反证法在几何问题中的应用
反证法在几何问题中的应用
反证法是一种非常重要的数学方法，它在几何的应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何都有应用，本文选择几个有代表性的应用，举例加以介绍。
一、证明几何量之间的关系
例1：已知：四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，)(2
1
CD AB EF +=。 求证：CD AB //。
证明：假设AB 不平行于CD 。如图，连结AC ，取AC 的中点G ，连结EG 、FG 。 ∵E 、F 、G 分别是AD 、BC 、AC 的中点， ∴CD GE //，CD GE 21=
；AB GF //，AB GF 2
1
=。 ∵AB 不平行于CD ，
∴GE 和GF 不共线，GE 、GF 、EF 组成一个三角形。 ∴EF GF GE >+ ① 但EF CD AB GF GE =+=
+)(2
1
② ①与②矛盾。 ∴CD AB //
例2：直线PO 与平面α相交于O ，过点O 在平面α内引直线OA 、OB 、OC ，
POC POB POA ∠=∠=∠。
求证：α⊥PO 。
证明：假设PO 不垂直平面α。
作α⊥PH 并与平面α相交于H ，此时H 、O 不重合，连结OH 。 由P 作OA PE ⊥于E ，OB PF ⊥于F ， 根据三垂线定理可知，OA HE ⊥，OB HF ⊥。 ∵POB POA ∠=∠，PO 是公共边， ∴POF Rt POE Rt ???
B
C
D E F G
O P
A
E
H
∴OF
OE=
又OH
OH=
∴OEH
?
?
Rt
Rt?
OFH
∴EOH
∠
FOH∠
=
因此，OH是AOB
∠的平分线。
同理可证，OH是AOC
∠的平分线。
但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是AOB
∠的平分线，
∠和AOC
产生矛盾。
∴α
PO。
⊥
例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。
求证：AC和BD是异面直线。
证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。
因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。
所以，AC和BD是异面直线
上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。
二、证明“唯一性”问题
在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。
例3：过平面α上的点A的直线α
a，求证：a是唯一的。
⊥
证明：假设a不是唯一的，则过A至少还有一条直线b，α
b
⊥
∵a、b是相交直线，
∴a、b可以确定一个平面β。
设α和β相交于过点A的直线c。
∵α
b，
⊥
a，α
⊥
∴c a ⊥，c b ⊥。
这样在平面β内，过点A 就有两条直线垂直于c ，这与定理产生矛盾。 所以，a 是唯一的。
例4：试证明：在平面上所有通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x 、y 均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。
证明：先证存在性。
因为直线0=y ，显然通过点)0,2(，且直线0=y 至少通过两个有理点，例如它通过)0,0(和)0,1(。这说明满足条件的直线有一条。
再证唯一性。
假设除了直线0=y 外还存在一条直线b kx y +=（0≠k 或0≠b ）通过点)0,2(，且该直线通过有理点A ),(11y x 与B ),(22y x ，其中1x 、1y 、2x 、2y 均为有理数。
因为直线b kx y +=通过点)0,2(，所以k b 2-=，于是)2(-=x k y ，且0≠k 。又直线通过A ),(11y x 与B ),(22y x 两点，
所以)2(11-=x k y ， ①
)2(-=x k y ②
①－②，得)(2121x x k y y -=-。 ③
因为A 、B 是两个不同的点，且0≠k ，所以21x x ≠，21y y ≠， 由③，得2
12
1x x y y k --=
，且k 是不等于零的有理数。 由①，得k
y x 1
12-
=。 此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。
所以，平面上通过点)0,2(的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。 综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。
关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。
三、证明不可能问题
几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。
例5：求证：抛物线没有渐近线。
证明：设抛物线的方程是px y 22=(0≠p )。
假设抛物有渐近线，渐近线的方程是b ax y +=，易知a 、b 都不为0。因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组
??
?+==b
ax y px
y 22 )2()1( 的两组解的倒数都是0。 将（2）代入（1），得
0)(2222=+-+b x p ab x a （3）
设1x 、2x 是（3）的两个根，由韦达定理，可知
2
21)
(2a
p ab x x --=+，2221a b x x =? 则
0)(21
12
212121=--=+=+b p ab x x x x x x ， （4）
011122
2121===?b
a x x x x ， （5） 由（4）、（5），可推得0=p ， 这于假设0≠p 矛盾。 所以，抛物线没有渐近线。
关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。
四、证明“至少存在”或“不多于”问题
在几何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个。由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。
例6：已知：四边形ABCD 中，对角线AC=BD=1。 求证：四边形中至少有一条边不小于
2
2
。 证明：假设四边形的边都小于
2
2
，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结论也可用反证法证明），不妨设090≤∠A ，
根据余弦定理，得A AB AD AB AD BD cos 2222??-+=， ∴222AB AD BD +≤，即1)2
2
()22(
2222=+<+≤AB AD BD 。 这与已知四边形BD=1矛盾。 所以，四边形中至少有一条边不小于
2
2
。