(自主招生培训)第五讲：导数与积分

第五讲导数与积分

第一部分相关知识

一．函数导数

1.1．函数导数的意义：①几何意义：函数()f x 在点0x x =处的导数0()f x '为曲线()y f x =在点

00(,())x f x 处的切线斜率；②物理意义：()s t 在0t t =处的导数0()s t '为质点在时刻0t t =处的瞬时速

度，即00()()v t s t '=；()v t 在0t t =处的导数0()v t '为质点在时刻0t t =处的瞬时加速度，即

00()()a t v t '=.

1.2．导数与函数的性质

已知函数()f x ，x D ∈，

(1)()0f x '>→()f x 在D 上单调递增，()0f x '<→()f x 在D 上单调递减，()0f x '=→()f x 是常数函数.

(2)()f x 在D 上单调递增→()0f x '≥，()f x 在D 上单调递减→()0f x '≤. 1.3．导数与极值

(1)极值的必要．．条件：函数()f x 在0x 处可导，且()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=，反之不一定成立.

(2)极值的第一充．分．

条件：函数()f x 在0x 的领域00(,)x x δδ-+内可导，①当00(,)x x x δ∈-时()0f x '<，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值；②当00(,)x x x δ∈-时()0f x '>，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值.

极值的第二充分．．

条件：函数()f x 在0x 的领域00(,)x x δδ-+内一阶可导，在0x 处二阶可导，且0()0f x '=，0()0f x ''≠，则()f x 在0x 处取得极值；①若0()0f x ''>，则()f x 在0x 处取得极小值；

②若0()0f x ''<，则()f x 在0x 处取得极大值. 1.4．曲线的凸性的充分条件

(1)函数凸性的定义：()f x 在D 上有意义，对任意的i x D ∈(1,2,i =…，n )，都存在

i R α+

∈(1,2,i =…，n )且11n i i α==∑，使：①11

()()n n

i i i i i i f x f x αα==<∑∑成立，则称()f x 在D 上是严

格上凸的；②1

(

)()n

i i i

i i i f x f x αα

==>∑∑成立，则称()f x 在D 上是严格下凸的；

(2)()f x 在开区间D 上二阶可导，若()0f x ''>，则曲线()y f x =在D 上时下凸的；若()0f x ''<，则曲线()y f x =在D 上时上凸的；通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数.

(3)三次函数()f x 满足0()0f x ''=，则点00(,())x f x 是其对称点（这个结论解答题中不能直接使用）. 1.5．Roll 定理

函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，若()()f a f b =，则必存在0(,)x a b ∈，使0

()0f x '=成立.

1.6．Lagrange 中值定理

函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则必存在0(,)x a b ∈，使0()()

()f a f b f x a b

-'=-成

立.

二．定积分

第二部分相关习题

1.(2011复旦)设a 为正数，若函数3

()2f x x ax a =-+在区间(0,)a 上大于0，则a 的取值范围是( )

A.(0,1]

B.(0,1)

C.(1,)+∞

D.[1,)+∞ 2.(2006武大)若定义在R 上的函数3

()f x ax bx cx =++(0a ≠)的单调递增区间为(1,1)-，则实数a 、

b 、

c 的大小关系为( )

A.a b c >>

B.b c a >>

C.a c b >>

D.c b a >>

3.(2001上海交大)已知()f x 在0x 处可导，则22000(3)()

lim

h f x h f x h h

→+--= ； 0

000

()()

lim

x x xf x x x x x →-=- .

4.(2011卓越联盟)(1)已知函数()ln f x x x =，求()f x '；

(2)设0a b <<，求常数c 使得

1ln b

a x cdx

b a

--?的最小值； (3)设(2)中的最小值为,a b m ，证明：,ln 2a b m <.

5.(2012清华保送)已知1

()ln x e f x x

-=，11a =，1()n n a f a +=.

(1)求证：10x x

xe e -+≥恒成立； (2)求()f x 的单调区间；

(3)证明：数列{}n a 为递减数列，且0n a >.

