上海侨光中学八年级数学上册第一单元《三角形》测试(含答案解析)

一、选择题

1．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ） A ．5边形

B ．6边形

C ．7边形

D ．8边形

2．在多边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，可以将多边形分割成8个三角形，则该多边形的边数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 3．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 4．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（ ） A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

5．如图，线段BE 是ABC 的高的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

6．如图，,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线，若,40B ACB BAC ∠=∠∠=?，则

ACE ∠的度数是（ ）

A ．20?

B ．35?

C ．40?

D ．70?

7．下列每组数分别三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3,4,8cm cm cm

B ．7,8,15cm cm cm

C ．12,13,22cm cm cm

D ．10,10,20cm cm cm

8．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）

A ．必有一个内角等于30°

B ．必有一个内角等于45°

C ．必有一个内角等于60°

D ．必有一个内角等于90° 9．正十边形每个外角等于（ ） A ．36°

B ．72°

C ．108°

D ．150°

10．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）

A ．2cm ，3cm ，6cm

B ．3cm ，4cm ，8cm

C ．5cm ，6cm ，10cm

D ．5cm ，6cm ，11cm

11．如图，已知AE 交CD 于点O ，AB ∥CD ，∠A ＝50°，∠E ＝15°，则∠C 的度数为（ ）

A ．50°

B ．65°

C ．35°

D ．15°

12．如图所示，ABC ?的边AC 上的高是（ ）

A ．线段AE

B ．线段BA

C ．线段B

D D ．线段DA

二、填空题

13．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．

14．如图，在Rt ACB ?中，90ACB ∠=?，25A ∠=?，D 是AB 上一点，将Rt ABC ?沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．

15．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条．16．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC＝________．

17．如图，若∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．

?的高线和中线，则线段AM，AN的大小关系是18．若线段AM，AN分别是ABC

AM_______AN（用“≤”，“≥”或“=”填空）．

19．一个三角形的三个内角的度数的比是1∶2∶3，这个三角形是_________________三角形．（填锐角、直角或钝角）

20．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90

∠，90

C=

∠=，

F

∠+∠等于___________度．

∠=，则12

A

D

∠=，45

30

三、解答题

21．()1若n边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n．

()2已知a，b，c为三角形三边的长，化简：a b c b c a

--+--．

+++-----．22．已知a，b，c为三角形三边的长，化简：a b c b c a c a b

23．题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？

问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：

继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：内部点的个数123n

得到三角形个数35

成表格：

内部点的个数123n

得到三角形个数

n，得到三角形的个数是x，请直接写出x 与m、n的关系：______________．

24．已知一个n边形的每一个内角都等于120°．

（1）求n的值；

（2）求这个n边形的内角和；

（3）这个n边形内一共可以画出几条对角线？

AE BF是角平分线，它们相交于点

25．如图，ABC中，AD是高，,

,80

∠=?，60

O CAB

∠=°，求DAE

C

∠和BOA

∠的度数．

26．如图，有一块直角三角板XYZ 置在ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、

XZ 分别经过点B 、C ．ABC 中，30A ∠=?．

（1）ABC ACB ∠+∠=________．

（2）ABX ACX ∠+∠=________．（说明理由）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【分析】

设多边形的边数是n ，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解． 【详解】

解：设多边形的边数是n ， 则180（n ﹣2）=3×360， 解得：n =8． 故选:D ． 【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．

2．B

解析：B

逐一探究在三角形，四边形，五边形一边上任取一点（不是顶点），将这个点与多边形的各顶点连接起来，得到分割成的三角形的数量，再总结规律，运用规律列方程即可得到答案．

【详解】

解：如图，

探究规律：

在三角形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与三角形的各顶点连接起来，可以将三角形分割成2个三角形，

在四边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与四边形的各顶点连接起来，可以将四边形分割成3个三角形，

在五边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与五边形的各顶点连接起来，可以将五边形分割成4个三角形，

总结规律：

在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，可以将n边形分割成()1

n-个三角形，

应用规律：

n-=

由题意得：18,

∴=

n

9.

