均值不等式练习题
均值不等式
一、 知识点:
二、习题讲解:
例1:(1)求y=x+1xx>0的最小值
(2)求y=x+1xx≥2的最小值
(3)已知2>x ,求2
1
-+=x x y 的最小值
变式训练:
1. 已知0>x ,求x
x y 4
2--=的最大值
2.当1->x 时,求()1
1
++=x x x f 的最小值
3.已知45 4124-+-=x x y 的最大值 4.已知R c b a ∈、、,求证:ac bc ab c b a ++≥++222 5. 4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- 6. 1 2,33 y x x x =+>- 7. 1 2sin ,(0,)sin y x x x π=+ ∈ 例2:(1)已知210< 1 -=的最大值 (2)已知:a 、b 都是正数,且1a b +=,1a a α=+,1 b b β=+,求αβ+的最小值 变式训练: 1.已知3 1 0< 3.设2 3 0< 4.已知01x << ,求函数y =.; 5. 2 03x << ,求函数y = 6.若21x y +=,则24x y +的最小值是______ 7.已知,x y R +∈,且满足134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 例3:求函数()11 3 32->+++= x x x x y 的最小值 变式训练: 1. 231,(0)x x y x x ++=> 2.设?? ? ??∈2,0πx ,则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为 3. 已知2 5 ≥x ,则()42542-+-=x x x x f 的最小值 4. 2y =的最小值是 5. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 6. 求函数2y =的值域。 7.设z y x ,,为正实数,且满足032=+-z y x ,则xz y 2 的最小值 例4:已知+ ∈R c b a ,,,且1=++c b a ,求证:91 11≥++c b a 变式训练: 1.已知2,0,0=+>>b a b a ,则b a y 4 1+=的最小值是 2.正数y x ,满足12=+y x ,求y x /1/1+的最小值。 3.设0,0.a b >> 若11 33a b a b +与的等比中项,则 的最小值为( ) . A .8 B .4 C . 1 D . 14 4.已知0,0x y >>,且19 1x y +=,求x y +的最小值。 5.已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ,求y x + 的最小值 例6:若0,0>>b a ,则ab C b a B b a A =+=+=,2,222,b a D 112+= 的大小顺序为: 1.若函数y x ,满足12 2 =++xy y x ,则y x +的最大值是: 2.函数x x y 313-+=的最大值是 3.若正数b a ,满足()1=+-b a ab ,则ab 的最小值为 综合练习: 已知+ ∈R c b a ,,,求证: 3≥-++-++-+c c b a b b a c a a c b 已知+ ∈R c b a ,,,求证:c b a c ab b ac a bc ++≥++ 已知+ ∈R c b a ,,,求证:c b a a c c b b a ++≥++2 22 判断下列命题: (1)22,,=?≥+∴ ∈+ b a a b b a a b R b a Θ (2)y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,?≥+∴∈+Θ (3)44 24,0,=?≥+∴ ≠∈a a a a a R a Θ (4)22,0,,-=?? ? ? ?-???? ??--≤?? ? ?????? ? ? -+???? ? ?--=+∴ <∈x y y x x y y x x y y x xy R y x Θ P 均值不等式测试题 一、选择题 1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( ) A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( ) A .x 2+1≥x B .11 2+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( ) A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22 4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.2 10 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b )(b a 1 1+)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥- 6.下列结论正确的是( ) A .当x>0且x ≠1时,lgx+x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x + x 1 ≥2 D .当0 高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=,则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点,且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ,定义()(,,)f M m n p =,其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积,若1()(,,)2 f M x y =,则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>,则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈,且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=,则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中,142, 10sin sin a b A B +=+=,则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=,则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数,且222412a ab ac bc +++=,则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈,则(1)log k k +与(1)log k k -的大小: 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取最大值时,212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ,则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列, 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和,记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈,设0n T 为数列{}n T 的最大项,则0n = 。 