6.(2011华约)已知3

21y x x x =--+，过点(1,1)-的直线与该函数的图像相切，且点(1,1)-不是切点，

求该直线的方程.

7.(2010武大)已知()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >，且()()0f x f x '+<.

(1)讨论函数()()x F x e f x =的单调性； (2)设01x <<，比较函数()xf x 与11

()f x x

的大小.

8.(2010五校联考)已知函数()ax

f x e =，过点(,0)A a 作与y 轴平行的直线与函数()f x 的图像交于点P ，

过P 作()f x 的切线交x 轴于点B ，求ABP ?的面积的最小值.

9.(2007武大)已知函数()x

f x e x =-.

(1)若函数2()()1F x f x ax =--的导函数()F x '在[0,)+∞上时增函数，求实数a 的最大值； (2)求证：111()()()234f f f +++…1()14(2)

n f n n n +>+

++，*

n N ∈.

10.已知函数()ln(1)1(0)x

f x e x x =-+-≥.

(1)求函数()f x 的最小值； (2)若0y x ≤<，求证：1ln(1)ln(1)x y

e x y -->+-+.

11.已知函数()2ln b

f x ax x x

-，(1)0f =. (1)若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 的图像在1x =处的切线斜率为0，且211

()11

n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求

证：22n a n ≥+； (3)在(2)的条件下，试比较111n

i i

a =+∑与2

5的大小，并说明理由.

12.已知二次函数2

()f x ax bx c =++，直线1l ：2

8(02,y t t t t =-+≤≤为常数），2l ：2x =，若直线1l 、

2l 与函数()f x 的图像以及1l 、y 轴与函数()f x 的图像所围成的封闭图形如阴影所示.

(1)求a 、b 、c 的值；

(2)求阴影部分面积S 关于t 的函数()S t 的解析式；

(3)若()6ln g x x m =+，问是否存在实数m ，使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

13.设三次函数32

()()f x ax bx cx d a b c =+++<<在1x =处取得极值，且图像在x m =处的切线斜率为

3a -.

(1)求证：01b

≤

<； (2)若函数()y f x =在区间[,]s t 上单调递增，求t s -的取值范围；

(3)是否存在实数k （k 是与a 、b 、c 、d 无关的常数），当x k ≥时，恒有()30f x a '+<恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.

14. （1m 取值范围；（2（*n N ∈）．

15.已知函数3

()f x x x =+，正项数列{}n x 的第一项11x =，以后各项按如下方式取定：曲线()y f x =在

点11(,())n n x f x ++处的切线与经过点(0,0)和点(,())n n x f x 两点的直线平行.求证：当*

n N ∈时，

(1)22

1132n n n n x x x x +++=+；

(2)1

1122n n n x --????≤≤ ? ?

16. (1)若曲线()x f 在点()()2,2f 处的切线与直线0132=++y x 垂直，求a 的值； (2)若()x f 在区间()+∞,0单调递增，求a 的取值范围；

(3)若13a -<<，证明：对任意()12,0,x x ∈+∞,12x x ≠.

17. 已知函数3214()333f x x x x =

--+，9()2

x c

g x +=-

. (1)若对任意的[2,2]x ∈-，都有()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围； (2)若对任意的1x 、2[2,2]x ∈-，都有12()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围；

(3)若对任意的1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使12()()f x g x <成立，求实数c 的取值范围； (4)若对任意的1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使12()()f x g x =成立，求实数c 的取值范围.

整理ln的运算法则_导数的计算

ln的运 JUNE 2021算法则整理人尼克知识改变命运

导数的计算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。 2、使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．一、几个常用函数的导数： 1．函数的导数 2．函数的导数

3．函数的导数 4．函数的导数（2）推广：若，则二、基本初等函数的导数公式：

2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点推论：类型一：利用公式及运算法则求导数例1．求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4 举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）；（2）

（3）y=6x3―4x2+9x―6 例2．求下列各函数的导函数（1）；（2）y=x2sinx; （３）y=；（４）y= 举一反三：【变式1】函数在处的导数等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】求下列函数的导数. 1.；（2）；（3）.