故选：.B

【点睛】

本题考查的是规律探究及规律运用，探究“在n边形的一边上任取一点（不是顶点），将这个点与n边形的各顶点连接起来，把n边形分割成的三角形的数量”是解题的关键．3．D

解析：D

【分析】

设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．

【详解】

解：设多边形有n条边，由题意得：

180（n﹣2）＝360×4，

解得：n＝10，

故选：D．

此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n ﹣2）．

4．A

解析：A 【分析】

设多边形的边数为n ，然后根据多边形的内角和公式（n?2）?180°列方程求解即可． 【详解】

设多边形的边数为n ，

由题意得，（n?2）?180＝160?n ， 解得：n ＝18， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

5．D

解析：D 【分析】

根据高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是△ABC 的高，再结合图形进行判断． 【详解】

A 选项中，BE ⊥BC ，BE 与AC 不垂直，此选项错误；

B 选项中，BE ⊥AB ，BE 与A

C 不垂直，此选项错误； C 选项中，BE ⊥AB ，BE 与AC 不垂直，此选项错误；

D 选项中，B

E ⊥AC ，∴线段BE 是△ABC 的高，此选项正确． 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．

6．B

解析：B 【分析】

由,40B ACB BAC ∠=∠∠=?，再利用三角形的内角和定理求解ACB ∠，结合三角形的角平分线的定义，从而可得答案． 【详解】 解：

,B ACB ∠=∠40BAC ∠=?，

18040702

B ACB ?-?

∴∠=∠=

=?， CE 是ABC 角平分线，

1

352

ACE ACB ∴∠=∠=?，

故选：.B 【点睛】

本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．

7．C

解析：C 【分析】

根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边计算判断即可. 【详解】 ∵3+4＜8， ∴A 选项错误； ∵7+8=15， ∴B 选项错误； ∵12+13＞22， ∴C 选项正确； ∵10+10=20， ∴D 选项错误； 故选C. 【点睛】

本题考查了三角形的存在性，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题的关键.

8．D

解析：D 【分析】

根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B 代入求出∠C 即可判断． 【详解】

解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B ， ∴2∠C=180°， ∴∠C=90°，

∴必有一个内角等于90°， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．

9．A

解析：A 【分析】

根据正十边形的外角和等于360?，每一个外角等于多边形的外角和除以边数，即可得解．

【详解】

3601036?÷=?，

∴正五边形的每个外角等于36?， 故选：A ． 【点睛】

本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形以上三者之间的关系是解题的关键．

10．C

解析：C 【分析】

根据三角形三边关系解答． 【详解】

A 、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；

B 、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；

C 、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；

D 、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形； 故选：C ． 【点睛】

此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．

11．C

解析：C 【分析】

先根据平行线的性质，得出A DOE ∠=∠，再根据DOE ∠是OCE ?的外角，即可得到C ∠的度数．

【详解】

解：∵AB//CD ，45A ∠=?， ∴45DOE ∠=?， ∵DOE E C ∠=∠+∠，

∴501535C DOE E ∠=∠-∠=?-?=?， 故选：C ． 【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，正确得出DOE ∠的度数是解题的关键．

12．C

解析：C 【分析】

根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【详解】

A.线段AE 是△ABC 的边BC 上的高，故不符合题意；

B.线段BA 不是任何边上的高，故不符合题意；

C.线段BD 是△ABC 的边AC 边上的高，故符合题意；

D.线段DA 是△ABD 的边BD 上的高，故不符合题意； 故选C ． 【点睛】

本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．

二、填空题

13．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可【详解】∵F 是CE 的中点∴∵E 是BD 的中点∴∴∴△ABC 的面积=故答案为：12【点睛】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形的中线

解析：12 【分析】

根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】

∵ F 是CE 的中点，2

3AEF S cm ?= ∴ 2

26ACE AEF S S cm ??== ，

∵ E 是BD 的中点，

∴ ADE ABE S S ??= ，CDE BCE S S ??= ， ∴1

2

ACE ABC S S ??=

， ∴△ABC 的面积=212cm ． 故答案为：12． 【点睛】

本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．

14．【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ∠CDB=∠CDB′进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC 再利用平角的定义即可得出答案【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠使点B 落在AC 边 解析：40?