均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容,它以形式灵活多变而备受出题人的青睐,下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一:证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证:1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证:222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证:222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足:222 1x y z ++=,求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ,且1abc =9≥ 7. (2010辽宁)已知,,a b c 均为正实数,证明:22221 11()a b c a b c +++++≥,并确定,,a b c 为何值时,等号成立。 类型二:求最值: 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑,配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且,求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且,求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数,且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。 变式:求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞,35x y xy +=,求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞,6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞,6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. (2010浙江高考)设,x y 为实数,若22 41x y xy ++=,求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式:y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. (2010山东高考)若任意0x >,231 x a x x ≤++恒成立,求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.(2009湖北)围建一个面积为2 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45/m 元,新墙的造价为180/m 元,设利用旧墙的长度为x (单位:m )。 (1)将y 表示为x 的函数(y 表示总费用)。 (2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.(2008广东)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x 层(10x ≥),则每平方米的平均建筑费用为56048x +(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用, 利用均值不等式求最值的方法 均值不等式a b ab a b +≥>>2 00(,,当且仅当a =b 时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04< 均值不等式的常见题型 一基本习题 2、已知正数a,b 满足ab=4,那么2a+3b 的最小值为() A10B12C43D46 3、已知a >0,b >0,a+b=1则 b a 11+的取值范围是() A(2,+∞)B[2,+∞)C(4,+∞)D[4,+∞) 4、设x,y 为正数,(x+y)( +x 1y 4)的最小值为() A 6B 9C 12D 15 5、设+∈R b a ,,则下列不等式中不成立的是() A 4)11)((≥++b a b a B ab ab b a 22 2≥+C 21≥+ab ab D ab b a ab ≤+2 6、设0,0>>b a ,则下列不等式中成立的是() A 221≥++ab b a B 4)11)((≥++b a b a C b a ab b a +≥+22D ab b a ab >+2 8、已知下列不等式:①)(233+∈>+R x x x ;②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是() A0个B1个C2个D3个 9、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是() A (2,)+∞ B [2,)+∞ C (,2)-∞- D (,2]-∞- 二有关范围问题 1、若正数b a ,满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是. 以及b a +的取值范围. 2、已知x >0,y >0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值. 3、已知0,0x y >>且211x y +=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是——————————。 均值不等式及其应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42) 45 x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 、 均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) } 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x ' 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42) 45 x x --不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, [ 5,5404x x <∴->,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0 ,所以 34x y +≥=当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等 号) 1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 均值不等式应用专题测试 一.选择题: 1、已知:b n m a y x =+=+2222,且b a ≠,则ny mx +的最大值为( ) (A)ab (B)2b a + (C)2 2 2b a + (D)222b a + 2、若+∈R y x a ,,,且y x a y x +≤+恒成立,则a 的最小值是( ) (A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、下列不等式一定成立的是( ) A .2 1 lg()lg (0)4 x x x +>> B .1 sin 2(,)sin x x k k Z x π+≥≠∈ C .212||()x x x R +≥∈ D . 21 1()1 x R x >∈+ 4、若1a b >>,P =()1lg lg 2Q a b =+,lg 2a b R +?? = ??? ,则下列不等式成立的是( ) A.R P Q << B. P Q R << C. Q P R << D. P R Q << 5、设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B) 212- (C)12+ (D)2 1 2+ 6.