人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》教案

2．1.2指数函数及其性质(二)

课时目标

1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.

2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响．

1．下列一定是指数函数的是( )

A ．y ＝－3x

B ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)

C ．y ＝(a －2)x (a >3)

D ．y ＝(1－2)x 2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )

A ．a <0，b <0

B ．a <0，b >0

C ．01

D ．0

A ．(0，＋∞)

B ．[0，＋∞)

C ．R

D ．(－∞，0)

4．若(12)2a ＋1<(12

)3－

2a ，则实数a 的取值范围是( )

A ．(1，＋∞)

B ．(1

2

，＋∞)

C ．(－∞，1)

D ．(－∞，1

2

)

5．设13<(13)b <(1

3)a <1，则( )

A ．a a

B ．a a

C ．a b

D ．a b

6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )

A ．a <2

B ．a >2

C ．－1

D ．0

一、选择题

1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( )

A ．Q P

B ．Q P

C ．P ∩Q ＝{2,4}

D ．P ∩Q ＝{(2,4)} 2．函数y ＝16－4x 的值域是( )

A ．[0，＋∞)

B ．[0,4]

C ．[0,4)

D ．(0,4)

3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )

A ．6

B ．1

C ．3 D.3

2

4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x

－3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数

B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数

C ．f (x )与g (x )均为奇函数

D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( )

A ．f (x )＝－e x －2

B ．f (x )＝－e －

x ＋2

C ．f (x )＝－e －x －2

D ．f (x )＝e －

x ＋2 6．已知a ＝1

3

35-

?? ?

??，b ＝12

35-

?? ???

，c ＝12

43-

??

???，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( )

A ．c

B ．c

C ．a

二、填空题

7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．

8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－

x ，则不等式f (x )<－12

的

解集是________________． 9．函数y ＝2212x x

-+??

???

的单调递增区间是________．

三、解答题

10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝221

2x x --的单调区间．

11．函数f (x )＝4x －2x ＋

1＋3的定义域为[－12，12

]．

(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．

能力提升12．函数y＝2x－x2的图象大致是()

13．已知函数f (x )＝2x －1

2x ＋1

.

(1)求f [f (0)＋4]的值；

(2)求证：f (x )在R 上是增函数；

(3)解不等式：0

17

.

1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：

(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．

(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m c 且c >b n ，则a m >b n .

2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．

2．1.2 指数函数及其性质(二)

知识梳理

1．C 2.C 3.A

4．B [∵函数y ＝(1

2)x 在R 上为减函数，

∴2a ＋1>3－2a ，∴a >1

2

.]

5．C [由已知条件得0

1．B [因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以

Q

P .]

2．C [∵4x

>0，∴0≤16－4x

<16， ∴16－4x ∈[0,4)．]

3．C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.]

4．B [∵f (－x )＝3－

x ＋3x ＝f (x )，

g (－x )＝3－

x －3x ＝－g (x )．]

5．C [∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，

∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －

x －2.]

6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－1

2

，

∴b >a >1.又0

解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关

系为y ＝2x －

1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)

解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.

当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.

当x >0时，由1－2－

x <－12，(12)x >32，得x ∈?；

当x ＝0时，f (0)＝0<－1

2不成立；

当x <0时，由2x －1<－12

，2x <2－

1，得x <－1.

综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)

解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．

令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(1

2

)u 在u ∈R 上为减函数，

问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)． 10．解 (1)设x 1

(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．

根据(1)可知y ＝在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．

即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．

11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，1

2

]上单调递增，

∴t ∈[2

2

，2]．

(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，

g (t )在[2

2

，1]上递减，在[1，2]上递增，

比较得g (2

2

)

∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.

∴函数的值域为[2,5－22]．

12．A [当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除C 、D.

当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.]

13．(1)解 ∵f (0)＝20－1

20＋1

＝0，

∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝15

17

.

(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1

>12x

>0,22x

－12x

>0，

即f (x 1)

(3)解 由0

17

得f (0)

又f (x )在R 上是增函数，∴0

即2