2016江苏高考数学试卷含答案解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数 学Ⅰ

参考公式：

样本数据12,,,n x x x ???的方差()

22

1

1n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑

棱柱的体积公式： V =Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 为高. 棱锥的体积公式：V

1

3

Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.

3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

173

x y -=的焦距是________________.

4.已知一组数据4.7,4.8,

5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________. 5.函数y

的定义域是 .

6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 .

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 .

9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 .

10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22

221()x y a b a b

+=＞＞0 的右

焦点，直线2

b

y =

与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 .

(第10题

)

11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ ?1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤

=?-≤

其中.a ∈R 若

59

()()22

f f -= ，则f （5a ）的值是 .

12. 已知实数x ，y 满足240

220330x y x y x y -+≥??

+-≥??--≤?

，则x 2+y 2的取值范围是 .

13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ?=，

1BF CF ?=- ，则BE CE ? 的值是 .

14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 .

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54

B C ==， （1）求AB 的长； （2）求π

cos(6

A -)的值.

16.(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，

1111AC A B ⊥ .

求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；

（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .

17.（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍.

(1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？ (2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

18. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :2

2

1214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)

(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；

(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

19. （本小题满分16分）

已知函数()(0,0,1,1)x

x

f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =

12

. ① 求方程()f x =2的根;

②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（2）若01,1a b <<＞

，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.

20.（本小题满分16分）

记{}1,2,100U =…，

.对数列{}(

)*

n a n N ∈和U 的子集T ，若T =?,定义0T

S

=;若{}12,,k T t t t =…，，

定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()

*

n a n N ∈是公比为3的等比

数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . (1) 求数列{}n a 的通项公式；

(2) 对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ?…，

，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ??≥,求证：2C C D

D S S S +≥.

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）

如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC =∠ABD .

B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）

已知矩阵12,02A ??=??-?? 矩阵B 的逆矩阵111

=202B -?

?-??????

，求矩阵AB .

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l

的参数方程为112x t y ?=+??

??=?? （t 为参数），椭圆C 的参数方程

为cos ,

2sin x y θθ

=??

=? （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3

a

，求证：|2x +y -4|＜a .

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2

=2px (p ＞0).

（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；

（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .

①求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）； ②求p 的取值范围.

23.（本小题满分10分） （1）求3

4

67–47C C 的值；

（2）设m ，n N *

，n ≥m ，求证：

（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2

+2C m n .

参考答案

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基础思想方法，每小题5分，共计70分 1.

{}1,2-

2.5

3.

4.0.1

5.

[]3,1-

6.9

7.

5.6

8.20. 9.7.

10.

3 11. 25-

12. 4

[,13]5

13. 78

14.8. 二、解答题

15.本小题主要考查正余弦定理、同角三角函数关系与两角和的三角函数，考查运算求解能力，满分14分

解（1）因为4

cos ,0,5

B B π=<<

所以3sin ,5B =

由正弦定理知

sin sin AC AB

B C

=

，所以6sin 23

sin 5

AC C AB B ?===

（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+ 于是cosA cos(B C)cos()cos cos

sin sin ,444

B B B π

ππ

=-+=-+

=-+

又43cos ,sin ,55

B B ==

，故43cos 525210A =-?+?=-

因为0A π<<，所以sin A =

因此1cos()cos cos sin sin 66610102A A A πππ-=+=+

16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，满分14分

证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC

又因为DE ?平面1111,AC F AC ?平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F

（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ?平面111A B C ，所以111AA

⊥A C 又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥??=，平面平面

所以11AC ⊥平面11ABB A

因为1B D ?平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥

又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥??=F ，平面平面

所以111C F B D A ⊥平面

因为直线11B D B DE ?平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面

17.本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6，

所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()22

31111

1=6224;33

V A B PO m ??=

??=柱 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积()

2231=68288.V AB OO m ?=?=柱

所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）. (2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m)，则0

因为在11RT PO B ?中，222

111OB PO PB +=，

所以2

2

36h +=??

，即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()222311326

436,06333

V V V a h a h a h h h h =+=?+?==-<<锥柱， 从而()()2226

'36326123

V h h =

-=-.

令'0V =，得h =或h =-.

当0h <<'0V > ，V 是单调增函数；

当6h <<时，'0V <，V 是单调减函数.

故h =V 取得极大值，也是最大值.

因此，当1PO = 时，仓库的容积最大.

18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.

解：圆M 的标准方程为()()2

2

6725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心N 在直线x=6上，可设()06,N y .因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()2

2

611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为

40

220

-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0，

则圆心M 到直线l 的距离

d =

=

因为BC OA ===

而2

22,2BC MC d ??

=+ ???

所以()2

52555

m +=

+，解得m=5或m=-15.

故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y

因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=,所以2121

24x x t

y y =+-??=+? ……①

因为点Q 在圆M 上，所以()()2

2

226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22

114325x t y --+-=.

于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()22

4325x t y -++-=????上， 从而圆()()2

2

6725x y -+-=与圆()()22

4325x t y -++-=????有公共点， 所以

5555,-≤

≤+

解得22t -≤≤

+.

因此，实数t

的取值范围是22?-+?.

