微分几何习题解答(曲线论)

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e

为单位向

量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r

具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r

=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r

×

'r =2

λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意

方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e

2)＝2'e ，（因为

e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固定

方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，

且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n

= 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂

直于同一非零向量n

，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。

反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0

，由上题

知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'

r ≠

，则存在数量函数)(t λ、

)(t μ，使''r = r λ+μ'r

①

令n =r ×'r

，则n

≠

0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r

求微商并将①式代入得

'n =r ×''r =μ（r ×'r ）

=μn ，

于是n ×'n =0

，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r

平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。

解 令t cos =1,t sin =0,

t =0得t =0, 'r

(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线

在(0,1,1)的切线为 1

1

1z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。

2．求三次曲线},,{32ct bt at r =

在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2

000ct bt a t r = ，切线为2

3

0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(3

02020

00=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r

= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为?,则?cos

=22||||'b

a b

e r k r +=? 为常数，故?为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 4. 求悬链线r ={t ，a t a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。

解

'

r

= {1，a t

sinh }，|'r

| =a

t

2sinh

1+ = a t

cosh ，

ｓ＝

a t

t

a t a dt sinh cosh 0

=?

。

９．求曲线2232,3a xz y a x ==在平面3a

y = 与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2

23x

a a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交

点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x

a a

x -，｜'r ｜＝4

4

444

1x

a a x ++＝22

222x a a x +，所求弧长为a dx x

a a x s a

a

9)2(22

322=+=?

。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。 解 'r

= { -a t sin ,a t cos ,b}，s =

t b a dt r t

220

|'|+=?

，所以2

2

b

a s t +=

，

代入原方程得 r ={a cos

2

2

b

a s +, a sin

2

2

b

a s +,

2

2

b

a bs +}

11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。 解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r

={)('θρθ

cos -θ

θρsin )(，

)('θρθsin +θθρcos )(}，|'r

| = )(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是

s=?

θθ0

)(')(22θρθρ+d θ 。

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 }

所以曲线在任意点的密切平面的方程为

sin cos cos sin sin cos t

a t

a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .

2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r

(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，

=)0(''r

{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t

={2,0,2} ，

所以切线方程是

1

10z

y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2

02110z

y x =0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112z

y x =-= ；

从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

11-=

=z

y x 。

3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 的主法线和z 轴垂直相交。

证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r

⊥''r

知''r

为主法线

的方向向量，而''r 0=?k

所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是

sin sin cos cos bt

z t t a y t t a x -=

-=- 与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。

4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r

={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }

=??=|'''|'

''r r r r

γ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }

新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }

对于新曲线'r

={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin α

}={sin(α-t), cos(α-t),

sin α} , ''r

={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是

00

)

sin()

cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x

即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .

5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：

?设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r

具有固定

长，所以r ·'r

= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。

? 若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则

r ·'r = 0，)(t r

具有固定长，对应的曲线是球面曲线。

方法二：

()r r t =是球面曲线?存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半

径）使220()r r R -=?02()0r r r '-?= ，即0()0r r r '-?= （﹡）

而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-?= 。可知法平面过球面

中心?（﹡）成立。

所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。

6.证明过原点平行于圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a =+.

证 'r ={ -a t sin ,a t cos , }, '

'r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，

'

r ×

''r

=},cos ,sin {a t b t b a ---为副法线的方向向量，

过原点平行于副法线的直线的方程是

a z

t b y t b x =-=cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a =+。 7．求以下曲面的曲率和挠率

⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =

,

⑵ )0)}(3(,3),3({323

a t t a at t t a r +-=。

解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r =

，

}1,cosh ,sinh {'''--=?t t a r r

，所以t a t a t a r r r k 23

23cosh 21)

cosh 2(cosh 2|'||'''|==?= t

a t a a r r r r r 2

2422cosh 21

cosh 2)'''()''','','(==?=

τ 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r

，

'r ×''r =}1,2,1{182

22+--t t t a ，2

23

22223)

1(31

)

1(2227)1(218|

'||'''|+=++=?=t a t a t a r r r k

2

2224232)1(31

)1(2182618)'''()''','','(+=+???=?=t a t a a r r r r r τ 。

8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3

3t t t r = ，⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；

⑶验证伏雷内公式。

分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。

解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r

，

,cos sin 5|)('|t t t r dt

ds ==

（设sintcost>0）

， 则}54,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α， }0,cos 5

3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==?

αα

， }0,cos ,{sin |

|t t ==??

ααβ

，

}5

3

,sin 54,cos 54{--=?=t t βαγ ，

⑵ t t k cos sin 253||==?α ，}0,cos ,sin {cos sin 254

t t t t --=?γ ，由于?γ 与β 方

向相反，所以 t

t cos sin 254

||==?γτ

⑶ 显然以上所得 τγβα,,,??

k 满足 βτγβα -==??,k ，而

γτακβ

+-=-=

?

}0,sin ,{cos cos sin 51

t t t

t 也满足伏雷内公式 。

9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。

证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r

，则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r

λ=，可

见r ∥'r ，所以r 具有固定方向，故r ＝)(t r

是直线。

方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r

，则曲线在任意点的