圆的基本概念

B

C

圆的基本概念

1、定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离 等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

3.直径：经过圆心的弦叫直径。 注：圆中有无数条直径 4圆的对称性及特性：

(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.

(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性

5.圆弧：

(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”

以A,B 两点为端点的弧.记作AB ?

,读作“弧AB”.

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ?

(用两个字母). (4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB ?

(用三个字母).

学习重点:圆及其有关概念 学习难点:用集合的观念描述圆

【例1】 已知：如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，∠AOC=∠BOC ，M 、N 分别为OA 、

OB 的中点．求证：MC=NC ．

【例2】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近

来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？

【随堂针对练习】

1．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）

A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径

B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径

C．⊙O上有两点到点P的距离最小

D．⊙O上有两点到点P的距离最大

3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C 与⊙A的位置关系是．

7．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．8．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？

垂径定理及其推论:

（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；

（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分

例题1、如图3－5，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，若CE ＝a ，

求：（1）

= 的长；（2）AB 的长.

例题2、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若，OC=1cm ，则⊙O 的半径长 为______cm ．

例题3、（易错题）在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB?与CD 之间距离．

解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=

12AB=1

2

×40=20cm ， ∴=． 同理可求， 所以MN=OM-ON=15-7=8cm ．

以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上

【巩固练习】基础题：

1．下列命题中，正确的是（ ）

A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧

B ．过弦的中点的直线必过圆心

D

C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心

D ．弦的垂线 平分弦所对的弧 2．下列命题中错误的有（ ）

①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

3.在半径为25cm 的⊙O 中，弦AB ＝40cm ，则此弦和所对的弧的中点的距离为( ) A. 10cm B. 15m C. 40cm D. 10cm 或40cm

4. 如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，

cm 6,cm 10==CD AB ，则AC 的长为（ ）

A ．0.5cm

B ．1cm

C ．1.5cm

D ．2cm

5. 过⊙O 内一点P 的最长的弦长为13cm ，最短的弦长5cm ，则OP= .

6. 直径是1000mm 的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽800=AB mm ，则水的最大深度CD 为_______mm.

6题图 7题图 8题图

7. 如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高22+=CD cm ，水面宽

cm AB 22=．那么水管截面圆的半径是_________cm ．

8. 如图，弦cm 24=AB ，直径AB CD ⊥于M ，且cm 8=CM ，求⊙O 的半径。

◆拓展创新

8．（应用题）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m ，拱顶高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为正方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

提高题：

1．如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦AB CD ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、 B 两点）上移动时，点P （ ）

A ．到CD 的距离保持不变

B ．位置不变

C ．等分

D ．随C 点的移动而移动

2. 圆的两条平行弦与圆心的距离分别为3和4，则此二平行弦之间的距离为 .

3. ⊙O 的直径为15cm.弦AB 和CD 互相平行，两弦之间的距离为10.5cm ，AB=9cm ，

则CD= .

4. 如图，矩形ABCD 边AB 经过⊙O 的圆心，E ，F 分别为AB ， CD 与⊙O 的交点，若cm AE 3=，cm AD 4=，cm DF 5=， 则⊙O 的径等于__________．

6. 如图，已知：在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD CE ⊥交AB 于E ，CD DF ⊥交AB 于F ．

求证：BF AE =．

7. 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D

别为b a ,.求证：2

2

b a BD AD -=?（相交弦定理）

8. 已知：如图，以O 为圆心，?=∠120AOB ，OD ⊥AB, 4=ND cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦上，H 、G 在上，且HE EF 4=，求HE 的长.

10. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：

FD EC =.

◆课后自测

1．下列说法正确的有_______．（填序号）

①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆; ④长度相等的两条弧是半圆

2．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，如图所示，则小孔的直径AB为______．

3．一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，?则此圆的半径为________．

4．如图所示⊙O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM 的取值范围是（）

A．3≤OM≤5 B．3≤OM<5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM<5

5．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=?8，?则MN的长为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．如图所示，D、E分别是弧 AB、 AC的中点，DE交AB于M、交AC于N.求证AM=AN．

7．（教材变式题）如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，求∠COE，∠D的度数．

圆心角同步练习

例5. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点A、B、C把⊙O三等分.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)求∠AOB的度数

例6. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC于点E, BD=CE．求证：AB=AC.

例7. 如图，在⊙O中，弦AD//BC ,DA=DC,∠AOC=1600，则∠BCO等于( )

A. 200 B . 300C400 D. 500

例8. 如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B, A，PC交⊙O于点D, C 两点，∠1=∠2，

求证：PB=PD.

提高训练

1. 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦

CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A, B 两点）上移动时，点P （ ）

A ．到CD 的距离保持不变

B ．位置不变

C ．等分 DB

D ．随 C 点的移动而移动

2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD 是半径，且OD //AC ．求证： CD

BD

3. 如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA ⊥MN, D 为OA 的中点，过点D 作BC//MN ， 求证：( 1 ) 四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB=

1

8

∠BAC.

4. 如图，AB, CD 是⊙O 的两条弦，且AB=CD , 点M 是 AC 的中点，求证：MB=MD.

5. 如图,AB, CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE//CD 交⊙O 于点E ，连结BD , DE.求证：BD=DE.

圆周角

【知识要点】

1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.

例1. 如图，在⊙O中，弦AB //CD，求证：AC=BD.

例2. 如图，A, B, C, D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=

∠CAD．求弦AC的长．

提高训练

1. 如图，已知AB 是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，

∠ADC=500 ，则∠AEC= ．

2. 已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350 , 那么圆的直径是.

3. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠BAC=1200，∠ABC=450 , M, N 分别为BC, AC

的中点，则OM:ON的值为

4. 已知AB 是⊙O 的直径C, D 是⊙O 上在AB 同旁的两点，且 CD

DE , AC 与BD 的延长线相交于点 E ，线段 AE 与AB 有怎样的关系？请加以证明．

5. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=2∠A ,BM 平分∠ABC 交外接圆于点M , ME//BC

交AB 于点E ．

试判断四边形EBCM 的形状，并加以证明.

三个定理

1．相交弦定理

弦AB 、CD 交于点E => A E ·

BE=CE ·DE

2. 切割线定理

AD是切线

=>

AD2=DB·DC

DBC是割线

3. 割线定理

EAB是割线

=> EA·EB=EC·ED ECD是割线