【分析】

根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC ，再利用平角的定义，即可得出答案． 【详解】

解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处， ∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′， ∵∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，

∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，

∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．

故答案为：40°．

【点睛】

此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC和∠B′DC的度数是解题关键．

15．2【分析】多边形的每一个内角都是108°则每个外角是72°多边形的外角和是360°这个多边形的每个外角相等因而用360°除以外角的度数就得到外角的个数外角的个数就是多边形的边数再根据从n边形的一个顶

解析：2

【分析】

多边形的每一个内角都是108°，则每个外角是72°．多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据从n边形的一个顶点出发可引出（n?3）条对角线，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n?2）个三角形，依此作答．

【详解】

根据题意得：360°÷（180°?108°）＝360°÷72°＝5，

那么它的边数是五，

从它的一个顶点出发的对角线共有5?3＝2条，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了多边形内角与外角，根据多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．另外需要记住从n边形的一个顶点出发可引出（n?3）条对角线，把这个多边形分割成（n?2）个三角形．

16．125°【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点求出

∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB求出

∠OBC+∠OCB再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即

解析：125°

【分析】

求出O为△ABC的三条角平分线的交点，求出∠OBC=1

2

∠ABC，∠OCB=1

2

∠ACB，根据

三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可；

【详解】

∵在△ ABC中，点O是△ABC内的一点，且点O到△ ABC三边距离相等，

∴ O为△ABC的三条角平分线的交点，

∴∠OBC=1

2∠ABC，∠OCB=1

2

∠ACB，

∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，

∴∠OBC+∠OCB=55°，

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=125°，

故答案为：125°．

【点睛】

本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键；

17．2【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B∠D+∠E再根据邻补角表示出∠CGF然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解【详解】解：如图根据三角形的外角性质∠1=∠A

解析：2α

【分析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B，∠D+∠E，再根据邻补角表示出∠CGF，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】

解：如图，

根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠D+∠E，

∵∠3=180°-∠CGE=180°-α，

∴∠1+∠F+180°-α=180°，

∴∠A+∠B+∠F=α，

同理：∠2+∠C+180°-α=180°，

∴∠D+∠E+∠C=α，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α．

故答案为：2α

【点睛】

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，准确识图是解题的关键．

18．；【分析】根据三角形的高的概念得到AM⊥BC根据垂线段最短判断【详解】解：如图∵线段AM是△ABC边BC上的高∴AM⊥BC由垂线段最短可知AN≥AM故答案为：【点睛】本题考查的是中线和高的概念掌握垂

解析：≤；

【分析】

根据三角形的高的概念得到AM⊥BC，根据垂线段最短判断．

【详解】

解：如图，

∵线段AM是△ABC边BC上的高，

∴AM⊥BC，

由垂线段最短可知，AN≥AM，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查的是中线和高的概念，掌握垂线段最短是解题的关键．

19．直角【分析】根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数即可得出答案【详解】180°÷(1+2+3)×3=180°÷6×3=30°×3=90°答：这个三角形中最大的角是直角故答案为：直角

解析：直角

【分析】

根据三角形内角和定理和已知求出这个三角形的最大内角的度数，即可得出答案．

【详解】

180°÷(1+2+3)×3

=180°÷6×3

=30°×3

=90°，

答：这个三角形中最大的角是直角．

故答案为：直角．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出这个三角形的最大内角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．

20．210【分析】由题意得：∠1=∠D+∠DGA∠2=∠F+∠FHB然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH∠2=∠F+∠CHG最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值【详解】解：如图给

解析：210

【分析】

由题意得：∠1=∠D+∠DGA，∠2=∠F+∠FHB，然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH，∠2=∠F+∠CHG，最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值．

【详解】

解：如图，给两三角板的两个交点标上G 、H 符号，

则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH ，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG ， ∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG =∠D+∠F+（CGH+∠CHG ） =30°+90°+90° =210°， 故答案为210 ． 【点睛】

本题考查直角三角形的应用，灵活运用直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质和对顶角相等的定理求解是解题关键．

三、解答题

21．()18；()22c ． 【分析】

（1）根据多边形的内角和与外角和公式列出方程即可求解；

（2）根据三角形的三边关系可得a c b +>，b c a +>，再根据化简绝对值的方法即可求解． 【详解】

解：()1由题意得：()18023603n ?-=??， 解得：8n =．

()2∵

a ，

b ，

c 为三角形三边的长，

∴a c b +>，b c a +>，

∴a b c b c a --+--()()2a b c b c a b c a a c b c =-++-+=+-++-=． 【点睛】

此题主要考查多边形的内角和与外角和、三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知多边形的性质及去绝对值的方法． 22．a+c-b 【分析】