已知y x n m b a ,,,,,均为正数,且b a ≠,若x b m a ,,,成等差数列你,y b n a ,,,成等比数列,则有( ) A.y x n m >>, B.y x n m <>, C. y x n m <<, D. y x n m ><, 7、设)11 )(11)(11( ---=c b a M ,且1=++ c b a (其中0,0,0>>>c b a ),则M 的取值范围是( ) A.??? ???81,0 B.?? ????1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,8 8.若a 是b b 2121-+与 的等比中项,且0>ab ,则| |2||| |2b a ab +的最大值为( ) A. 1552 B. 42 C.55 D. 2 2 9、点(),P x y 在经过()3,0A ,()1,1B 的两点的直线上,那么24x y +的最小值是( ) A.不存在 应用一、求最值 直接求 例1、若x ,y 是正数,则22)21 ()21(x y y x +++的最小值是【 】 A .3 B .27 C .4 D .2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >,则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(2 3+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值,则ab 的最大值等于【 】 A.2 B .3 C .6 D .9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域: (1)22 213x x y + = (2)x x y 1+= 练习6.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ,,且14=+y x ,则x y ?的最大值是 . 练习1.已知,x y R +∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 . 练习2. 当40< 均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?? 231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 均值不等式 一、 基本知识梳理 1.算术平均值:如果a﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值. 2.几何平均值:如果a ﹑b ∈R+,那么 叫做这两个正数的几何平均值 3.重要不等式:如果a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2 ≥ (当且仅当a=b时,取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +,那么 2 a b +≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形: ()()() ()()() 22 2 2 1;2 2; 230;425a b ab a b b a ab a b a b +≤ +??≤ ??? +≥>+?? ≤ ??? ≤; 5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则 可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。 6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。 二、 常见题型: 1、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++ =) ()(的形式,且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。 例:求函数)01(11 2>->+++= a x x x ax y 且的最小值。 解:1 )1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< VIP 免费 欢迎下载 学生姓名: 任课教师: 试卷审查教师: 测试科目: 涉及章节: 教师评语: 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展:若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件,掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2.难点:利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点:正确运用基本不等式证明不等式,会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1,求 x 1+y 1的最小值. 点拨:∵x 、y 为正数,且x +2y =1, 日期: 2012- 时间: ∴x 1+y 1=(x +2y )(x 1+y 1) =3+x y 2+y x ≥3+22, 当且仅当 x y 2=y x ,即当x =2-1,y =1-22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. (2)注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨: 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-,所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析:解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即,与104 xy <≤相矛盾。 解析:z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-,令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=,由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 均值不等式题型汇总 均值不等式是每年高考必考内容,它以形式灵活多变而备受出题人的青睐,下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 1.设*,,1,a b R a b 求证:1125()()4 a b a b 2.设,,(0,),a b c 求证:2222222() a b b c a c a b c 3.设,,(0,),a b c 求证:222 b c a a b c a b c 4.设,,(0,),a b c 求证:222a b c ab bc ac 5.已知实数,,x y z 满足:2221x y z ,求xy yz 得最大值。 6.已知正实数,,a b c ,且1abc 求证:1818189 a b c 7.(2010辽宁)已知,,a b c 均为正实数,证明:2222111()63a b c a b c , 并确定,,a b c 为何值时,等号成立。 类型二:求最值: 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。 使用均值不等式的核心在于配凑,配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1.设11 ,(0,)1x y x y 且,求x y 的最小值。 2.设,(0,)1x y x y 且,求11 2x y 的最小值。 3.已知,a b 为正实数,且1a b 求1 ab ab 的最小值。 4.求函数11 (01)1y x x x 的最小值。 变式:求函数291 (0)122y x x x 的最小值。 5.设,(0,)x y ,35x y xy ,求34x y 的最小值。 6.设,(0,)x y ,6x y xy 求x y 的最小值。 