类型二：复合函数的求导例3．求下列函数导数. （1）；（2）；（3）；（4）. 举一反三：【变式1】求下列函数的导数： (1)；（2） 1.y=ln（x＋）；（4）

2017朱亚文物理自主招生培训材料

自主招生物理奥赛辅导讲义朱亚文目录一、运动学 1 运动学基本内容 2 相对运动 3 物系相关速度二、静力学 1常见几种力系统质心计算 2 摩擦角 3 两类平衡问题的处理方法三、动力学 1 动力学基本原理牛顿第二定律与动量定理 2 连接体问题 3 非惯性系问题惯性力四、能量动量五、简单刚体力学问题六、电磁学七、自主招生物理奥赛的基本数学知识初等数学全部知识导数、简单微积分八、物理常用方法（具体解题中应用）整体法、隔离法、假设法、等效法、对称法（镜像法）、图像法、类比法（相似法）、递推法、微元法、极限法

一、运动学（一）基本概念 1．质点2．参照物 3．参照系——固连于参照物上的坐标系（解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点） 4.参考系的转换：动参考系，静参考系（1）相对运动：动点相对于动参考系的运动（2）绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参考系）的运动（3）牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动（二）运动的描述 1．位置2．位移3．速度4．加速度5、时间（时刻）（三）匀变速直线运动规律 1、基本规律及理解（5个） 2、比例关系 3、中点公式 4、推论（注意矢量性和条件）（四）运动的合成与分解、相对运动 1.力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。 2.运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律 3.力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等（1）运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用：一切矢量。（2）位移合成定理：S A对地=S A对B+S B对地速度合成定理：V绝对=V相对+V牵连.加速度合成定理：a绝对=a相对+a牵连（五）物系相关速度特征：杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度. 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同. 线状相交物系交叉点的速度是：相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和.

史上最系统最全面的高校自主招生资料(含自主招生试题)_物理学科

Ⅰ、自主招生综述前言：从2008年开始，高校自主招生考试录取人数首次超过高考，并在08年后的几年内继续拉大与自主招生考试录取人数的差距，到了2010年自主招生已经成为了名校招生的主要途径，高考将慢慢退居二线。然而对于广大同学们来说，很多人并不了解高校自主招生，或者认为自己水平比较低，没有参加自主招生的必要，然而请你相信，随着自主招生规模的扩大，其门槛必定会降低，或许你不能拿到预录取资格，但是你很有可能比较容易的拿到高考加分的资格，因此，建议同学们慎重考虑，积极参与，高考的独木桥越来越窄，您应该扩大您的视野。这一份资料来自OK学习网姜建锋老师的自主招生课程讲义，是我在自主招生结束后，闲得无聊，为学弟学妹们整理的，其中多数是直接截取了姜老师的板书(网上上课也能用笔写板书，神奇！)。由于讲义比较全，所以基本上涵盖了自主招生的所有内容，但是也不是完全覆盖，侧重于超纲的知识，这次考试有些就没有涉及到，但是比没有听讲好多了，可以说是目前最全的自主招生资料了，想想我去年拼命找，只找到一些没答案的题目，那叫一个郁闷啊！这一套资料的模式就是先补充一些超过高考范围但是自主招生常考的知识点（这个老师是口述或者板书写的比较多，我没办法做进来，同学们只能自己查找资料或咨询自己老师了），然后以历年自主招生真题为例进行讲解，最后老师自己出了一些仿真试题进行锻炼，其实如果你参加过竞赛，进行过竞赛辅导，那么感觉还是挺容易的。适用对象：准备参加五校或者复旦自主招生的同学，学习能力强不想付钱去听课的同学。如果看文中板书困难，建议还是去亲自听讲解。讲义来自OK学习网，因为未经官方授权，因此，请小心使用，版权没有^_^！希望我的这次努力能给广大参与自主招生的学弟学妹提供帮助，谢谢，如果后期闲的无聊，我会继续做一下其它科目，同学们如果感兴趣可以联系我。 Ps：题目图片的水印很烦，但是又没办法，大家要是看不清楚就去看板书的图吧！自主招生应试策略与物理试卷解读在姜老师讲义开始之前，我也来解读下自主招生：先说说我的经历：我老早就想去交大了，因为讨厌生物历史等等死记硬背的东西，加之自己理科也挺好，所以参加了五校联考，并且被预录取了，嘎嘎！现在对大家报考自主招生进行一点个人的指导：如果你理科非常好，甚至参加过数学或者物理等竞赛，同时文科很烂，那么，我觉得你参加五校的自主招生最合适不过了，五校的风格就是变态题目，因为他们想招变态学生，考的东西很深，很多超过高考范围，难度跟竞赛一试难度有一拼，但是大家都在一条起跑线上，如果你参加过竞赛或者接受过专门辅导，那么你绝对会比别人跑的远！这一点我深有体会。至于准备的话，就是恶补自主招生常考的但是我们又没有学的东西，这里同学们也不要被吓着，其实也就是几个几个公式几个定理，没什么神奇的。如果你是一个十项全能的同学，有种上知天文下知地理，文理兼修，两手抓两手都不误的感觉，但是理科又不太比得上那些诸如华师大二附中、复旦附中、上大附中等学校重点班的学生，那么我建议你去考复旦的自主招生，复旦题量特别大，题目比较简单，有200道题，包含了十个科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息，覆盖面比较广，由此可见，复旦喜欢综合性人才，或者说讨厌我这种理科白痴。考试时间两个小时，也就是说一道题不能超过一分钟，更郁闷的是，做错题要倒扣分，假如你做对100分的题目，那么你的试卷为100-100=0分！因此复习的时

