长20%,就达到_______千克. 二、选择题 1.用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形,则其长和宽分别是 A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.(5+3)米和(5-3)米 D.米米和21352135-+ 2.如果半径为R 的圆和边长为R +1的正方形的面积相等,则 A.11--=ππR B.1 1-+=ππR §2.5.1 一元二次方程
C.112--+=ππR D.1 12-++=ππR 3.一个两位数,个位上的数比十位上的数小4,且个位数与十位数的平方和比这个两位数小4,设个位数是x ,则所列方程为 A.x 2+(x +4)2=10(x -4)+x -4 B.x 2+(x +4)2=10x +x +4 C.x 2+(x +4)2=10(x +4)+x -4 D.x 2+(x -4)2=10x +(x -4)-4 4.三个连续偶数,其中两个数的平方和等于第三个数的平方,则这三个数是 A.-2,0,2或6,8,10 B.-2,0,2或-8,-8,-6 C.6,8,10或-8,-8,-6 D.-2,0,2或-8,-8,-6或6,8,10 5.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,问二、三月份平均每月增长率是多少?设平均每月增长率为百分之x ,则 A.50(1+x )2=175 B.50+50(1+x )2=175 C.50(1+x )+50(1+x )2=175 D.50+50(1+x )+50(1+x )2=175 6.一项工程,甲队做完需要m 天,乙队做完需要n 天,若甲乙两队合做,完成这项工程需要天数为 A.m +n B.21(m +n ) C.mn n m + D.n m mn + 三、请简要说出列方程解应用题的一般步骤。 四、列方程解应用题 如右图,某小区规划 在长32米,宽20米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的3 条小路,使其中两条与AD 平行,一条与AB 平行,其余部分 种草,若使草坪的面积为566米2,问小 路应为多宽?
北师大数学九年级上册知识点总结
北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结 第一章 证明(二) 一、公理(1)三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。 (2)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS ”)。 (3)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA ”)。 (4)全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS ”)。 二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角) (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)。 等腰三角形的其他性质: ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)。 ③等腰三角形的三边关系:设腰长为a ,底边长为b ,则2 b 性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。 (2)三线合一 判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3):有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 四、直角三角形 (一)、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理:直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 22c b a =+ 其它性质: 1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。 2、常用关系式:由三角形面积公式可得: 两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 (二)、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 (三)直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL 定理(斜边、直角边定理):有斜
北师大版九年级数学知识点汇总
北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质:(1)平行四边形的对边平行且相等。 (2)平行四边形的对角相等,邻角互补。
(3)平行四边形的对角线互相平分,两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 (4)平行四边形是中心对称图形。 3、判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积:S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质。 (2)菱形的四条边都相等。 (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 (4)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。 3、判定:(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 (3)四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积:S菱形=底ⅹ高;S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质:(1)矩形具有平行四边形的所有性质。 (2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等且互相平分,两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 (4)推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 (5)矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形(两条)。 3、判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)对角线相等的平行四边形是矩形。 (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积:S矩形=底ⅹ高
北师大版九年级上册数学全册各章知识点汇总
最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总 第一章特殊平行四边形 第二章一元二次方程 第三章概率的进一步认识 第四章图形的相似 第五章投影与视图 第六章反比例函数 第一章特殊平行四边形 1.1菱形的性质与判定 菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. ※菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴. ※菱形的判别方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 1.2 矩形的性质与判定 ※矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形 .矩形是特殊的平行四边形. .. ※矩形的性质:具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角.(矩形是轴对称
图形,有两条对称轴) ※矩形的判定:有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义). 对角线相等的平行四边形是矩形. 四个角都相等的四边形是矩形. ※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.3 正方形的性质与判定 正方形的定义:一组邻边相等的矩形叫做正方形. ※正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(正方形是轴对称图形,有两条对称轴) ※正方形常用的判定:有一个内角是直角的菱形是正方形; 邻边相等的矩形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形. 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示): ※梯形定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ※ ※ 鹏翔教图3
※等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形. ※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. ※夹在两条平行线间的平行线段相等. ※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程...... 2.2 ...用.配方法求解.....一元二次方程...... 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为02=++c bx ax (a 、b 、c 为 常数,a ≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程...... . ※把02=++c bx ax (a 、b 、c 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项. ※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式) ③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解.