7.设,(0,)x y ,6x y xy 求xy 的最大值。 8.(2010浙江高考)设,x y 为实数,若2241x y xy ,求 2x y 的最大值。 9.求函数216y x x 的最大值。 变式:152y x x 的最大值和最小值。 10.设0x 求函数21 x x y x 的最小值。 不等式及均值定理单元测试题(三) 1.设a1b B .1a-b >1a C .a b D .2 2b a > 2.关于x 的不等式(x-2)(ax-2)>0的解集为{x ︱x ≠2,x ∈R },则a=( ) A .2 B .-2 C .-1 D .1 3.不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-,则b a -的值等于( ) A .-14 B .14 C .-10 D .10 4.若实数a 、b 满足a+b=2,是3a +3b 的最小值是( ) A .18 B .6 C .23 D .243 5.已知直角三角形的周长为2,则它的最大面积为( ) A .3-2 2 B .3+2 2 C .3- 2 D .3+ 2 6.f x a x a x ()=+-2 1在R 上满足f x ()<0,则a 的取值范围是( ) A a ≤0 B a <-4 C -<<40a D -<≤40 a 7.如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于?1,另一个大于1,那么实数 m 的取值范围是( ) A )22(,- B (-2,0) C (-2,1) D (0,1) 8.若角α,β满足-2π<α<β<2 π,则2α-β的取值范围是( ) A (-π,0) B (-π,π) C (-23 π,2π) D (-π23,2 3 π) 9.目标函数y x z +=2,变量y x ,满足?? ???≥<+≤+-12553034x y x y x ,则有( ) A 3,12min max ==z z B ,12max =z z 无最小值 C z z ,3min =无最大值 D z 既无最大值,也无最小值 10.设M=)11)(11)(11( ---c b a ,且a+b+c=1,(a 、b 、 c ∈R +),则M 的取值范围是 ( ) A [0,81] B [81,1] C [1,8] D [8,+∞) 11.设.11120,0的最小值,求且y x y x y x +=+>> 12.若x ,y 为正实数,且2x +5y =20,则lgx +lgy 的最大值为 13.若函数2() 68f x kx kx k 的定义域是R ,则实数k 的取值范围是 均值不等式 一、 基本知识梳理 1.算术平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值. 2.几何平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的几何平均值 3.重要不等式:如果a ﹑b ∈R ,那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +,那么 2 a b +≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形: ()()() ()()() 22 2 2 1;2 2; 230;425a b ab a b b a ab a b a b +≤ +??≤ ??? +≥>+?? ≤ ??? ≤; 5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。 6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。 二、 常见题型: 1、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++ =) ()(的形式,且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。 例:求函数)01(11 2>->+++= a x x x ax y 且的最小值。 解:1 )1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211 )1(=-+≥-+++ +=a a a x a x a 当1 )1(+= +x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y 2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。 例:已知19 1,0,0=+>>b a b a 且 ,求b a +的最小值。 解法一:169210991=+≥+++=+b a a b b a 思路二:由19 1=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=-- b a b a 然后将b a +变形。 解法二:16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证:两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。 此类题型可扩展为: 设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求3 21111a a a S ++= 的最小值。 )111)((13 21321a a a a a a m S ++++= )]()()(3[1 3 22331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++= m m 9 )2223(1=+++≥ ,等号成立的条件是321a a a ==。 均值不等式高考题文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 应用一、求最值 直接求 例1、若x ,y 是正数,则22)21 ()21(x y y x +++ 的最小值是【 】 A .3 B .27 C .4 D .2 9 例2、设y x b a b a b a R y x y x 11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2 B. 23 C. 1 D. 21 练习1.若0x >,则2 x x +的最小值为 . 练习2.设,x y 为正数, 则14 ()()x y x y ++的最小值为【 】 A.6 B. 9 C. 12 D. 15 练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(2 3+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值,则ab 的最大值等于 【 】 A.2 B .3 C .6 D .9 练习4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x = 吨. 练习5.求下列函数的值域: (1)22 213x x y + = (2)x x y 1 += 练习6.已知0x >,0y >,x a b y ,,,成等差数列,x c d y ,,,成等比数列,则 2 ()a b cd +的最小值是【 】 A.0 B.4 C.2 D.1 例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111 (1)(1)(1)a b c ---最小值为【 】 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 凑系数 例4、若x y ∈+R ,,且14=+y x ,则x y ?的最大值是 . 练习1.已知,x y R +∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 . 练习2. 当40<均值不等式测试题(含详解)
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