直线与方程知识点与经典例题

直线与方程知识点与经典例题

一、知识点

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

性质：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=0°时，斜率k =0；当090α?

<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)

90,0∈α时，0≥k ； 当()

180,90∈α时，0

90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211

21

2x x x x y y k ≠--=

注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：11

2121

y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x

④截矩式：

1x y a b

+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）垂直直线系

垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=+-C y A x B （C 为常数）

（三）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:

1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直

当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，

212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l

（7）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合

（8）两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，

则222121||()()AB x x y y =-+-

（9）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2

200B A C By Ax d +++=

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

填空或选择可以用：0:11=++C By Ax l 0:22=++C By Ax l 2

22

1B

A C C d +-=

二、经典例题

【例1】(1)已知A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB , BC , CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.

(2)已知三点A (a ，2)，B (3，7)，C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.

【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0），N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32），S （0，5

2

），试判断1l 与2l 是否平行？

（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1），Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？

【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．

【例5】经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程

【例6】写出过两点A (5,0)，B (0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．

【例7】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．

【例8】 已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x 轴上.

【例9】若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的斜率的取值范围.

【例10】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.

【例11】已知点()2,3A -到直线1y ax =+的距离为2，求a 的值；

【例12】求与直线1:2310l x y +-=及2:4650l x y +-=都平行且到它们的距离都相等的直线方程.

经典例题

【例1】(1)已知A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB , BC , CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. (2)已知三点A (a ，2)，B (3，7)，C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

解：(1) 直线AB 的斜率1121

437

k -==-->0, 所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC 的斜率2111

042k --=

=-+<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA 的斜率312

103

k --==->0, 所以它的倾斜角α是锐角.

(2)725

33AB k a a -==--， 7(9)793(2)5

BC a a k --+==

--. ∵ A 、B 、C 三点在一条直线上，

∴ AB BC k k =， 即57935a

a +=

-， 解得2a =或2

9

a =.

【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.

解：如图所示, 直线P A 的斜率是12(3)

51(2)

k --==---,

直线PB 的斜率是2021

3(1)2

k -==---.

当直线l 由PA 变化到y 轴平行位置PC , 它的倾斜角由锐角(tan 5)αα=增至90°，斜率的变化范围是[5,)+∞；

当直线l 由PC 变化到PB 位置，它的倾斜角由90°增至1(tan )2ββ=-，斜率的变化范围是1

(,]2

-∞-.

所以斜率的变化范围是1

(,][5,)2-∞-+∞ .

【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0），N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32），S （0，5

2

），试判断1l 与2l 是否平行？

（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1），Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？

解：（1） ∵MN k =0(6)13(15)2

--=---，531220(2)2RS k -

==--. ∴ 1l //2

l ． （2） ∵ 1tan 451k =?=，26(1)

13(2)

k ---==---， 121k k =-， ∴1l ⊥2l ．

【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．

∵直线l 经过点(5,4)P --，∴ 可设直线l 的方程为(4)[(5)]y k x --=--，即4(5)y k x +=+.

则直线l 在x 轴上的截距为4

5k

-，在y 轴上的截距为54k -.

根据题意得

54554

21=-?-?k k

，即2(54)10||k k -=. 当0k >时，原方程可化为2(54)10k k -=，解得1228

,55

k k ==；

当0k <时，原方程可化为2(54)10k k -=-，此方程无实数解.

故直线l 的方程为24(5)5y x +=+，或8

4(5)5

y x +=+.

即25100x y --=或85200x y -+=.

【例5】经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程

解：当截距为0时，设y kx =，过点(1,2)A ，则得2k =，即2y x =； 当截距不为0时，设

1,x y a a +=或1,x y a a

+=-过点(1,2)A ， 则得3a =，或1a =-，即30x y +-=，或10x y -+= 这样的直线有3条：2y x =，30x y +-=，或10x y -+=

【例6】写出过两点A (5,0)，B (0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程．

解：两点式方程：05)

3(00)3(---=

---x y ； 点斜式方程：)0(05)3(0)3(----=--x y ，即)0(5

3

)3(-=--x y ； 斜截式方程：305)3(0-?---=x y ，即35

3

-?=x y ； 截距式方程：

13

5=-+y x ； 一般式方程：01553=--y x ．

【例7】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．

解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为3

4

-，

∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为3

4

-，

又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：3

3(1)4y x -=-+，即3490x y +-=..

【例8】 已知a 为实数，两直线1l ：01=++y ax ，2l ：0=-+a y x 相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x 轴上.

解：解方程组10,0,ax y x y a ++=??+-=?

得交点(－11

,112-+-+a a a a ). 若1

1

2-+a a ＞0，则a ＞1.当a ＞1时，－11-+a a ＜0，此时交点在第二象限内.又因为a 为任意实数时，都有

12

+a ≥1＞0，故1

1

2-+a a ≠0.因为a ≠1（否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在x 轴上王新敞

【例9】若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的斜率的取值范围. 解：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l ：y ＝kx 3-必过点（0，－3）.

当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴；当直线l 绕C 点逆时针（由位置AC 到位置BC ）旋转时，

交点在第一象限. 根据303

033

AC k --=

=

-，得到直线l 的斜率k >33. ∴倾斜角范围为3,3??

+∞ ? ???

.

【例10】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值. 解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则

1

214

41240

22

b a a b +??=-??-?

+-??--=??，解得01a b =??=?， 所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-=. 【例11】已知点()2,3A -到直线1y ax =+的距离为2，求a 的值； 解：1,10,y ax ax y =+∴-+= 22231222,11

a a d a a --++∴===

++22222,a a ∴+=+

2248422,a a a ∴++=+22820,323 2.a a a a ∴++=∴=-=--或

【例12】求与直线1:2310l x y +-=及2:4650l x y +-=都平行且到它们的距离都相等的直线方程. 解：直线1l 的方程化为4620x y +-=. 设所求直线的方程为460x y C ++=，

则2222|2||5|4646C C ----=++，即|2||5|C C +=+，解得72C =-. 所以所求直线方程为7

4602x y +-=.