安徽省舒城中学高二数学寒假作业第16天导数文

第16天导数（三）

【课标导航】1.导数的应用；2.生活中的优化问题。

一.选择题

1.函数y 3x x3的单调递增区间是

（）

A. (1,1)

B. (, 1)

C. (0,)

D.(1,)

2.若函数f(x) x312x在区间（k 1,k 1）上不是单调函数，则实数k的取值范围

()

k 3

A.k 3或1 k 1 或k 3

B. 3 k 1或

1

C. 2 k 2 D .不存在这样的实数k

______ 3

3. 函数f(x) = x - 3bx+ 3b在(0,1)内有极小值，则

( )

1

A. 0

B. b<0

C. b>0

D. b<-

4. 已知函数f (x) = .. x+ In x,则有

( )

A. f (2) v f(e) v f(3) B . f (e) v f(2) v f (3) C . f (3) v f(e) v f (2)

D. f(e) v f(3) v f(2)

5. 设f (x) ,g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时，f '(x)g(x) + f(x)g'(x)>0,

且g( —3) = 0,

则不等式f(x)g(x)<0的解集是

( )

A. ( —3,0) U (3 ,+^) B . ( —3,0) U (0,3) C . ( —, —3) U (3 , + )

D. ( —s,—3) U (0,3)

6. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06 x —0.15 x2和

L2=2X，其

中x为销售量(单位：辆)?若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为

A. 45.606 B . 45.6 C. 45.56

D. 45.51 7?把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高

的比为()

A.1 ：2

B.2 ：1

C.1 : n

&路灯距地平面为8 m, 一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速率在地面

上行走，从路灯在地平面上射影点C,沿某直线离开路灯，则人影长度的

变化速率(m/s)为( )

A. 7

B. —

C.彳

D. 21

2 20 20

二、填空题

2 x

9. y x e的单调递增区间是___________________ .

10?在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 __________ 时，它的面积最大.

11 .已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y = 4—x2在x轴上方的曲线上,

则这种

矩形中面积最大值为_______________ .

12?某公司租地建仓库，每月土地占用费货

y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存物的运费

y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和

8万元?那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________________ 千米处.

三、解答题

3 9 2

13. 设函数f(x) = x —尹 + 6x —a.

(I)对于任意实数x, f '(x) > m恒成立，求m的最大值；

(n)若方程f (x) = 0有且仅有一个实根，求a的取值范围.

1 2

14. 已知函数 f (x ) = q X + In x . (I )求函数f (x )的单调区间；

15. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体

积

为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100元/平方米，底面的建

造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为

12000元(为圆周率).

(I)将V 表示成r 的函数V(r),并求该函数的定义域；

(n)讨论函数 V (r)的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大 .

16. 请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正

(n )求证：当 x >1 时，我+ In x <|x 3

2 3

1 — 8.ABAA DBBB; 9. ( —^，― 2) , (0 ,+^); 10.

2

13. ( I) f '(x ) = 3x — 9x + 6 = 3( x — 1)( x — 2).

3

R;

11.

32,3 9

12. 5

六棱锥（如

图所示）。试问当帐篷的顶点 o 到底面中心01的距离为多少时，帐篷的体积最大?

【链接高考】

（1）设函数 f x e 2x aln x .

2

（I ）讨论f x 的导函数f x 的零点的个数；（II ）证明：当a 0时fx 2a al n±.

a

（I ）讨论f x 的单调性；（II ）若f x 有两个零点，求a 的取值范围

第16天导数（三）

【注：V 柱体 S 底h, V 锥体底h 】

⑵【2016新课标1文数】已知函数

x

2

x x 2 e a x 1

2

因为 x € ( —8,+s ). f '( X ) > m 即 3X - 9x + (6 — m >0 恒成立.

3 3

所以△= 81 — 12(6 — n ) w 0,得 me — 4，即m 的最大值为一 (n )因为当 x <1 时，f '(x )>0 ;当 12 时 f '(x )>0.

5

所以当x = 1时，f (x )取极大值f (1) = 2—a , 当x = 2时，f (x )取极小值f (2) = 2 — a .

5

故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x ) = 0仅有一个实根，解得 a <2或a >z

14. ( I )依题意知函数的定义域为

{x | x >0},

1

??? f '(x ) = x + -，故 f '(x )>0,「. f (x )的单调增区间为(0 ,+^).

x

2 3 1 2 2 1

(n )设 g (x ) = §x — 2x — ln x ,??? g '(x ) = 2x — x — x ,

2

???当 x >1 时，g '(x )= (x 1)(2x x 1) 0 ,??? g (x )在(1 ,+^ )上为增函数,

?-g (x )>g (1) = ^>0,A 当 x >1 时，》X 2+ ln

“

(I )闵为帶水池测Mi 的总成让为100?加期= 200册谕儿 底幅的盒成木八煎加'「

15.

所以番水池的总成立为(2(Wjrrii + l60^/)元.

又据题赢200讪 十160裔工=12000瘩,所且 2 丄G00 - 4厂)

5r

从丽 K(r)=廿 h = ^(300^-4?},

5

Br>0P 又由可得r<5^3T 故苗甦珂円的宦兗域为他5为｝?

2 3 X <3X .

(II 3 圉为 V(r) = -(3(^r-4r i ) T V\ r}=- (3M #2.令卩& >= J

5 5

片= §,$=-§

=-5不在定义域两，舍去).

当re(0,5)时.r (r)>0F 故卩(卄在(0,刃上为增嚥热当厂时，r (r)<0? 故/(r)在(5.5^)上为砂圍数?

宙此町難.F")在r = 5处取最大值.此时办二8?即当r = 5T 片二8时.谄善朮池的 休视最大.

16.设正六棱锥的高为 x m,则正六棱锥底面边长为 ,32 X 2 (单位：m ) o

于是底面正六边形的面积为(单位：

R1) : S g

4

2

帐篷的体积为(单位：m 5):

V(x) 3 3(9 x 2) -x 1

3(9 X 2)(3 x) 3( x 3 3x 2 9x 27) (1 x 3) 2

3

2 2

3J3 2

求导数，得V (x)

(x 2 2x 3);令V (x) 0解得x=-3(不合题意，舍去),x=1 。

2

当0

0 ,V(x)为减函数。

所以当x=1时,V(x)最大。即当00为2m 时，帐篷的体积最大。 【链接高考】(I ) f (x)的定义域为(0,+ ￥ ) , f ^x)=2 e 2x - - (x > 0)

当a ￡0时，f g x)>0 , f f x)没有零点；

a 1

f f a) >0 ,当b 满足0 < b < 且b < —时，f (fe) < 0 ,故当a>0时，f 住)存在唯一零点

4 4

当a >0时，因为e 2x 单调递增,

-—单调递增，所以 x

f f x)在(0,+￥ )单调递增.又