2017年 全国三卷文科数学试卷解析

全国三卷文科数学试卷解析

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B

【解析】集合A 与B 的交集为两者共有的元素所构成，即为集合{}4,2，所以，该集合的元素个数为2个。

【点评】集合的交集运算，属于基础题型，唯一的变化在于常规问题一般要求出交集即可，该题需要先求出集合，再计算元素个数。

2. 复平面内表示复数 的点位于

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 【答案】C

【解析】i i i i i Z 212)2(2

--=+-=+-=，所以该复数位于第三象限。

【点评】考点为复数的乘法运算与复数的象限表示，属于基础题型。

3. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集整理了2014年1月至2016

年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图

根据该折线图，下列结论错误的是 A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加

C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】由图易知月接待客量是随月份的变化而波动的，有上升也有下降，所以A 答案错误，故选A.

【点评】与2016年的雷达图考法类似，近年来，对各类图形与图表的理解与表示成为高考的一个热点，总体来说，此类题型属于基础类题型，用排除法解此类问题会比较快，但要注意题目要求选择错误的一项，如果审题不仔细可能会造成失分！

4. 已知

，则 =

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】9

791612sin 9162sin 1cos .sin 21)cos (sin 2

-=-==

-=-=-αααααα， 【点评】考点为三角函数的恒等变换，有一定难度，关键在于对正弦二倍角公式的运用。失

分的原因在于解题的思路是否清晰以及计算错误。

5. 设x,y 满足约束条件 ，

，

，

则 的取值范围是 A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】画图，求出三条线的交点分别为A （0,0），B （0,3）与C （2,0），由图形可知三条线围城的是一个封闭的图形，所以，可以采用代点的方法求解。即

202;330000=-=-=-==-=C B A Z Z Z ，,所以，选B 。

【点评】本题属于基本的线性规划类问题，一般文科生用带点法求解会比较简单。

6. 函数

的最大值为

A.

B. C.

D.

【答案】A

【解析】A x x x x x x f 所以选),3sin(56)3sin()3sin(51)26sin()3sin(51)(ππππππ+=+++=+-++=

【点评】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒

等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！

7. 函数y

的部分图像大致为

A B C D 【答案】D

【解析】令非奇非偶又因为所以排除则有)(,,,21sin 11)1(,1x f C A f x >++==，排除B ，选D

【点评】函数的解析式与图形表示问题是高考的一个必考点，此类问题大多围绕函数的性质来考查，只要方法正确，一般不太会出错。解题时一般用特例+排除法可以快速求解。

8. 执行右边的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为

A. 5

B.4

C.3

D.2

【答案】D

【解析】第一次循环，S=0+100，M=-10，t=2； 第二次循环，S=90，M=1，t=3

t D N N 不符合，所以，选符合，

≤≤32 【点评】程序框图问题，中低难度，两次循环即可出结果，关键在于对于第一次循环中t

的值与条件的判定，易错点在于学生会忽略第一次循环中t 的变量必须满足条件！

9. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为

A. π

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】有圆柱的外接球半径公式可知，

4

343,21(1)2(2222222ππ=

==+=+=h r V r r r h R ，所以圆柱的体积解得）即 【点评】球类问题是近几年高考的一个热点，也是难点。解此类问题，关键在于根据几何体选择对应的公式套用即可快速求得结果。

10. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则

A. A 1E ⊥DC 1

B. A 1E ⊥BD

C. A 1E ⊥BC 1

D. A 1E ⊥AC 【答案】C

【解析】1

1111111111111111,,BC E A CD B A E A CD B A BC B B A C B B A BC C B BC ⊥∴?⊥∴=?⊥⊥平面又平面，

且

【点评】本题属于线面关系定理的实际应用问题，有一定难度，需要学生有较强的空间想象能力和公式定理的实际应用能力，问题的重点与难点在于找到与包含E A 1的平面垂直的直线！

11. 已知椭圆C ：

（ ）的左、右顶点分别为 ,且以线段 为直

径的圆与直线 相切，则C 的离心率为 A ．

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】因为直线与圆相切，即2,3,1.3,2222222

2=====+=

c a b b a a b a ab

d 则有令整理得

3

6,32222

===e a c e ，选A

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到线的距离公式，以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程，考查的知识点比较多，但总的难度不大，属于跨板块的综合类问题，基础中偏上的学生一般都能搞定。

12. 已知函数 有唯一零点，则 A ．

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】(对称性解法) 因为 关于直线 对称，所以 要有唯一零点，只有 ，由此解得 .