(福建专版)201X高考数学一轮复习课时规范练15 导数与函数的小综合文

课时规范练15 导数与函数的小综合基础巩固组 1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 2.(2017山东烟台一模,文9)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是() A.a>0,b>0,c>0,d<0 B.a>0,b>0,c<0,d<0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d>0 3.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=() A.0 B.2 C.-4 D.-2 4.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)2e x 的解集为() A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 5.(2017辽宁大连一模,文8)函数f(x)=e x x 的图象大致为() 6.(2017河南濮阳一模,文12)设f'(x)是函数f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足 xf'(x)+2f(x)=1 x2 ,则下列不等式一定成立的是() A.x(e) e2>x(e2) e B.x(2) 9 x(e) 4 D.x(e) e2

C.(0,1) D.(0,+∞) 8.已知函数f(x)=-1 2 x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是. 9.(2017河北保定二模)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且?x∈(0,+∞),f(f(x)-log2 015x)=2 017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是. 10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是. 11.(2017山东泰安一模,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g'(x)为 g(x)的导函数,对?x∈R,总有g'(x)>2x,则g(x)0,且对?x∈(0,+∞),2f(x)

常用求导与定积分公式(完美)

一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且

)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）（2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+?

2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练 10 导数与函数的综合运用

40分钟单元基础小练 10 导数在函数中的综合应用一、选择题 1．已知函数f (x )＝x 2e x ，当x ＝[－1,1]时，不等式f (x )0，函数f (x )单调递增，且f (1)>f (－1)，故f (x )max ＝f (1)＝e ，则m >e.故选D. 2．函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )在区间[e －2，＋∞)上有两个零点，则 a 的取值范围是( ) A.??????2e 2，1e B.???? ??2e 2，1e C.? ????2e 2，1e D.???? ??1e 2，2e 答案：A 解析：令f (x )＝ln x ＋a x ＝0，x ∈[e －2，＋∞)，得－a ＝x ln x .记H (x ) ＝x ln x ，x ∈[e －2，＋∞)，则H ′(x )＝1＋ln x ，由此可知H (x )在[e －2，e －1]上单调递减，在(e －1，＋∞)上单调递增，且H (e －2)＝－2e －2，H (e － 1)＝－e －1，当x →＋∞时，H (x )→＋∞，故当2e 2≤a <1e 时，f (x )在[e －2，＋∞)上有两个零点，选A. 3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能的是( ) 答案：A 解析：根据f ′(x )的图象知，函数y ＝f (x )的极小值点是x ＝－2，极大值点为x ＝0，结合单调性知，选A. 4．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间(－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20 B ．18

