正弦函数与余弦函数的图像教案

1.4.1正弦函数与余弦函数的图像

一、教学目标

（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；

（2）根据关系)2

sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；

二、课时

1课时

三、教学重点

正弦函数和余弦函数的图象；

四、教学难点

将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.

五、教具

多媒体、实物投影仪

六、教学过程

思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象.

思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.

有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢?

问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象?

活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了.

对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分

成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2

π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.

图1

对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)

图2

讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.

提出问题

如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?

活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.

讨论结果:

把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2

π个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.

图3

正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.

提出问题

问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?

问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?

活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2

π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0). 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.

对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象.

讨论结果:①略.

②关键点也有五个,它们是:(0,1),(2

π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1). 讲解范例

讲解范例：

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |，（3）y=sin |x |

例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3y x x π

π=+∈的简图.

例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：

1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22

x x π≤<< 八、课堂小结

以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.

1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?

2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

九、作业

1、习题1.4A 第1题

正弦函数的图像教学设计

正弦函数的图像教学设计同济二附中钱嵘一、教材分析《正弦函数的图象》是高中《数学》第四章第八节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学习过三角函数线，在此基础上学习过正弦函数、余弦函数的图象与性质，为今后对正切函数的图象、sin()y A x ω?=+函数图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。二、教学目标（1）利用正弦线探究正弦函数的图象；（2）学习使用“五点作图法”画正弦函数、余弦函数的简图；（3）在教师引导下，学生在探究活动中培养观察能力、分析能力、归纳能力、表达能力;培养数形结合和化归转化的数学思想方法；三、教学重点难点教学重点：画正弦函数、余弦函数的图象教学难点： (1)、利用单位圆画正弦函数图象； (2)、利用正弦函数图象和诱导公式画出余弦函数图象。四、教学方法 1．教学方法教学形式是为教学内容服务的，不同的教学形式会产生不同的效果.以“开放、多样、互动”为主旨的教学形式必然使教学过程丰富多彩.以学生为中心，在整个教学过程中由教师起组织者，指导者的作用，在教师的引导下,创设情景，通过开放性问题的启发学生思考,在思考中发挥学生的主动性、创造性，最终达到使学生有效的对所学知识自主建构.本节采用建构主义学习环境下的启发式教学模式. 2．学习方法建构主义认为，学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以其自身己有的知识和经验为基础的主动建构.教学过程的实质是学生主动探索、主动建构的过程.本节课引导学生采用以下两种学习方式： (1)．交流合作的学习方式：学生与学生之间交流、合作、探究,实践学习任务. (2)．归纳总结的学习方式：学生由具体的演示过程，分析归纳，并从中抽象出数学方法与结论. 3．教学过程： 1. 课堂教学中，积极运用现代化教学手段，充分地发挥多媒体的形象性，直观性，同时也充分利用传统教学手段，在教学中体现教学手段的多样式，为学生的发展提供科学地、有效地保障.图文并茂的表现形式使学生更易理解.本节课利用多媒体演示“正弦函数的几何作图法”以及图象变换. 设计意图: 通过课件演示突破利用单位圆画正弦函数图象这一难点.培养学生观察能力、分析能力. 2. 五点法作正弦函数的图像，提问学生怎么作正弦函数的图像，取几个点描点，为什么取5个点，取那5个点等等。设计意图: 注意渗透由抽象到具体的思想，促进学生数学思想方法的形成，引导学生确

正弦函数的图像(导学案)

§5正弦函数y＝sinx的图像导学案班级：__________ 小组：___________姓名：_____________ 学习目标: 一．【三维目标】 1.知识与技能（1）了解正弦线；（2）了解并理解利用单位圆画正弦函数的图像；（3）掌握正弦函数图像的“五点作图法”。 2.过程与方法体会周期性在画函数y＝sinx图像过程中的应用，从图像中进一步分析验证诱导公式的正确性。 2、情感态度与价值观通过从单位圆和图像两个不同角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。二.【学习重点、难点】重点:“五点作图法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图像；难点: 利用单位圆画正弦函数图像。预习案【课前预习，成竹在胸】 1.复习：正弦函数是一个周期函数，最小正周期是____，所以，关键就在于画出________上的正弦函数的图像。 2.预习：（1）正弦函数x x∈的图像叫做正弦曲线。 =，R y sin