最新九年级数学试卷(北师大版)
九年级数学试卷(北师大版) 九年级数学试卷(北师大版) 一、选择题:(共10小题,每小题2分,满分20分;每小题只有一个正确的答案,请把正确的答案填在相应的表格1.袋中有5个白球,有n 个红球,从中任意取一个,恰为白球的概率是3 1 ,则n 为 A.16 B.10 C.20 D.18 2.下列命题中,真命题是 A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线垂直的四边形是菱形 C.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 D.两条对角线相等的平行四边形是矩形 3.抛掷一枚质量分布均匀的硬币,出现“正面”和出现“反面”的机会均等,则下列说法正确的是 A.抛1 000次的话一定会有500次出现“正面” B.抛1 000次的话一定会有500次出现“反面” C.抛1 000次的话出现“正面”和出现“反面”的次数都非常接近500次 D.抛1 000次的话,出现“正面”和出现“反面”的次数无法预测,没有规律可循 4.反比例函数x y 2 ,当x ≤3时,y 的取值范围是 A.y ≤32 B.y ≥32 C. 0A. 16cm B. 20cm C. 16cm 或20cm D.不能确定 6.在ABC ?中,3:2:1::=∠∠∠C B A ,,,A B C ∠∠∠对边分别为,,a b c ,则::a b c 等于 A .1:2:1 B . C .2 D .1:2 7.在同一坐标系中,反比例函数x k y = 和一次函数3+=kx y 的图象大致是 8.在一个晴朗的上午,小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验,矩形木板在地面上形成的投影不可能... 是 9.如图,直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三 条公路的距离相等,则供选择的地址有 A .1处 B .2处 C .3处 D .4处 ( (第9题) 10. 某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价的百分率为x ,则下列方程中 正确的是 A .55 (1+x )2=35 B .35(1+x )2=55 C .55 (1-x )2=35 D .35(1-x )2=55 二、填空题:(共6小题,每小题3分,满分18分;请把答案填在横线上)
北师大版数学九年级上册课本答案.doc
北师大版数学九年级上册课本答案【篇一:北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】 卷满分120 分考试时间120 分钟) 一、选择题(共10 小题,每小题 3 分,计30 分) 1、下列各组图形中,是全等三角形的一组是() a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形 b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形 d.边长为12cm 的两个等边三角形 2、等腰三角形的周长为13,其中一边长为3,则该等腰三角形的 底边长为() a.7 b.3 c.7 或3 d.5 3、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这 个三角形是() a.等腰三角形 b.等边三角形 c. 直角三角形 d.等腰直角三角形 4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中() a.有两个角是直角 b.有两个角是钝角 c. 有两个角是锐角 d.一个角是钝角,一个角是直角 6、如图1-2,在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下, 倒 a.10m b.15m c.25m d.30m c b a d 图1-1 图1-2 7、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角,那么另 外 两个角是锐角③若两直线平行,则内错角相等④三边都相等的三角 形 是等边三角形。其中逆命题正确的有() a.①③ b. ②④ c.①② d.③④ 8、如图1-3(1)在△abc 中,d、e 分别是ab,ac 的中点,将△ ade 沿线段de 向下折叠,得到图形1-3(2),下列关于图(2)的 四个结论中,一定不成立的是() c. △dba 是等腰三角形 d.de ∥bc
e c 图1-3 b c (2)(1)a a.1 b.2 c.3 d.4 b e aa c 图1-4 图1-5 二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,计18 分) 11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内,下列四个命题:①如果 ③如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c 其中属于 真命题的是(填写所有真命题的序号) 12、一个三角形三边之比为2:5:3 ,这个三角形的形状是 13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ,那么??”的形式为 cd=3 ,则ab 的长度为 15、如图1-7,p 是正方形abcd 内一点,将△abp 绕点b 顺时针方 向旋转能与△cbp? 重合,若pb=3 ,则pp? 的长度为 a p d b d b c c n c a b ? 图1-6 图1-7 图1-8 三、解答题(共 6 小题,计72 分,解答应写过程) a d 图1-9 18、(10 分)已知:如图1-10 ,de 为△abc 的边ab 的垂直平分 线, m d cd 为△abc 的外角平分线,与de 交于点d,dm ⊥bc 的延长 线于 点m,dn ⊥ac 于点n,求证:an=bm 。c b 图1-10 d a b 图1-11 20、(12 分)如图1-12 ,在矩形abcd 中,ab=6 ,bc=8 ,将矩形 abcd 沿ce 折叠后,使点 d 恰好落在对角线ac 上的点f 处。 【篇二:北师大版八年级上册数学课本课后练习题答案】lass=txt> 第一章勾股定理课后练习题答案
北师大版九年级数学教案(全)
北师大版九年级数学教案(全) 一、教学目标: 1、了解作为证明基础的几条公理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 3、结合实例体会反证法的含义。 二、教学重点:了解作为证明基础的几条公理的内容,通过等腰三角形性质证明,掌握证明的基本步骤和书写格式。 教学难点:能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理(特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法)。 三、教学方法:观察法。 四、教学分析:本节是学习了证明之后的基础上,进一步证明技巧和规范证明过程 五、教学过程: 复习: 1、什么是等腰三角形? 2、你会画一个等腰三角形吗?并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质? 新课讲解: 在《证明(一)》一章中,我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理 ?本套教材选用如下命题作为公理 : ? 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; ? 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ? 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) ? 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) ? 5.三边对应相等的两个三角形全等; (SSS) ? 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论: 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 证明过程: 已知:∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证:△ABC≌△DEF 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠D+∠E+∠F=180° (三角形内角和等于180°) ∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) 又∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知) ∴∠C=∠F 又∵BC=EF(已知) ∴△ABC≌△DEF(ASA) 定理:等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为:等边对等角。已知:如图,在ABC中,AB=AC。 求证:∠B=∠C B C F E