2018-2019学年高校自主招生培训物理讲义专题一：举轻若重,小题大做无答案(PDF)

专题一：举轻若重，小题大做 ——兼谈考前三个月冲刺复习的有效性策略例1．（2017课标1题16）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a 、b 、c 电荷量相等，质量分别为m a 、m b 、m c 。已知在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是 A ．a b c m m m >> B ． b a c m m m >> C ．c b a m m m >> D ． a c b m m m >> 例2．（2017课标1题15）发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是 A ．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B ．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大 C ．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D ．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大例3．（2017课标2题17）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物快以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物快落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g ） A.216v g B.28v g C.24v g D.2 2v g

例4．（2017课标2题19）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q 为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M，Q到N的运动过程中 A.从P到M所用的时间等于T0/4 B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小 D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功例5．（2017课标3题21）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c 三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是A．电场强度的大小为2.5 V/cm B．坐标原点处的电势为1 V C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 例6.（2016·课标1题20）如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直平面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知 A.Q点的电势比P点高 B.油滴在Q点的动能比它在P点的大 C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大 D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小

自主招生的录取流程介绍

自主招生的录取流程介绍通过自主招生的大致分两类，一类是过了一本线就可以被提档，另一类是只在该校在当地招录的分数线上降若干分。我分别来做个介绍：第一类是过了一本线就可以被提档。这中间还要分两类，在其自主招生政策中都有清清楚楚的表述，大家可以对照下你属于那一类：一是可以保证学生的志愿。拿到这种资格的学生，基本上没有大问题了，你只要从该大学中找你有兴趣的专业挑就是了。但是，提醒一点，人家说满足你的志愿，可没说一定要满足你的第一志愿啊！所以如果是五个志愿栏，请你一定要填够五个志愿。尽管我们知道，他可能就从你前一、两个志愿中给你录取书，但是如果你没有填够五个志愿，而前几个志愿该校正好今年不能满足你的志愿要求，那你还是要掉档的。而且，你没有任何理由找学校的麻烦。这种事情还从来没出现过，但是理论上还是有这种风险的。所以五个志愿一定要认真填写，不要过于自以为是。二是要求学生服从专业调剂。拿到这类资格的学生会很纠结，服从调剂会不会被调到一个自己感到非常不理想的专业；不服从，会不会不被录取。如果你很纠结这个问题，那我猜你的分本来是不够该校的基本调档线的，因为如果高于这条线，本来你就可以自信的报专业嘛。这时，大家有必要知道自主招生的流程了。自主招生工作是在一本之前就先进行，但是这不是有些人认为的那种提前批。具体来说，分三步走：第一步、各高校要提前把自己确定要自主招录的学生名单和考号报当地高招办（这就是各高校要求获自主招生资格考生必须要提前确认的理由）。第二步、当地高招办负责落实这些考生是不是已经达到了被录取的资格，是不是最后确认要报已确认录取自己的那所高校了（每年大概会有三分之一的考生因为高考成绩优于自主招生的高校，他放弃了这个资格；还会有大约三分之一的学生分数达不到自主招生资格的高校而被高校放弃了）。第三步，高校从这些最后确认的学生中确定如何录取。由于之前我们分析的原因，一本高校最后能在自主范围内录取的考生大概也就一百来人。那么你想想，这些大学每年要在全国招多的达到七、八千，少的也有三、五千的学生，而你只是先占了他一百来个名额（少的学生过自主的还不到一百人），除了有些你自己身体条件限制的专业你不能报，除了该校最王牌的专业他可能要限制你一下，你还有什么不敢报的呢？你服从专业调剂，他还能把你给调到什么地方去呢？所以服从专业调剂无非是个态度嘛。第二类表述有很多，但是实质上就是等于给你在你现有的高考线上加上他承诺给你的分数。这里就会出现两种情况，一种是分数加上后，也到不了该高校的提档线，那你今年的自主招生资格就失去效应了，只好从其他的高校中重新选学校了；另一种是加分后，上了该高校在当地提档线的，这也要分二种情况：一是你本身分在一本分下，那加分无效，取消加分；二是你上了提档线后，在定专业时，对方高校一般来说是优惠你加分后再定专业的。这时你和前一种的自主招生不同的在于，有些高校是把你和所有进档的考生一起来排队定专业，所以在专业问题上一切要看分数的。当然，也有高校再把你们独立出来，单独排队定专业了。不过这时再按后种方式录取有自主招生资格的考生时工作量加大了，所以采用这种方法的高校不算多。具体的还是要看各校的简章，以他们说的为准。这里还要给部分朋友解释下各高校当年的提档线是如何计算出来的问题。有朋友很奇怪，当年提档线只能是所有志愿报完后，各高校要根据这一情况，才能定下自己的提档线。那么，没确定之前，如何理解招生章程上说的在提档线下加多少分的承诺呢？其实我们还是换个说法更直接一些：不管他如何描述，我们就直接加上他承诺的优惠分数就是了。如果道理你想不明白，就不要硬想了，反正知道这么做就行了。这里面其实有个认识上的误区：如前文所描述的流程:各高校在一开始就已经把获取自主招生资格考生的名字报到了当地高招办，高招办审核后，又把这类学生的名单单列出来，返还给了各高校，这项工作是在一本招生前已经提前做好的。等正式招录开始后，参加这类高校录取方式的学生要加上各校承诺的加