根据三角形的三边关系得出a+b ＞c ，a+c ＞b ，再去绝对值符号，合并同类项即可．

【详解】

解：∵a 、b 、c 为三角形三边的长， ∴a+b ＞c ，a+c ＞b ，

∴原式=(a b)c b (c a)c (a b)+-+-+--+ =a+b-c-b+c+a+c-a-b =a+c-b 【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系以及整式的加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

23．继续探究：图见解析，7，21n ；拓展联系：4，6，8，22n +；概括提升：

22x n m =+-

【分析】

继续探究：由题意得出这些三角形的个数是从3开始的连续奇数，据此可得结论； 拓展联系：分别画出图形，得到相关数据，总结规律即可；

概括提升：根据n 边形的内部的m 个点，共（m+n ）个点作为顶点，可把原n 边形分割成（2m+n-2）个互不重叠的小三角形，据此可得． 【详解】

解：继续探究：如图，

在三角形纸片内部给定1个点,得到3个三角形; 在三角形纸片内部给定2个点,得到5个三角形; 在三角形纸片内部给定3个点,得到7个三角形; 在三角形纸片内部给定n 个点,得到(2n+1)个三角形; 故填表得： 内部点的个数 1 2 3 n 得到三角形个数 3

5

7

2n+1

在四边形纸片内部给定1个点,得到4个三角形; 在四边形纸片内部给定2个点,得到6个三

角形; 在四边形纸片内部给定3个点,得到8个三角形; 在四边形纸片内部给定n 个点,得到(2n+2)个三角形; 填表如下：

(3)设纸片的边数为m,内部给定1个点,得到m 个三角 形, 内部给定2个点,得到(m+2)个三角形, 内部给定3个点,得到(m+2×2)个三角形, 内部给定n 个点,得到(2n+m-2)个三角形, ∴x=2n+n-2. 【点睛】

此题考查图形的变化规律性；得到三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律是解决本题的关键．

24．（1）6；（2）720°；（3）9条 【分析】

（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可； （2）根据多边形内角和公式即可求解；

（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可． 【详解】

解：（1）由题意得()2180120n n -?=?， 解得 6n =．

（2）()62180720-??=?， 所以这个多边形的内角和为720°．

（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线， 所以一共可画63

92

?=条对角线． 【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键． 25．10DAE ∠=?，120BOA ∠=? 【分析】

根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可． 【详解】 解：

80,CAB ∠=?且AE 平分,CAB ∠

1

402

CAE CAB ∴∠=∠=?，

又60,C AD BC ∠=?⊥， 9030,CAD C ∴∠=?-∠=?

10DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=?；

60,40C CAE ∠=?∠=?，

100BEO C CAE ∴∠=∠+∠=?，

又

180,ABC C CAB ∠+∠+∠=?

40,ABC ∴∠=?

BF 平分,ABC ∠

1

20,2

OBE ABC ∴∠=∠=?

120BOA OBE BEO ∴∠=∠+∠=?． 【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键． 26．（1）150? （2）60?；理由见解析 【分析】

（1）根据三角形的内角和定理即可求得答案； （2）先求得XBC XCB ∠+∠=90°，再根据

ABX ACX ∠+∠()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠即可求得答案．

【详解】

解：（1）∵180ABC ACB A ∠+∠+∠=?，30A ∠=?， ∴180ABC ACB A ∠+∠=?-∠

18030=?-? 150=?，

故答案为：150°；

（2）60ABX ACX ∠+∠=?，

理由如下：∵180XBC XCB X ∠+∠+∠=?，90X ∠=?， ∴180XBC XCB X ∠+∠=?-∠

18090=?-?

90=?，

∴ABX ACX ∠+∠

ABC XBC ACB XCB =∠-∠+∠-∠

()()ABC ACB XBC XCB =∠+∠-∠+∠

15090=?-? 60=?，

故答案为：60°． 【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键．