19．本小题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究初等函数的单调性及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力，满分16分 解：（1）因为12,2

a b ==

，所以()22x x

f x -=+. ①方程()2f x =，即22

2x

x

-+=，亦即2(2)2210x x -?+=，

所以2

(21)0x

-=，于是21x

=，解得0x =.

②由条件知2222(2)2

2(22)2(())2x

x x x f x f x --=+=+-=-.

因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，

所以2(())4

()

f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.

而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且

2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.

（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00

(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.

因为'()ln ln x x

g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'

()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a

a

x b

=-

. 令'

()()h x g x =，则''

2

2

()(ln ln )(ln )(ln )x

x

x

x

h x a a b b a a b b =+=+，

从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'

()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，

于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''

0()()0g x g x >=.

因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02

x

g g <=， 又log 2

log 2log 2(log 2)220a a a a g a

b a =+->-=，且函数()g x 在以

2

x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002

x

<，

所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在0

2

x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln a

b

-

=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 20．本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查代数推理、转化与归化及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，满分16分

（1）由已知得1*

13,n n a a n N -=?∈.

于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.

所以数列{}n a 的通项公式为1*

3,n n a n N -=∈.

（2）因为{1,2,,}T k ?，1*30,n n a n N -=>∈，

所以1121

133(31)32

k k k r k S a a a -≤+++=++

+=-<.

因此，1r k S a +<.

（3）下面分三种情况证明. ①若D 是C 的子集，则2C C D

C D D D D S S S S S S S +=+≥+=. ②若C 是D 的子集，则22C C

D

C C C

D S S S S S S +=+=≥.

③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令U E C

C D =，U F D C C =则E φ≠，F φ≠，E

F φ=.

于是C E C D S S S =+，

D F C

D S S S =+，进而由

C D S S ≥，得E F S S ≥.

设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.

由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k

l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.

又k l ≠，故1l k ≤-， 从而11

12113131133

2222

l k l k E F l a S S a a a ------≤++

+=++

+=≤=≤，

故21E F S S ≥+，所以2()1C C D

D C

D

S S S S -≥-+，

即21C C

D

D S S S +≥+.

综合①②③得，2C C D

D S S S +≥.

21．【选做题】

A .[选修4-1：几何证明选讲]

本小题主要考查相似三角形等基础知识，考查推理论证能力，满分10分

证明：在ADB ?和ABC ?中，

因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠为公共角， 所以ADB ?∽ABC ?，于是ABD C ∠=∠. 在Rt BDC ?中，因为E 是BC 的中点， 所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠. 所以EDC ABD ∠=∠.

B ．[选修4-2：矩阵与变换]

本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，满分10分

解：设a b B c d ??=????

，则1110120102a b B B c d ??-??????==????????????， 即1110220122a c b d c

d ??--????=????????， 故11

210

22021a c b d c d ?

-=??

?-=??=??=?，解得11401

2

a b c d ?

??=??=??

=???=?，所以114102B ??

??=?

??????

?

. 因此，151

12144021010

2AB ??

?

??

?????==??????-????-?????

?

.

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程和普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，满分10分

解：椭圆C的普通方程为

2

21

4

y

x+=，将直线l的参数方

程

1

1

2

2

x t

y

?

=+

??

?

?=

??

，代入

2

21

4

y

x+=，

得

2

2

)

12

(1)1

24

t

++=，即2

7160

t t

+=，解得

1

t=，

2

16

7

t=-.

所以

12

16

||

7

AB t t

=-=.

21D.[选修4-5：不等式选讲]

本小题主要考查含绝对值的不等式的证明，考查推理论证能力，满分10分

证明：因为|1|,|2|

33

a a

x y

-<-<

所以|24||2(1)(2)|2|1||2|2.

33

a a

x y x y x y a

+-=-+-≤-+-

22.【必做题】本小题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力及推理论证能力，满分10分。

解：（1）抛物线2

:y2(0)

C px p

=>的焦点为(,0)

2

p

由点(,0)

2

p

在直线:20

l x y

--=上，得020

2

p

--=，即 4.

p=

所以抛物线C的方程为28.

y x

=

（2）设

1122

(x,y),(x,y)

P Q，线段PQ的中点

00

(x,y)

M

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,

于是直线PQ的斜率为1

-，则可设其方程为.

y x b

=-+

①由

22

y px

y x b

?=

?

=-+

?

消去x得2220(*)

y py pb

+-=

因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以

12

,

y y

≠

从而2

(2)4(2)0

p pb

?=-->，化简得20

p b

+>.

方程（*

）的两根为

1,2

y p

=-12

.

2

y y

y p

+

==-

因为

00

(x,y)

M在直线l上，所以

2.

x p

=-

因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-

由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4

.3

p < 因此p 的取值范围为4(0,).3

23.【必做题】本小题主要考查组合数及其性质等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分10分

解：（1）34

676547654

74740.3214321

C C ?????-=?

-?=?????

（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时

11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,

,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!

m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++?++=

=+=+=++-++-+

又因为122

112,m m m k k k C C C +++++++=

所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，

因此

12122

2222222

3

2

4

3

2

1

2

2

(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)]

(1)(1)[()()()]

(1)m m m m

m m m n

m m m m

m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m C

m C

C

C

C

C

C

m C +++++++++++++++++++++++++++=++++++

+=+++-+-+-=+