高中数学-常用逻辑用语

常用逻辑用语

一、命题

1.定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句

2.疑问句，祈使句，感叹句都不是命题

3.真命题：判断为真的语句

4.假命题：判断为假的语句

5.一般用小写英文字母表示如p:?x>0,x2+1>0

二、量词

1.全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等符号：?

2.存在量词存在、至少有、有一个、某个、某(有)些等符号：?

3.全称命题：含有全称量词的命题

全称命题q:?x∈A，q(x) 它的否定是?q:?x∈A，?q(x) 4.存在性命题：含有存在量词的命题

存在性命题p:?x∈A，p(x) 它的否定是?p:?x∈A，?p(x)

三、“且”与“或”,“非”

1. “且”（p∧q一假则假）

“或”（p∨q一真则真）

2. “非”（否定）

互否

互逆

四、推出与充分条件、必要条件 1.推出

“如果p ，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p 可以推出q ；记作：p ?q 2.充分条件、必要条件

如果p 可推出q ，则称：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件 3.充要条件

如果p ?q ，且q ?p ，则称 p 是q 的充分且必要条件（p 是q 的充要条件）五、命题的四种形式 1.若p ，则q

原命题：若p ，则q 逆命题：若q ，则p 否命题：若非p ，则非q 逆否命题：若非q ，则非p 注：命题的否定（否结论）

否命题（否条件，否结论）

2.充分条件、必要条件的判定（一）

（1）如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件（2）如果p ?q ，但q ?p ，则p 是q 的充分不必要条件（3）如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件（4）如果q ?p ，但p ?q ，则p 是q 的必要不充分条件（5）如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件

原命题：若p ，则q

逆否命题：若非q ，则非p

否命题：若非p ，则非q

逆命题：若q ，则p

3.充分条件、必要条件的判定（二）

若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现

即A ＝{ x | p(x) }，B ＝{ x | q(x) }，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若A ?B ，则p 是q 的充分条件（2）若A ?B ，则p 是q 的必要条件（3）若A ＝B ，则p 是q 的充要条件

（4）若A B ，则p 是q 的充分不必要条件

（5）若A B ，则p 是q 的必要不充分条件（6）若A ?B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.等价命题

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

①?q 是?p 的充分不必要条件?p 是q 的充分不必要条件 ②?q 是?p 的必要不充分条件?p 是q 的必要不充分条件 ③?q 是?p 的充要条件?p 是q 的充要条件

④?q 是?p 的既不充分也不必要条件?p 是q 的既不充分也不必要条件（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5. 常见结论的否定形式

≠?≠

人教A版选修1-1《第一章常用逻辑用语》单元质量评估试卷含试卷分析详解

单元质量评估(一) 第一章 (120分钟150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016·宜昌高二检测)下列命题: ①面积相等的三角形是全等三角形; ②若xy=0,则|x|+|y|=0; ③若a>b,则ac2>bc2; ④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直. 【补偿训练】下列命题是真命题的是( ) A.y=tanx的定义域是R B.y=√x的值域为R 的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞) C.y=1 x D.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π 【解析】选D.当x=kπ+π ,k∈Z时,y=tanx无意义,A错; 2 函数y=√x的定义域为[0,+∞),且为增函数,则y=√x≥0,B错;

函数y=1 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在区间(-∞,0)和区间(0,+∞)都递减, x 但当x=-1时,y=-1,当x=1时,y=1,故C错; =π,故D正确. 由y=sin2x-cos2x=-cos2x,得其周期为T=2π 2 2.(2016·浙江高考)命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( ) A.?x∈R,?n∈N*,使得n1,q:4∈{2,3},则在下列三个命题: “p∧q”“p∨q”“p”中,真命题的个数为( ) A.0 B.3 C.2 D.1 【解析】选D.因为p真q假,所以“p∧q”为假,“p∨q”为真,“p”为假. 4.(2016·广州高二检测)下列说法正确的是( ) A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1” B.命题“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0<0,x02+x0-1<0” C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题 D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题【解析】选D.“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“?x≥0,x2+x-1<0”的否定是“?x0≥0,x02+x0-1≥0”,故B错;

常用逻辑用语题型归纳

《常用逻辑用语》一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是（） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④

5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．．是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是（） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。其中真命题的序号二、判断充分、必要条件

高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语

1 高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（） A ．对任意x R ∈,使得20x < B ．不存在x R ∈,使得20x < C ．存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D ．存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则（） A ．:,2p x A x B ??∈∈ B ．:,2p x A x B ???∈ C ．:,2p x A x B ??∈? D ．:,2p x A x B ???? 【答案】C 3 ．（2013年高考湖南（文））“1

选修2-1 常用逻辑用语【教案】

第一章常用逻辑用语教案 1.1命题及其关系 1.1.1 命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。（三）教学过程学生探究过程： 1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解． 5．练习、深化判断下列语句是否为命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５） 2 )2 ( ＝－２．（６）x＞１５．让学生思考、辨析、讨论解决，且通过练习，引导学生总结：判断一个语句是不是命题，关键看两

高中数学人教A版选修2-1 常用逻辑用语单元综合测试 (5)

单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分) 1．下列语句不是命题的有( ) ①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？；③ 3＋1＝5；④ 5x－ 3>6. A．①③④ B．①②③C．①②④D．②③④ 答案：C 2．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A．0 B．2C．3 D．4 解析：可设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，满足A?B，但A≠B，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真．答案：B 3．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解析：直线l与平面α内两相交直线垂直?直线l与平面α垂直，故选C. 答案：C 4．已知p：若a∈A，则b∈B，那么命题綈p是( ) A．若a∈A，则b?B B．若a?A，则b?B C．若b?B，则a?A D．若b∈B，则a∈A 解析：命题“若p，则q”的否定形式是“若p，则綈q”．答案：A

5．命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( ) A．命题“非p”与“非q”真假不同 B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题 C．命题“非p”与“q”真假相同 D．命题“非p且非q”是真命题解析：p且q是假命题?p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题?p和q都是假命题，则非p和非q都是真命题．答案：D 6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题： ①|a|＝|b|；②(a)2＝(b)2；③(a)2＝a·b，其中可以作为a＝b的必要非充分条件的命题是( ) A．①B．①②C．②③ D．①②③ 解析：由向量的运算即可判断．答案：D 7．已知A和B两个命题，如果A是B的充分不必要条件，那么“綈A”是“綈B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由于“A?B，A?/ B”等价于“綈A?綈B，綈A?/ 綈B”，故“綈A”是“綈B”的必要不充分条件．答案：B 8．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由“x＝4”，得a＝(4,3)，故|a|＝5；反之，由|a|＝5，得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．答案：A 9．下列全称命题中，正确的是( ) A．?x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>sin x＋sin y B．?x，y∈{锐角}，sin(x＋y)>cos x＋cos y C．?x，y∈{锐角}，cos(x＋y)

高中数学人教A版选修2-1 第一章常用逻辑用语 1.1.2、1.1.3

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是() A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数 B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数 C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数 D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．【答案】 A 2．(2016·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是() A．0B．1

C．2D．3 【解析】逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a ＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C. 【答案】 C 3．(2016·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是() A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0” C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0” D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0” 【解析】逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a＞0且b＞0”，故选B. 【答案】 B 4．(2016·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是() A．若x≠3，则x2－2x－3≠0 B．若x＝3，则x2－2x－3≠0 C．若x2－2x－3≠0，则x≠3 D．若x2－2x－3≠0，则x＝3