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分一．课标要求： 1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。（2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。（3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。（5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

高三数学小综合专题练习函数与导数文

2012届高三文科数学小综合专题练习——函数与导数一、选择题 1.已知函数f （x ）=20, 1, 0x x x x >?? +≤? ，。若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于 A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 2.函数()41 2x x f x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 3.已知()()()()条件的是则若 1,0,lg b f a f a b a x x f = B A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件 4.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A ．（-2,-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 5.若曲线1 2y x -=在点1 2,a a -? ? ??? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = A.64 B.32 C.16 D.8 二、填空题 6.函数3log , (0)y x x =>的反函数为 7. 函数y 的定义域为R ，则k 的取值范围是 8.若曲线()2 f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 9.已知函数???<-≥+=0 , 40, 4)(2 2x x x x x x x f 若2 (2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 10.已知函数()f x 满足：()1 14 f = ，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2012)f =_____________. 三、解答题

自主招生培训——圆周运动与天体运动

万有引力定律和天体运动 1，证明：一个质量分布均匀的球壳对球体内任一质点的万有引力为零。 2，2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能（C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 3，我国于2007年10月24日成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，卫星由地面发射后，由发射轨道进入停泊轨道，然后再由停泊轨道调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，开始绕月做匀速圆周运动，对月球进行探测，其奔月路线简化后如图所示。 ?卫星从停泊轨道进入地月转移轨道时速度应增加还是减小？ ?若月球半径为R，卫星工作轨道距月球表面高度为H。月球表面的重力加速度为（g为地球表面的重力加速度），试求：卫星在工作轨道上运行的线速度和周期。 ?速度应增加（2分） ?由向心力公式得：（2分）

得：（2分）由周期公式得：T＝=(2分) 4，天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为 w1,w2。根据题意有 w1=w2 ① r1+r2=r ② 根据万有引力定律和牛顿定律，有 ③ ④ 联立以上各式解得 ⑤ 根据角速度与周期的关系知 ⑥ 联立③⑤⑥式解得

常用的求导和定积分公式(完美)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211 )(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21 (arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'='??? ?? 反函数求导法则若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数）