（2）正弦线：①MP 是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP 是从M →P 。②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有sin α ＝MP ＝y ，我们把MP 叫做α的正弦线．（如图1） (3)几何法的作图步骤。 ①建立直角坐标系，在y 轴左侧作单位圆,并把⊙O 十二等分 ②过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、 2π 、……、π2角的正弦线 ③将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28) ○4取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合 ○5描点连线得y=sinx x ∈[0,2π]的图像 ○ 6利用周期性画出y=sinx （x ∈R ）的图像（如图2）（图1）（图2）（4）五点作图法：在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”，这五个关键点是： ___________________________，描出这五个点后，函数y=sinx ， α的终边 P M O x y

15.3正弦型函数第一课时详细教案

课题15.3 正弦型函数一、正弦型函数的概念教材分析《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。学情分析 1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。 2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。教学目标一、知识与技能 1、认识正弦型函数图像及其表达式的特征， 2、理解正弦型函数的概念， 3、会根据正弦型函数的图像或表达式求参数A，ω，?的值。二、过程与方法 1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力； 2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力三、情感、态度与价值观 1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作

交流的意识，体会数学的理性和严谨； 2、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数学思想方法。重难点1、教学重点：正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，?和最大最小值。 2、教学难点：实际问题中的正弦型函数的理解。教法与学法一、教法分析教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。 1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。 2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与二、学法分析在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册 2、教师编写的学案 3、多媒体课件（PPT）,几何画板教学准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学；

正比例函数教案设计

【问题】1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它(一个月按30天计算) ．（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？（3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？（4）对这个问题你还能提出什么结论．分析：（1）这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不少于 25600÷（30×4+7）≈200（km）. （2）假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y=200x (0 x 127). （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时的函数y=200x 的值，即 y=200×45=9000(km). （4）略． 3.共同思考下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化．可以得出上面问题中的函数分别为：（1）l=2 r （2）m=7.8V （3）h=0.5m （4）T=-2t 4.归纳定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数（proportional function）,其中k叫做比例系数． 5.共同参与请你举出一些实际问题，使问题中的变化规律是正比例函数的形式． 6.例题讲解为了研究正比例函数的性质，我们是通过研究正比例函数图象性质而达到的，因此例题是画出正比例函数图象．先给同学们提一个问题：描点法画函数图象的一般步骤是、、．例1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x （2）y=-2x 解：（1）y=2x

正弦函数的图像和性质教案

第11课时【教学题目】§5.6.1正弦函数的图像和性质2——正弦函数的性质【教学目标】 1.掌握正弦函数的性质； 2.会利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学内容】 1.正弦函数的性质； 2.利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学重点】正弦函数的性质. 【教学难点】利用正弦函数的性质解答相关问题. 【教学过程】一、导课回顾利用“五点法”作正弦函数的图像：要求学生用“五点法”作函数x x f sin )(=在[0,2]π上的简图. 二、新授正弦函数的性质根据函数x x f sin )(=的图像，总结它的性质 ()0,0，,12π?? ???，(),0π，3,12π??- ??? ，()2,0π

三、例题讲解例1、已知sin 4x a =-求a 的取值范围. 解：因为sin 1x ≤ 所以41a -≤ 即：141a -≤-≤ 解得：35a ≤≤ 故：a 的取值范围是[]3,5. 例2、求使得函数()sin 2f x x =取得最大值x 的集合，并指出最大值是多少？解：设2u x =，则使函数sin y u =取得最大值1的集合是 2,2u u k k Z ππ??=+∈???? ，由 222x u k ππ== +，得 4x k ππ= +. 故所求集合为,4x x k k Z ππ? ?=+∈???? ，函数()sin 2f x x =的最大值是1. 四、课堂练习已知sin 3x a =-，求a 的取值范围．五、课堂小结（一）正弦函数的性质；（二）利用正弦函数的性质解答相关问题. 六、布置作业（一）课本P128练习5.6.1第3题、第4题；（二）课本P130习题5.6 A 组第2题（1）、第4题（1）. 七、教学反思本节课从知识上讲授了正弦函数的性质，即正弦函数的有界性、周期性、奇偶性、单调性.难点在于使学生学会应用正弦函数的性质解答相关问题.从上课和作业反映的情况来看，学生对正弦函数的有界性掌握较好，但对于奇偶性、单调性、周期性掌握的情况不太好，需要在以后的教学中继续加强指导和训练.

正弦函数的图像学案

1.4.1正弦函数、余弦函数的图像学案学习目标 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习过程一、课前准备（预习教材P 30~ P 33，找出疑惑之处） 1.请在右图中分别作出角 3 611π π，的三角函数线。 2.遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，面对一个新函数，一般采用什么方法画图象？ 3.如何在直角坐标系下描出点)3 sin ,3( π π ？ ①代数法：73.1314.3≈≈，π ②几何法：利用弧度与弧长的关系以及三角函数线二、新课导学 ※ 预习探究探究任务一：如何画正弦函数的图像？步骤一：如何画出正弦函数x y sin =在[]π2,0∈x 上的图像？ 1.在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.； 2.在相应坐标系内，在x 轴上将区间[]π2,0分成12等份； 3.在相应坐标系内，将单位圆中12个角的正弦线进行右移到相应角的位置得到点列 ())12....3,2,1(sin ,=i x x i i 。. 4.通过刚才描点（x 0,sinx 0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，你能得到什么？

步骤二：如何画出正弦函数x y sin =在R x∈上的图像？探究任务二：余弦函数的图像 x0ππx y cos = （2）方法2：用以前学过的诱导公式 cosx=________（用正弦式表示），你能根据这一关系利用x y sin =的图像画出y=cosx的图象吗？探究任务三：（1）观察所得正弦函数与余弦函数的图象，有五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？完成x x y sin = x y cos = （2）你能在同一个直角坐标系中画出x y x y cos , sin= =的图像吗？ 2 3π 2 π

教案正弦型函数的图像和性质

教案正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换例：画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+

一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=，又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-，所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式例2：已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<）的最小值是5-，图x 3 3 π 56 π 3 O

正比例函数的图像与性质教案

19.2.1正比例函数图像与性质导学案教学内容正比例函数图像与性质教学目标 1、知识与技能：知识性目标：理解正比例函数图像特征．技能性目标：能画出正比例函数图像 2、数学思考：数学思想：体会与发展建立数学模型和数形结合的思想．数学研究方法：从特殊到一般，从数到形研究正比例函数图像特征及性质. 3、解决问题：利用正比例函数图像特征及性质知识解决有关实际问题． 4、情感与态度：结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯. 教学重难点教学重点：正比例函数图像特征和性质. 教学难点：正比例函数图像特征和性质的综合运用. 一情境导入： 3月31日清晨，强飓风尼可拉斯以每小时192km的速度从北部登陆德国，造成重大损伤，飓风在德国横扫的路程随时间变化而变化吗？ t (h) 1 2 3 4 s (km) 问题1.从上表中，你能得出时间和路程之间的函数关系式吗？问题2.上述解析式是正比例函数吗？那么它们的图像有什么性质呢？二自主探究

在同一直角坐标系中画出下列函数图像. （1）y=2x （2）解：列表得：根据你所画的图像回答: 1.上述图像的形状是_____________. 2.对函数y=kx, ,当x=0时，y=＿，函数过点__________．当x=１时，y=＿，函数过点__________．函数y=kx 是一条经过点________和点________的__________． 3.当k>0时，直线y=kx 经过第____________象限. 当k<0时，直线y=kx 经过第____________象限. 4.在函数y=2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y____________.图像从左到右呈________趋势. 在函数y=-2x 上，当x=-1时，y=____. 当x=0时，y=_____. 当x=1时，y=_____. 当x 增大时，y______________.图像从左到右呈________趋势. 归纳：正比例函数的性质： x … -3 -2 -1 1 2 3 … y=2x … … … … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-2x … … y=-x … … x y 21=x y 2-=x y -=x y 2 1 =

正弦函数余弦函数的图象学案(人教A版必修4)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主学习知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图步骤： (1)列表： x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 －1 1 (2)描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向______平移π 2 个单位长度即可．自主探究已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．对点讲练知识点一利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．

回顾归纳作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．变式训练1利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．知识点二利用三角函数图象求定义域例2求函数f(x)＝lg sin x＋16－x2的定义域．回顾归纳一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．变式训练2求函数f(x)＝cos x＋lg(8x－x2)的定义域．知识点三利用三角函数的图象判断方程解的个数例3在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x的解的个数．回顾归纳三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．变式训练3求方程x2＝cos x的实数解的个数．

正弦型函数的性质和图象教案

重庆市渝中区职业教育中心数学课程教案教师周名昆第 1 页第 1 页共 2 页 [课题] 5.8函数)sin(?ω+=x A y 的性质和图象 [课时] 第一课时 [课型] 新授课 [目标] 1. 了解正弦型函数的解析表达式中各个符号的实际背景意义； 2. 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系； 3. 能够根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [重点]根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [难点] 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系 [教法] 讲授法、启发式教学法 [教具] 教材、实物展示台、多媒体投影 [教学过程] 一、复习引入 1正弦函数在区间[-π，π]上的图象（五点法作出） 2正弦型函数引出：见教材实例二、新课讲授 1正弦型函数)sin(?ω+=x A y 中各个字母的意义 1）A ——振幅 2）ω——频率（弧度/秒） 3）?——初相 4）??+t ——t 时刻的相位 2正弦型函数的性质：A 、T A ——最值 T ——最小正周期（? π2=T ）例1已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） x y 5sin 3= )115sin(3π-=x y )875sin(3π+=x y )11 5sin(π+=x y 练习已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） )351sin(6π+=x y )11100sin(24ππ+=x y )4 21sin(2π+=x y x y 5.0sin 13= 3正弦型函数与正弦函数图象之间的关系（利用课件演示） ⑴x A y sin =与x y sin = 振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上

正比例函数教案

《正比例函数》教案教学目标知识与能力： 1．了解正比例函数的定义、图像及其画法。 2．理解正比例函数的性质。过程与方法： 1、通过对实际问题的探究，确定正比例函数的模型。 2、经历描点法绘制函数图像的过程，探究正比例函数的图像及其性质。情感、态度与价值观： 1．体会正比例函数模型对现实世界数量关系的描述，认识函数刻画和解决现实问题的重要工具。 2.通过交流合作，培养学生的数学交流能力和团队协作精神。教学重点：１．理解正比例函数意义及解析式特点。２．掌握正比例函数图象的性质特点。３．能根据要求完成转化，解决问题。教学难点：正比例函数的性质。教具准备：课件、直尺，平面直角坐标系练习纸。教学过程一、复习引入（师生活动）用六年级下册学过的正比例关系式变形后用x的式子表示y，既y=kx，导出y和x 之间成正比例关系。教师指出：本节课我们所要讨论的函数是——正比例函数。（板书）二、正比例函数的定义（师生活动）课件展示如下问题 1、提问：下列问题中变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？（１）．圆的周长L随半径r的大小变化而变化；（２）．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化；（３）．每个练习本的厚度为0.5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（4）．冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化. 2.给学生足够的时间，鼓励学生独立思考或相互讨论，给出问题的解答。教师可参与到学生的讨论中去，了解学生对知识的掌握情况。 3.一段时间后，鼓励学生积极发言，师生共同分析讨论，教师作总结发言，肯定学生的积极表现，给出问题的解答：（板书）（１）．根据圆的周长公式可得：L=2 r；（２）．根据质量=密度×体积可得：m=7.8V；（３）．据题意可知： h=0.5n。（4）．据题意可知：T=-2t 4. 请学生观察上述例子中的四个函数关系式，思考并讨论：它们有什么共同特点？

1.4.1正弦,余弦函数的图像(教、学案)

1. 4.1 正弦函数、余弦函数的图象班级姓名【教学目标】 1、通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法. 2、通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. 【教学重点】正弦函数、余弦函数的图象. 【教学难点】将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 【教学过程】一、预习提案（阅读教材第30—33页内容，完成以下问题：） 1、借助单位圆中的正弦线在下图中画出正弦函数y=sinx, x ∈[0,2π]的图象。说明：使用三角函数线作图象时，将单位圆分的份数越多，图象越准确。在作函数图象时，自变量要采用弧度制，确保图象规范。 3、观察图象（正弦曲线），说明正弦函数图象的特点： ①由于正弦函数y=sinx 中的x 可以取一切实数，所以正弦函数图象向两侧。 ②正弦函数y=sinx 图象总在直线和之间运动。

4、观察正弦函数y=sinx, x ∈[0,2π]的图象，找到起关键作用的五个点：，，，， ②函数y=sin （x+ 2π）的图象相对于正弦函数y=sinx 的图象是如何变化的？ ③由诱导公式知：sin （x+2π）= ，所以函数y=sin （x+2 π）= ④请画出y=cosx 的图象（余弦曲线），，，，

二、新课讲解例1、用“五点作图法”作出y=x sin , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x sin 在整个定义域内的图象。练习：用“五点作图法”作出y=x cos , x ∈[0,2π]的图象；并通过猜想画出y=x cos 在整个定义域内的图象。

15.3(1)正弦型函数教案

邳州市中等专业学校理论课程教师教案本（2015—2016学年第1学期）班级名称课程名称数学授课教师教学部

学思想方法。重难点1、教学重点：正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，?和最大最小值。 2、教学难点：实际问题中的正弦型函数的理解。教法与学法一、教法分析教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。 1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。 2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与二、学法分析在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册 2、教师编写的学案 3、多媒体课件（PPT）,几何画板教学准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学； 2、布置学生复习正弦函数的图像和性质。

人教版初中数学八年级下册19.2.1《正比例函数的图像和性质》教案

《正比例函数图像及性质》教案一、教学目标 1. 知识技能 :学习正比例函数及其图象画法、性质和应用。 2.过程与方法: 培养学生的观察能力、数形结合能力、探索规律能力、利用正比例函数及其图象解决实际问题能力。 3.情感态度：认识数学知识与实际生活相联，体验学习有价值的数学过程。二.教学重点: 正比例函数及其图象性质难点: 正比例函数的增减性三．教学准备课件、笔记本电脑、三角板、计算器四．教学过程（一）复习引入什么是自变量？什么是函数？（提问）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是变量，y是x的函数．（二）共同思考,探索新知 1、下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？（1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？（L=2 r）（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V

（单位：cm3）的大小变化而变化；（m=7．8V ）（3）每个练习本的厚度为0．5cm 。一些练习本摞在一些的总厚度h （cm ）随这些练习本的本数n 的变化而变化。（h=0．5n ）（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t （分）的变化而变化。（T=-2t ） 2、发现新知：我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样。一般地，形如y=kx （k 是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。 3、随堂练习 1、下列式子中，哪些表示是的正比例函数？并说出正比例函数的比例系数是多少？（4） 4、讲解例题例: 已知y -3与x 成正比例，当x =2时，y =7，求y 与x 之间的函数解析式. （三）探究正比例函数图象 x y 42=

正弦函数与余弦函数的图像教案

1.4.1正弦函数与余弦函数的图像一、教学目标（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2 sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；二、课时 1课时三、教学重点正弦函数和余弦函数的图象；四、教学难点将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 五、教具多媒体、实物投影仪六、教学过程思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况. 有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象. 推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了. 对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分

人教a版必修4学案：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(含答案)

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主学习知识梳理 1．正弦曲线、余弦曲线 (1)定义：正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做__________曲线和________曲线． (2)图象：如图所示． 2．“五点法”画图步骤： (1)列表： x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 cos x 1 －1 1 (2)描点：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________． (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图． 3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π 2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向______ 平移π 2 个单位长度即可．自主探究已知0≤x ≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x 与cos x 的大小关系．对点讲练知识点一利用“五点法”作正、余弦函数的图象例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x ＋1(0≤x ≤2π)的简图．

正比例函数的图象与性质教案

《正比例函数的图象与性质》教案教学目标: 知识与能力： 1.经历正比例函数的画图过程，了解作函数图象的一般步骤：列表、描点和连线. 2.能熟练作出正比例函数的图象，掌握正比例函数图象的特点及其性质. 过程与方法： 1.通过学生观察、猜测、计算、验证、思考等活动获得数学知识、经验和方法,发展学生数形结合的意识和能力. 2.经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤，理解正比例函数的关系式与图象之间的对应关系. 情感、态度与价值观： 1.体验“数”与“形”的转化过程，让学生感受函数图象的直观性，激发学生学习数学的兴趣. 2.在探究活动中发展学生的合作意识和探究能力. 教学重点： 1．熟练地作出正比例函数的图象. 2．掌握正比例函数及其图象的简单性质. 教学难点：理解正比例函数的关系式与图象之间的对应关系. 教学方法:启发、诱导式，合作探究教学过程：一、创设情境，引入新课引入我市某一天温度随时间的变化图象，让学生对函数的图象有一个初步感知，在认识了这一图象的基础上得出函数图象的概念，像这样，把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象. 【设计意图】为了调动学生的情绪，激发学生学习的兴趣, 并从中感悟到函数图象与实际生活有着密切的联系. 二、复习回顾，揭示课题

问题:我们学过的函数有哪些？一次函数：y=kx+b(k≠0) 正比例函数：y=kx (k≠0) 【设计意图】为了做好与新知识的衔接,需要同学们首先对一次函数，正比例函数的概念要熟悉，故而设计了第二个环节在复习回顾的基础上，揭示课题. 三、师生互动，探究新知出示例1:画出正比例函数y=2x的图象教师引导学生一起作图，并得出画函数图象的方法及步骤. 描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线. 【设计意图】通过学生的猜想、验证等探究活动，使学生亲自经历知识的生成过程，让学生体验到成功的快乐，并且激发了他们探究的欲望，在潜移默化中让学生体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图象的直观性，激发学生学习数学的兴趣. 问题：满足关系式y=2x的x,y所对应的点(x,y)是否都在它的图象上?正比例函数y=2x的图象上的点都满足它的关系式吗? 活动一：首先让同学们说出几对满足关系式y=2x的x,y的值；活动二：教师利用几何画板在平面直角坐标系中找到x,y对应的点(x,y)的位置，并验证这些点是否在函数y=2x的图象上.在正比例函数y=2x的图象上找出一些点，并验证这些点的坐标(x,y)是否满足关系式. 活动三：通过验证师生共同总结：点在函数图象上（形）点的坐标满足函数关系式（数）【设计意图】通过几何画板将抽象的内容清晰、形象、生动地展示在学生面前，便于学生理解函数关系式与图象的对应关系，从而达到突出重点，突破难点的目的，起到了事半功倍的教学效果. 练习：画出下列函数的图象：（1）y=-x (2)y=-3x （3）y=4x (4)1 y 2x 各小组拿出课前准备好的坐标纸，进行小组合作学习，学生们通过互帮互助，交流学习，准确画出函数图象，然后让学生在黑板上进行展示.最后引导学生深层次地归纳出正比例函数图象的特点: 1.正比例函数y=kx的图象是经过点（0，0)的一条直线. 2.画正比例函数图象的简便方法：“两点法”. 四、活动探究，总结性质做一做：用简便方法在同一平面直角坐标系内作出下列正比例函数的图象

正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心数学组刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表

（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同 2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性、值域由图像观察可得：正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-

正弦型函数教案

正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计一、教学目标： 1、知识与技能目标：能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标：通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标：通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。学情分析：本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。教学内容分析：