【点评】难度中偏上，主要考查函数的性质与函数的零点结论，本题的难点在于对函数的对称性不够了解，一般学生很难看出后面函数的对称性，导致做题缺乏思路。本题与16年的高考全国卷2文数的选择压轴题（第12题）类似，都是围绕函数的性质来考查，需要学生有较强的基本功底并具有较强的运用能力。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量 ，向量 ，且

，则m=______. 【答案】2

【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 . 【点评】考查向量的坐标运算，属于基础题型，公式套用即可，没有难度。

14.双曲线

的一条渐近线方程为x y 5

3

=

，则a=_______. 【答案】5

【解析】渐近线方程为

，由题可知 .

【点评】本题着重于考查双曲线的基本知识点，考查双曲线的方程及其渐近线的公式，难度偏低。

15. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C = ，b= ，c=3，则A =_____. 【答案】

【解析】由正弦定理有

，所以

，又 ，所以 ，所以

.

【点评】考查用正余弦定理解三角形问题以及三角形的内角和定理，难度偏低。

16.设函数=)(x f 则满足

的 的取值范围是____.

【答案】

【解析】 ① 时， ，得

；

② 时，

恒成立；

③

时，

恒成立 综上所述，

【点评】考查分段函数的图像与性质，中偏高难度，分段函数主要考查分类讨论的数学思想，

对学生的逻辑思维有较高的要求，容易出现不知道如何分类以及分类不严谨的错误。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17.（本大题共12分）

设数列 满足 . （1） 求 的通项公式；

（2） 求数列

的前 项和.

【答案】（1）

(n ；（2）

1

22+n n

【解析】

⑴令 ，则有

，即

当n=1时， .

当n 时， ① ②

①- ②得 即 得到

(n

⑵令

(n

(n

【点评】本题具有一定的难度，第一问要求学生具备一定的转化与化归的思想，将不熟悉的表达形式转化为常规数列求通项问题才能迎刃而解。第二问属于常规裂项相消问题，没有难度，如果学生第一问求解时出现困难的话，可以用找规律的方法求出其通项，这样可以拿到第二问的分数，不失为一种灵活变通的处理方法。

18.（本大题共12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 （单位： C ）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶. 为了确

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1） 估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 （单位：元）. 当六月份这种酸奶一天 的进货量为450瓶时，写出 的所有可能值，并估计 大于零的概率.

【答案】，Y 的所有可能取值为900,300和-100，5

4

【解析】

(1)设“六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶”为事件A ，由题意可知，

5

3

905447253616236162)(==+++++++=

A P ;

(2)由题意可知，当最高气温不低于25时，

900450)46(=?-=Y ，概率5

2

4725361624725=+++++++=

P ;

当最高气温位于区间[20,25)时，

300)300450)24(300)46(=-?--?-=（Y ，概率5

2

47253616236=+++++=

P ;

当最高气温低于20时，

100)200450)24(200)46(-=-?--?-=（Y ，概率51

472536162162=++++++=

P ;

综上，Y 的所有可能取值为900,300和-100，54

52520=+=P Y 的概率

【点评】本题题型与2012年全国卷以及2013年全国卷2的题型基本相似，属于函数与概率结合类问题，有一定难度。易错点在于“不超过”容易遗漏取等的情况，程度差一点的学生对于分段函数的理解会存在一定问题。

19. （本大题共12分）

如图，四面体 中， 是正三角形， .

53

（1）证明：;

（2）已知是直角三角形，. 若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比.

【答案】（1）略；（2）1:1

【解析】

【点评】本题第一问考查线线垂直的证明，属于常规题型；第二问用相似或解三角形的方法求解直线长度，特别是用相似在高中阶段比较少见，但16年全国卷选择题的压轴题也有类似考法。这说明，虽然几何证明在高中阶段已经不再作为一个固定的选作题出现，但其主要知识点仍然可以作为考点，在高考中进行考查，笔者提醒各位老师在今后的教学中要特别注意到这一点。

20.（本大题共12分）

在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的坐标为. 当变化时，解答下列问题：

（1）能否出现的情况？说明理由；

（2）证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.

【答案】（1）不存在；（2）3

【解析】

（1）令，，C(0,1)，，为的根，假设AC⊥

BC成立

∴，

∴

∴不能出现AC⊥BC的情况

（2）设圆与轴的交点为C(0，1)，D(0,)，设圆的方程为○1，

令得的根为，，

∴,又点C(0，1)在○1上，

∴1+E-2=0得E=1

∴，故或，所以

∴在轴上的弦长为3，是定值.

【点评】本题整体难度不算很高，但与常考的圆锥曲线题型存在一定区别，学生做题时会产生迷茫的感觉。第一问垂直的证明比较常规，但第二问定值类问题的处理比较不常见，一般定值都是转化为函数问题来处理，本题直接用采用设方程的方法来解圆的方程，对学生来讲，思路是一大难题。

21.（本大题共12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明.

【解析】

【点评】本题难度中偏高，第一问考查导函数含参的函数单调性讨论，第二问属于构造函数证明不等式类问题，有一定难度。

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）

在直角坐标系 中，直线 的参数方程为

为参数 ，直线 的参数方程为

为参数 . 设 与 的交点为 . 当 变化时， 的轨迹为曲线 .

（1） 写出 的普通方程；

（2） 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 设 ： ， 为 与 的交点，求 的极径.

【答案】（1）42

2=-y x ；（2）5

【解析】

4,4)2)(2(),2(1),2()2(1

);2(222221=--=+-=??

?

?

?+=-=+=

-=y x x x x y x k y x k y x k

y l x k y l 即两式相乘可得，的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为直线

???

???

?-==?????=-+=-=-22sin 22

3cos ,0

2)sin cos 4sin cos 4sin cos 22222222θρθρθθρθρθρθρθρ解得（联立的极坐标方程为曲线C 5,5)2

2()223(

sin cos 2

222222==-+=+=ρθρθρρ 【点评】本题属于创新题，要求学生综合掌握直线与圆、极坐标与参数方程板块的多个知识

点，并能融汇贯通综合运用，对于学生来说有较大难度。其实，在做选做题时，若果22题偏难，且第一问都存在问题的话，不妨看看23题，如果题目不难，可以选择23题进行解答！

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数 . （1） 求不等式 的解集；

（2） 若不等式 的解集非空，求 的取值范围.

【答案】（1）[)∞+，

1 ； （2）5

(,]4

-∞ 【解析】

(1)原函数可等价为分段函数3,1

()21,

123,2

x f x x x x -<-??

=-≤≤??>?

，由函数图像可得，解集为{}|1x x ≥

(2)原不等式可等价为2

()()g x f x x x m =-+≥，解集非空即2

max [()]f x x x m -+≥

由(1)可知

2

2

2

3,1

()31,12

3,2

x x x

g x x x x

x x x

?-+-<-

?

=-+-≤≤

?

?-++>

?

分别讨论其最大值可得m取值范围为

5

(,]

4

-∞

【点评】本题考查解含有绝对值的不等式、用分离参数法解含参不等式恒成立类问题及一元二次不等式值域的求法，考点比较多，综合性比较强，学生在第二问上可能觉得比较麻烦，缺乏继续完成的勇气，另本题对运算能力要求比较高，稍不留神容易算错。