二次函数含参综合专题

二次函数综合专题

含参不简单，只因特征藏，找寻关键点，看它难不难。

（不等关系类）例1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342

≠-+-=a a ax ax y 与x

轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；

②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．

%

巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．

（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；

（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．

①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ②当CD AD >时，求t 的取值范围．

.

（翻折类）例2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标；

(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=

2

1

与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．

、

巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

43y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2． （1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；

（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．

《

.

（平移类）例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2

2y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，

1(,)P x m 2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．

（1）若1a =，

①当m b =时，求1x ，2x 的值；

②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程； （2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．

巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22

(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12

x x <

（1）求3221+-x x 的值；

（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．

*

考题再现：

（2016南通中考）1.平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线c bx x y ++=2

，经过

)12,1(2++-m m 、)22,0(2++m m 两点，其中m 为常数.

（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；

（2）若抛物线c bx x y ++=2

与x 轴有公共点，求m 的值；

（3）设),(1y a 、),2(2y a +是抛物线c bx x y ++=2

两点，请比较12y y -与0的大小，并说明理由.

）

（2018北京一模）2.有一个二次函数满足以下条件：

①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，

平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.