第3章 32 323 导数的四则运算法则

3.2.3 导数的四则运算法则学习目标：1.理解函数和、差、积、商的求导法则．(重点).2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点) [自主预习·探新知] 导数的运算法则 (1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则： ①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f 2′±…±f n ′. ②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地：[Cf (x )]′＝Cf ′(x )． ③商的求导法则： ???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g (x )(g (x )≠0)，特别地：??????1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)．思考：商的导数???? ??f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？ [提示] 先对f (x )求导，即f ′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )． [基础自测] 1．思考辨析 (1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) (2)??????C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ) .( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数．( ) [提示] (1)√ (2)√ (3)× 应用导数的运算法则求导数的前提是f (x )，g (x )均为可导函数，即

2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4；例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围．例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ．（1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（2）若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+，即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ．由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ．（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．

自主招生辅导电磁感应(含答案)

先解决磁场的两个问题【例1】(北大2006 )如图所示，水平面上放有质量为 m ,带电+q 的滑块，滑块和水平面间的动摩擦系数为仏水平面所在位置有场强大小为 E 、方向水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场。若.■ ■，物 mg 块由静止释放后经过时间 t 离开水平面，求这期间滑块经过的路程S. 解析：开始滑块向右加速，获得向右速度后另外受到竖直向上的洛仑兹力作用，导致滑块所受到的滑动摩擦力变小，做加速运动的加速度相应变大。对滑块考察一微小时间 △,利用动量定理 qE t (mg Bqv) t m v 对上式累计求和，可得 qEt mgt Bqs mv m 而物体离开水平面时满足 Bqv m mg 联立解得： s m 2 g mgtBq q 2BEt s r~2 B q 【例2】(同济2008)回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度 B=1T ,高频加速电压的频率 f=7.5 X 6Hz ,带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流 l=1mA ，最后粒子束从半径R=1m 的轨道飞出，如果粒子束进入冷却圈套”的水中并停止运动，问可使圈套”中的水温升高多少度？设圈套”中水的消耗量 m=1 kg/s ，水的比热容c=4200J/ (kg K ) 解析：粒子在盒内运动有 2 V 上 V Bqv m , f R 2 R 得: q 乂 m B 设单位时间内飞出回旋加速器的粒子数为 I Nq cm 电磁感应部分的内容主要包括楞次定律、法拉第电磁感应定律、交流电和变压器等方面的规律，这里主要分析一下电磁感应中感生电动势和动生电动势两种情况的规律。专题九强化训练电磁感应 N ，则粒子束功率P N 由热平衡条件得P IBR 2f -mv 2 IBR 2f 2 cm t 升温t 5.6 K

函数与导数的综合应用

函数与导数的综合应用命题动向：函数与导数的解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合进行深入考查，体现了能力立意的命题原则．这几年，函数与导数的解答题一直作为“把关题”出现，是每年高考的必考内容，虽然是“把关题”，但是同其他解答题一样，一般都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难．从近几年的高考情况看，命题的方向主要集中在导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合应用．题型1利用导数研究函数性质综合问题例1 [2016·山东高考]设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ), 求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值．求实数a 的取值范围．解题视点 (1)求出g (x )的导数，就a 的不同取值，讨论导数的符号；(2)f ′(x )＝ln x －2a (x －1)，使用数形结合方法确定a 的取值，使得在x <1附近f ′(x )>0，即ln x >2a (x －1)，在x >1附近ln x <2a (x －1)．解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝1 x －2a ＝1－2ax x . 当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x ) 单调递增；当a >0时，x ∈??? ?0，1 2a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， x ∈????12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；当a >0时，g (x )的单调增区间为????0，12a ，单调减区间为??? ?1 2a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当01，由(1) 知f ′(x )在????0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈????1，1 2a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在??? ?1，1 2a 内单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1 2a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<1 2a <1，当x ∈????12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意．综上可知，实数a 的取值范围为????12，＋∞. 冲关策略函数性质综合问题的难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论． (1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．题型2利用导数研究方程的根(或函数的零点) 例2 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解题视点 (1)先求函数f (x )的定义域，再求f ′(x )，对参数a 进行分类讨论，由f ′(x )>0(f ′(x )<0)，得函数f (x )的单调递增(减)区间，从而判断f (x )的单调性；(2)利用(1)的结论，并利用函数的零点去分类讨论，即可求出参数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a ＞0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .